Методическое пособие 544

v f

, 0;

v

v

1

f

, 0;

v

bv

1

v f

, 0

v

v

1

2.

Находим значение

D a2

a a 4 21 25 0.

12

11

22

3.

Так как D 0 для любых

x,

y, то заданное уравне-

u

u u

7u

3u ,

u

u

u

u u

,

x

x

x

y

y

y

u

u

2

2u u

2

u

u

xx

x

x

x

x

xx

xx

49u

42u

9u ,

u

u

u

u

u

u

xy

x y

x y

x

y

x y

xy

xy

7u

4u

3u

,

u

u

2u

u

2u

u .

2

u

2

u

u

yy

y

y

y

y

yy

yy

49u

42u

9u

28u

16u 12u 21u

42u

2

21u

14u

6u

3u

3u

5u

,

10

2

100u

11u 9u

5u

,

10

2

0, 0001 ,

в

ческой форме u

0,11u

0, 09u 0, 05u

которой

7x y и

3x y.

Осуществим

в

заданном уравнении подстановку

1 x, y 2 x, y

7x y 3x y

2x y;

2

2

1 x, y 2

x, y

7x y 3x y

5x.

2

2

22

В этом случае

x

.

2;

1;

5;

0;

5

x

y

x

y

0.

По правилу дифференциро-

xx

xy yy xx

xy yy

вания сложной функции

u

u u

2u 5u ,

u u

u

u

,

x

x

x

y

y

y

u

u

2

2u

u

2

u u

xx

x

x

x

x

xx

xx

4u

20u

25u

,

u u

u

u

u

u

xy

x

y

x

y

x

y

x

y

xy

xy

2u 5u

,

u

u

u

u .

2

2u u

2

u

yy

y

y

y

y

yy

yy

В итоге подстановки заданное уравнение приобретѐт

форму

4u

20u

25u

8u

20u

21u

2

4u 10u

3u 5u

,

25

2

25u

25u u 10u

5u

,

25

скому виду u

u

0, 04u 0, 4u

0, 2u 0, 0016 2 , где

3. Так как

D 0

для любых

x,

y,

то заданное уравне-

dy

2

dy

2

1

0.

Разрешая это уравнение относительно

dx

dx

dy

,

имеем:

dy

1.

Таким образом, у характеристического

d x

d x

(в роли

можно было выбрать и любую иную дважды диф-

ференцируемую функцию,

не зависящую от

x, y ). В

этом случае x

и

xy .

1;

1;

0;

x

y

x

0.

По правилу диффе-

y 1;

xx xy

yy

xx

xy yy

ренцирования сложной функции

u

u u u

, u u u u

u ,

x

x

x

y

y

y

,

u

u

2

2u

u

2

u u

u

xx

x

x

x

x

xx

xx

u

u

u

u

u

u

xy

x y

x

y

x y

x

y

xy

xy

u

u

2

2u

u

2

u

u

u

2u

u .

yy

y

y y

y

yy

yy

u 2u 2u u 2u u u

u

u u ,

u

u

u ,

2.

Находим значение

a a

1 2 1 0.

D a

2

12

11

22

3.

Так как

D 0 для любых

x,

y, то заданное уравне-

dy 2

dy

2

1

0. Разрешая это

уравнение относительно

dx

dx

dy

,

имеем:

dy

1 i и

dy

1 i. Таким образом, у характе-

d x

d x

d x

ристического

уравнения

есть

два общих решения

y x ix С1

и

y x ix С2 или в форме общих интегралов

x, y x y ix С1 и x, y x y ix С2.

5. В заданном уравнении осуществляем подстановку

Re x, y x y,

Im x, y x

(в роли

и можно было выбрать Re x, y и Im x, y ).

25

u

u u

u

u

,

u

u

u

u ,

u

x

x

x

y

y

y

u

,

u

2

2u

u

2

u

u

u

2u

xx

x

x x

x

xx

xx

u

u

u

u

u

u

xy

x y

x y

x

y

x y

xy

xy

u

u

,

u

u

2u

u

u

u .

2

u

2

yy

y

y y

y

yy

yy

В итоге подстановки исходное уравнение принимает

вид

u

2u

u

2u

2u

2u

6u 6u

6u 3u

2

,

u

u

6u

3u

2

,

2

, где x y и x.

ду u u 6u 3u

n

x, u, grad u 0.

aij x uxi x j

23

i 1

Чтобы упростить уравнение 23

в точке

x0

с помощью

замены переменных

24

y y

x

,

y y1, y2 , ..., yn , yi

yi x1,

x2

, ..., xn ,

i 1, n,

yi

– дважды

y

, y

, ..., y

n

y

зования

D

1

2

det

i

x 0,

достаточно упро-

x

, x

, ..., x

x

j

1

2

n

стить квадратичную форму

n

x

p p

a

25

ij

0

i

j

i, j 1

ние 33 – характеристическим уравнением. В случае

n 2

характеристическая поверхность именуется характеристиче-

ской линией.

Допустим, что

любая поверхность множества

x C 0, a C b,

является характеристикой уравнения

рактеристика. Предположим,

что –

дважды непрерывно

дифференцируемая в области

G функция. В этом случае, ес-

ли в преобразовании 24

положить y1

x , то согласно

27 и 33 коэффициент

~

11

станет равным нулю в соответ-

~

ствующей области G . Следовательно,

зная одно или не-

Примеры характеристик.

W

а) Волновое уравнение

a u

f .

Его характеристиче-