Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Рис. 4. Действие

			электрических возмущений в линии
	4. Плоские электромагнитные волны в непроводящих
средах (рис. 5). В этом случае				u x, t есть напряжѐнность со-
оответственно электрического				E или магнитного H по-
	a	c
лей;			, в этой формуле	c – скорость света в вакууме,


и	– диэлектрическая и магнитная проницаемости среды
соответственно.

Рис. 5. Электромагнитные волны на плоскости

1.2. Уравнение диффузии

Исследуем трубку, в которой имеется вещество с постоянной концентрацией во всяком поперечном сечении и изменяющейся от сечения к сечению. Тогда известно, что имеет место диффузия вещества из мест с большей концентрацией в места с менее высокой концентрацией.

Математическая модель данного явления диффузии использует функцию c x, t , которая выражает концентрацию

в сечении x в момент времени t. Выведем уравнение для данной функции, для этого нам потребуется получить уравнение баланса массы вещества на отрезке x, x dx за про-

межуток времени dt.

Предположим, что c x, t растѐт с увеличением x. В

силу закону Нернста количество вещества, протекающщее за единицу времени через данное поперечное сечение, прямо пропорционально его площади S и градиенту концентрации, таким образом, за промежуток времени dt оно выражается формулой

вкоторой

Всилу

	dQ S	с	dt,
		x

есть коэффициент диффузии.
7	и приближѐнного равенства

f x dx	f x f x dx,
12

приходим к выводу, что количество вещества										dQ, сохранѐн-
ное данным промежутком				x, x dx за время						dt, равно
	с	с				с			с
					2			2
dQ S	x	t S	x		x	2	dx dt S	x	2	dxdt.	8
											8


С другой стороны, изменение концентрации за время											dt

dt,

а следовательно,

dQ Sdx с

dxdt.

Приравнивая выражения

8 и

9 , получим:

dxdt S

dxdt

или

где

. Это и есть искомое уравнение диффузии.

1.3. Уравнение безвихревого течения жидкости

Для безвихревого течения жидкости найдѐтся скалярная функция U x, y, z , именуемая потенциалом скоростей, та-

кая, что вектор скорости имеет завимость от неѐ следующим образом:

, v

Для безвихревого движения несжимаемой жидкости (то есть

жидкости, для которой еѐ плотность	в частице сохраняет-
ся), мы имеем уравнение неразрывности

	v		v	y	v		0.
		x				z	0.
		x				z
x			y		z

Подставляя в уравнение		12			значения скоростей, вычислен-
ные из уравнений 11 ,	будем иметь
U			U			U
2			2			2
x	2		y	2		z	2	0.
x			y			z

Вопросы для повторения

1.Математическая физика. Дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнения математической физики.

2.Натянутая струна, возмущение. Поперечные колебания струны. Смещение точки струны относительно оси абсцисс. Мгновенный профиль струны. Основные допущения. Бесконечно малый элемент дуги струны, силы натяжения, внешняя сила, орт оси ординат. Линейная плотность струны в точке. Касательные к профилю струны. Проекции сил на ось ординат. Вывод уравнения малых вынужденных поперечных колебаний струны. Случай постоянной плотности. Уравнение малых свободных колебаний струны. Волновые физические процессы.

3.Продольные или крутильные колебания стержня постоянного поперечного сечения. Продольное отклонение элемента стержня, модуль Юнга материала стержня, плотность. Угол поворота поперечного сечения стержня, крутильная

жѐсткость стержня, момент инерции единицы длины стержня относительно его продольной оси, модуль сдвига материала.

4.Плоские акустические (звуковые) волны в жидкостях и газах. Скорость распространения возмущений, показатель адиабаты газа, невозмущѐнные значения давления и плотности среды.

5.Распространение электрических возмущений в линии при отсутствии потерь. Распределѐнные индуктивность и ѐмкость проводов на единицу длины.

6.Плоские электромагнитные волны в непроводящих средах. Напряжѐнность полей, скорость света в вакууме, диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

7.Концентрация в сечении. Составление уравнения баланса массы вещества на отрезке. Закон Нернста, коэффициент диффузии. Уравнение диффузии.

8.Потенциал скоростей, вектор скорости. Уравнение неразрывности для безвихревого движения несжимаемой жидкости. Уравнение безвихревого движения жидкости.

ГЛАВА 2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

2.1. Классификация уравнений в частных производных второго порядка

Порядок уравнения в частных производных определяется порядком старшей производной, используемой в уравнении. В большинстве задач математической физике используются дифференциальные уравнения второго порядка. В слу-

чае двух независимых аргументов

данное дифферен-

циальное уравнение записывают в общем виде выражением
F	x, y, u, u	, u	, u	, u	, u	0.	13
	x	y	xx	xy	yy

В случае, когда дифференциальное уравнение линейно относительно старших производных, оно именуется квазили-

нейным уравнением и имеет форму
a u	2a u	a	u	F	x, y, u, u	, u	0,	14
11 xx	12 xy	22	yy	1	x	y

в которой a11,

a12

a22

– заданные функции независимых

аргументов.

Дифференциальное уравнение именуется линейным в случае, когда оно линейно как относительно функции, которую надо найти, так и относительно еѐ частных производных. Данное уравнение имеет форму

a u	2a u	a	u	b u	b u	cu f x, y 0.
11 xx	12 xy	22	yy	1 x	2 y

В случае, когда коэффициенты уравнения 15 не зави-

сят от аргументов

уравнение 15 есть линейное

дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

	Уравнениям 14			и 15 отвечает квадратичная форма
a l2	2a lm a m2		и в соответствии с кривыми второго по-
11	12	22
				16

рядка представляется возможным получить классификацию типов уравнений в зависимости от знака дискриминанта.

