Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

;

r, A cos n B sin n r

n 1, 2, ... .

Рассмотрим теперь зависимость

u r,

A cos n B sin n r

n 1

являющуюся по причине линейности и однородности уравнения Лапласа тоже его решением. Теперь необходимо найти

коэффициенты

A0 ,

An , Bn

при условии выполнения для этой

зависимости требования

r R

f , то есть

n 1

f в

Таким образом, получено разложение зависимости

ряд Фурье в сегменте

, .

По формулам Эйлера-Фурье

определяем

f d ,

cos n d ,

sin n d .

Следовательно,

cos n

d .

n 1

Преобразуем это выражение. Обозначив

Rr , t,

запишем сумму двух слагаемых, стоящую в квадратных скобках, в форме

1			1
	n cos nt n cos nt			.
2			2
	n 1	n 0

		101

Рассмотрим ряд

cos nt i

sin nt.

n 1

n 0

ряд сходится при

и его сумма равна

1 cos t i sin t

1 eit

cos t i sin t

1 2 cos t 2

Следовательно,

Этот

			1		1 cos t				1					1		2
	n	cos nt	1		1 cos t				1					1			,
n 0	n
n 0			2	1	2 cos t 2				2					2 cos t 2
			2	1	2 cos t 2				2			2 1		2 cos t 2
или, возвратившись к прежним обозначениям, получим
		u r,		1	f				R	2	r		2
				1					R		r				2 d .
				2		R	2	2Rr cos				r			2 d .
				2		R		2Rr cos				r

Это и есть решение задачи Дирихле в круге. Интеграл в правой части данного соотношения именуется интегралом Пуас-

сона.

Пример 1. Определить стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке, имеющей радиус R, верхняя половина пластики имеет постоян-


o	, а нижняя – постоянную температуру
ную температуру 1	, а нижняя – постоянную температуру
Решение. При условии, что		, имеем	f

0o.1.

Распределение температуры определяется в виде интеграла:

u r,	1

	2	R	2

Предположим, что точка

R	2	r	2
	2		2
2Rr cos r				d .
			2
r; находится в верхней по-

ловине круге, при этом 0 ; следовательно, при-

нимает значения в интервале от до и данному промежутку длиной не принадлежат точки . Воспользуемся

102

универсальной тригонометрической заменой

лучим cos

1 t

2dt

. Следовательно,

1 t

ctg

R2 r2

R r

ctg

u r,

2 dt

arctg

R r

t 2

R r tg 2

arctg

R r

ctg

arctg

R r

ctg

arctg

R r

arctg

R r

2Rr sin

R r

по-

или

tg u

ля, то для

R	2	r	2
2Rr sin				. Поскольку правая часть меньше ну-
2Rr sin

при 0 справедливо двойное неравенство

12 u 1. При этом будем иметь решение

tg u	R	2	r	2

	2Rr sin

или

	1		R	2	r	2	0	.
u 1		arctg
			2Rr sin

В случае, когда

круге, при этом

точка

находится в нижней половине

,	следовательно, промежутку

изменения

принадлежит точка , однако

не принадлежит

гонометрическую

и имеется возможность осуществить три-

замену	ctg		t,	тогда получим
		2

cos	t	2	1
		2
	t	2	1
	t		1

ний аргумента

,	d	2dt		.	При этом для данных значе-
		1	t
			2

получим

103

u r,

2 dt

R r

ctg

arctg

R r

arctg

R r

ctg

R r

Осуществляя идентичные преобразования, определим

	1		R	2	r	2	2	.
u		arctg
			2Rr sin

Поскольку правая часть сейчас больше нуля (так как sin 0

) то 0 u	1	.
) то 0 u	2	.
	2
Пример 2. Решить задачу Дирихле для уравнения
Лапласа в круге.
		u 0, 0 r 2,
		u		19cos	3	.
		u	r 2	19cos		.
			r 2

Решение.

