Методическое пособие 544

Для отыскания решения второй задачи построим вспомога-

этой задачи также описывается формулой Даламбера, в которой переменную t нужно заменить на t :

Убедиться в этом несложно путѐм прямой проверки. Действительно, используя формулу Лейбница дифференцирования по параметру интегралов с переменными пределами

следнее равенство выполняется, и, следовательно, функция46 является решением неоднородного волнового уравнения.

Из формул 46 и 47 видно, что функция w x, t удовлетворяет следующим начальным условиям:

начальные условия, а другой – однородное граничное условие:

и первая из задач 51 преобразуется к элементарной задаче для нахождения изображения.

44

который и является решением первой задачи 51 .

Такое решение имеет простой физический смысл. Так как возмущения в струне распространяются в виде волн с конечной скоростью, равной a, то колебания в точке с абсцис-

мущения от конца струны ещѐ не дошли.

Решение второй задачи 51 проведѐм методом распро-

страняющихся волн с продолжением начальных данных на всю прямую x . Для этого докажем сначала, что если

в задаче 36 , 37 о колебаниях на неограниченной прямой

начальные данные являются нечѐтными функциями относительно точки x 0, то в этой точке в любой момент времени решение равно нулю.

Действительно, если в задаче 36 , 37 x x и x x , то по формуле Даламбера 42 получим

поскольку интеграл от нечѐтной функции в симметричных относительно начала координат пределах равен нулю.

45

ные условия продолжить нечѐтным образом на промежуток

то еѐ решение, используя формулу Даламбера, будет иметь вид

Действительно, эта функция, являющаяся решением волнового уравнения, равна нулю в точке x 0 в любой мо-

46

текает, что при отражении волны от зафиксированного конца смещение струны сменит свой знак.

возможным найти решение и для случая незафикированного

Для того, чтобы решить эту задачу, начальные условия надо доопределить на промежуток x 0 чѐтным образом. В поставленной таким образом задаче отражение волны от незакреплѐнного конца будет осуществляться без смены знака смещения.

– модуль Юнга материала. Следовательно, на конце стержня

пружина, действующая на стержень с силой, пропорциональной смещению стержня u x, t при x l. Эта упругая сила

дет играть роль внешней силы. Поэтому в таком случае на конце стержня должно выполняться граничное условие третьего рода

Задачи отыскания решений уравнений колебаний с учѐтом начальных и граничных условий называются начальнокраевыми или просто краевыми для волнового уравнения.

Краевые задачи, когда в граничных точках заданы условия первого, второго или третьего рода, называются соответ-

ственно первой, второй или третьей краевыми задачами.

49

Можно рассматривать и смешанные краевые задачи, если в граничных точках заданы условия различного типа.

Метод разделения переменных (метод Фурье) предста-

ляет собой наиболее часто используемый способ решения задач математической физики в ограниченных промежутках. Опишем данный способ применительно к задаче о свободных колебаниях ограниченной струны с зафиксированными концами, еѐ постановка имеет вид: решить однородного волновое уравнение

Основные положения метода разделения переменных базируются на линейности и однородности уравнения и граничных данных. При этом имеет место принцип наложения

данные 67 . В этом случае, используя наложение линейно независимых частных решений, представляется возможным удовлетворить и начальные данные 66 .