Образуем три класса уравнений в виде

или

15 ,

именовав их уравнениями гиперболического типа, если в ка- кой-то точке M (или области G ) D 0, параболического ти-

па в случае, когда в точке M D 0, и эллиптического типа в

случае, когда в точке M	D 0.	При этом	2	a11a22	есть
			D a12
дискриминант уравнения.
Отнесение уравнения к заданному таким образом классу

отражает определѐнные объемлющие свойства его решений и даѐт возможность отобрать способы решения задач для данного уравнения.

В слуае, когда уравнения имеют переменные коэффициенты, возможна смена своего класса в разных точках. Для ил-

люстрации такого	уравнения смешанного типа приведѐм
уравнение Трикоми			0,	используемое в газовой ди-
	uxx	xuyy

намике. Поскольку дискриминант данного уравнения

D x,

то уравнение Трикоми относится к эллиптическому классу в

случае, когда x 0	и гиперболическому, когда			x 0.
В уравнении	14 представляется возможным сделать
подстановку независимых аргументов
x, y , x, y					16
с якобианом преобразования I x, y
		x	y	0,	дающим
				0,	дающим

		x	y

возможность обратного преобразования. Найдѐм производ-

ные функции u

по новым аргументам

и . В силу теоремы

о дифференцировании сложной функции получим:

u u

, u

u u

2u u

u u ,

2u u

u u .

Подставляя значения производных в уравнение

14 ,

полу-

чим

A u	2A u	A u			,, u, u , u		0.
11	12	22

В этом выражении

A
12

Поскольку

A	a			2a a								;
			2								2
11		11	x		12		x	y		22	y
a a										a					;
11	x	x	12		x y			y	x		22			y y
A	a			2a					a				.
			2								2
22		11	x		12		x	y		22	y			x, y		,
A		A A			a			a a			I			x, y		,
2							2					2
12			11	22		12			11	22

то при

применении изучаемого преобразования независимых аргументов не изменяется класс уравнения. Но функции x, y и

x, y представляется возможным взять с условием, чтобы

в новых аргументах часть коэффициентов сделалась нулевы-

ми, а уравнение

обрело самый простой вид, именуемый

канонической формой уравнения.

Для получения канонической формы используют общие интегралы дифференциального уравнения

a11 dy	2	2a12dxdy a22 dx	2	0,	18

именуемого характеристическим для уравнений 14 и 15 ,

а его общие интегралы

x, y C1

y С2

–

характеристическими кривыми или характеристиками.

При этом уравнение

17 получит одну из трѐх канони-

ческих форм:

,, u, u , u

в которой

1 x,

y C1

y C2

– общие инте-

гралы характеристического уравнения

18 , 1

для

уравнений гиперболического класса;

,, u, u , u

здесь

x, y C

– общий интеграл характеристического

уравнения

x, y

– произвольно выбранная два-

жды

дифференцируемая

функция,

не

зависящая

от

x, y , для уравнений параболического класса;

,, u, u , u

здесь x,

– действительная и мнимая

части кажого из двух общих интегралов характеристического уравнения 18 , для уравнений эллиптического класса.

Замечание.

выбраны как

В случае, когда новые

	x, y		x, y	;
1		2		;
1		2
	2

аргументы
	x, y	2
1		2
	2



и
x, y		,

то для уравнения гиперболического класса имеет место второй канонический вид

u	u		,, u, u , u .		22
		*
		1
Линейное уравнение			15	с постоянными коэффициен-

тами принадлежит к одному и тому же классу в каждой точке области G. Данному уравнению отвечает характеристическое

уравнение 18 тоже с постоянными коэффициентами. По-

этому характеристиками линейного уравнения с постоянными коэффициентами являются прямые y kx b, где

k	a		D	;
k	12			;
	12
		a
		11

D a	2	a a .

12		11	22

Используя представленные ранее преобразования аргу-

ментов, уравнение

гиперболического класса

D 0

преобразуется к одному из таких видов:

	u	b u b u		cu f , 0
		1	2
или
				cu f ,	0.
u u		b1u	b2u	cu f ,	0.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
параболического	D 0		и эллиптического		D 0	классов

преобазуются соответственно к каноническим видам:

	u	b u b u		cu f , 0;
		1	2
u	u	b u	b u	cu f , 0.
		1	2
Используя новую неизвестную функцию v , по
правилу u , e v , ,				в котором и – некоторые

константы, и подбирая значений этих констант, канонические

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022319.76 Кб2Методическое пособие 54.pdf
#
30.04.20222.17 Mб3Методическое пособие 540.pdf
#
30.04.20222.17 Mб16Методическое пособие 541.pdf
#
30.04.20222.17 Mб5Методическое пособие 542.pdf
#
30.04.20222.2 Mб4Методическое пособие 543.pdf
#
30.04.20222.2 Mб6Методическое пособие 544.pdf
#
30.04.20222.21 Mб3Методическое пособие 545.pdf
#
30.04.20222.21 Mб2Методическое пособие 546.pdf
#
30.04.20222.22 Mб2Методическое пособие 547.pdf
#
30.04.20222.27 Mб7Методическое пособие 548.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Методическое пособие 549.pdf