Решение задачи Дирихле ется через интеграл Пуассона

u r,		1		f

		2


В нашем случае	R 2,		f

для круга радиуса R								выража-
				R	2	r	2
					2		2
R	2	2Rr cos r						2	d .
R		2Rr cos r

19cos			3	.	Однако в этой задаче
19cos				.	Однако в этой задаче

граничное условие можно представить в виде суммы синусов и косинусов, и вычислять интеграл Пуассона не требуется, достаточно лишь приравнять коэффициенты при одинаковых функциях в формуле для частного решения задачи Дирихле. Общее решение задачи Дирихле:

	A
u r,			n	n
	0
				n	.
	2		A cos n B sin n r
		n 1

104

Преобразуем граничное условие по тригонометрическим формулам:

u		19 cos	3	19 cos	2	cos 19	1 cos 2	cos	19	cos cos 2 cos
u	r 2	19 cos		19 cos		cos 19	2	cos	2	cos cos 2 cos
	r 2

19		1		19	3		1
2	cos	2	cos cos 3		2	cos	2	cos 3
2		2		2	2		2
19	cos 3 .
4	cos 3 .
4

Подставим граничное условие в выражение для u

		A						57
		A			n	A cos n B sin n		57	cos
u		0		2	n
u	r 2			2
	r 2	2				n	n	4
		2	n 1					4
			n 1

57 cos

	r, :
	19	cos 3.
	4

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях равенства

cos

cos 3.

n 1

Заметим,

что

синусов

правой

части

вообще

нет, то

есть

0 n 1,

косинусы

есть

только

для

n 1

и n 3.

Получили,

что

2A 57

, A

;

все остальные коэффициенты равны ну-

2 A3

лю. Поставим эти коэффициенты в выражение для u r, :

r cos

cos 3

12r cos r

cos 3 .

u r,

12r cos r

cos 3

– это и

есть

искомое

решение.

105

3.6.Конечно-разностные уравнения. Понятие о сеточых методах численного интегрирования уравнений

вчастных производных

		2	u		2	u
Рассмотрим уравнение Лапласа	u 0 :		u			u		0.
Рассмотрим уравнение Лапласа	u 0 :	x		2	y		2	0.
		x			y

При численном интегрировании дифференциальное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением.

Метод сеток заключается в том, что выбирают шаг h и строят сетку xi x0 ih, yi y0 jh, i, j 0, 1, 2, ... , покрыва-

ющую

u x, y .

G – область, в которой задана искомая функция Выделив граничные и внутренние узлы, заменяют

данное уравнение во внутренних точках конечно-разностным уравнением:

, y

x , y

x ,

j 1

i 1

;

i 1

, y

x ,

, y

;

j 1

x , y

x ,

x , y

;

j 1

i 1

j 1

, y

x , y

а в граничных точках значения функции

u x, y

находят из

дополнительного условия. Решив полученную систему, составляют таблицу значений искомой функции.

Вопросы для повторения

1. Начальные данные. Граничные данные. Краевые дан-

ные.

2. Краевая задача. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического классов. Краевая задача для уравнений эллиптического класса. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического классов.

106

3.Корретно и некорректно поставленные по Адамару задачи математической физики.

4.Задача Коши для однородного уравнения свободных колебаний бесконечной струны. Метод Даламбера. Формула Даламбера.

5.Решение задачи Коши для неоднородного уравнения вынужденных колебаний бесконечной струны.

6.Решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний в полуограниченной струне.

7.Краевые задачи для волнового уравнения. Первая, вторая и третья краевые задачи.

8.Метод Фурье разделения переменных. Собственные значения и собственные функции краевой задачи для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Задача Штурма – Лиувилля. Гармоники. Собственные частоты колебаний ограниченной струны. Узлы и пучности стоячей волны.

9.Решение методом Фурье краевой задачи для неоднородного волнового уравнения.

10.Общая первая краевая задача о вынужденных колебаниях струны с известными законами колебаний концов струны.

11.Коэффициент температуропроводности материала. Уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.

12.Метод Фурье для однородного уравнения теплопроводности.

13.Решение неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.

14.Общая первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

15.Решение методом Фурье задачи Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня. Формула Пуассона.

107

16.Решение задачи теплопроводности для полуограниченного стержня.

17.Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям. Уравнение Лапласа. Гармоническая функция. Уравнение Пуассона.

18.Первая краевая задача (задача Дирихле). Вторая краевая задача (задача Неймана). Третья краевая задача. Внутренняя и внешняя краевые задачи. Метод Фурье решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуссона.

19.Конечно-разностные уравнения. Понятие о сеточных методах численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Задачи на самоподготовку

1. Решить уравнение

2 при условиях u

t 0 x,

t 0

2. Решить уравнение

при условиях u t 0 0,

cos x.

t 0

3. Определить вид

струны,

описываемой уравнением

2 , при t , если u

t 0

sin x,

t 0 cos x.

4. Вдоль бесконечной

струны распространяется

волна

x at . Приняв еѐ за начальное возбуждение струны при

t 0, определить вид струны для t 0.

5. Струна, зафиксированная на концах начальный момент приобрела вид u h x4

108

2x3

x .

x l,

Опре-

делить вид струны для каждого момента времени t		при усло-
вии, что начальные скорости отсутствуют.
6. Струна зафиксирована на концах	x 0	и	x l.

Начальные смещения точек струны нулевые, а начальная скорость определяется соотношением

cos

при x

t 0

0 при x

Найти форму струны для любого момента времени t.

7. Решить смешанную задачу для однородного волново-

го уравнения на сегменте
		u	2u		, x 0, 1 , t 0, ,
		tt		xx
u	t 0	0, u		t 0	x 1 x , u	x 0	u	x 1	0.
	t 0		t	t 0		x 0		x 1

8. Найти решение уравнения

щее начальным условиям

u		u
	2
t	x		,
		2

удовлетворяю-

				x	при 0	x l,
			1		при 0	x l,
				l
				l

u x, t		f x		x	при l x 0,
u x, t	t 0	f x	1+		при l x 0,
	t 0			l
				l
			0 при x l и x l.

9. Поперечным сечениям полуограниченного упругого стержня с упруго зафиксированным концом приданы начальные продольные отклонения

109

начальные

смещения

			x	при 0 x l,

		sin
u	t 0		l

		0 при l x ,

же скорости	u		0.	Определить продольные
	t	t 0

u x, t поперечных сечений стержня для t 0.

10. Найти концами x 0

колебания струны с жѐстко закреплѐнными и x l, возбуждѐнной начальным отклонени-

ем. Начальные скорости равны нулю.

11. Имеется тонкий однородный стержень длиной

изолированный от сторонней среды,

которого описывается функцией

начальная температура

x	cx l x		.	Концы
	l	2

стержня фиксируютсяются при нулевой температуре. Найти температуру стержня при t 0.

12. Определить распределение температуры в стержне на отрезке 0 x l, боковая поверхность стержня теплоизо-

лирована, при условии, что температура на его концах нулевая, а начальная температура описывается некоторой зависи-

мостью f x .

13. Решить уравнение Лапласа внутри кольца 1 r 2 с краевыми данными u r 1 0, u r y.

14. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в начале координат. Обозначим , – полярные, а x, y – де-

картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-

ничное условие: u a A, где

– постоянная.

15. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в нача-

ле координат. Обозначим ,	– полярные, а x, y – де-
110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022319.76 Кб2Методическое пособие 54.pdf
#
30.04.20222.17 Mб3Методическое пособие 540.pdf
#
30.04.20222.17 Mб16Методическое пособие 541.pdf
#
30.04.20222.17 Mб5Методическое пособие 542.pdf
#
30.04.20222.2 Mб4Методическое пособие 543.pdf
#
30.04.20222.2 Mб6Методическое пособие 544.pdf
#
30.04.20222.21 Mб3Методическое пособие 545.pdf
#
30.04.20222.21 Mб2Методическое пособие 546.pdf
#
30.04.20222.22 Mб2Методическое пособие 547.pdf
#
30.04.20222.27 Mб7Методическое пособие 548.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Методическое пособие 549.pdf