Методическое пособие 544

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рассматривая в искомом решении

этой задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

0 C 0

;

C sin

x sin

2 n

x, n N.

Каждому собственному значению

соответствует функция

Tn t ,

которую

находим

из

решения

уравнения

Tn t

или

Tn t

Общее ре-

4Tn t

Tn t

шение

этого

уравнения

имеет

вид

Tn t an cos

bn sin

где

bn – произвольные по-

стоянные.

3. Решение исходной краевой задачи ищем в виде

u x, t

2 n

cos

t b sin

sin

n 1

, u

0, u

t 0

x 0

Дифференцируя функцию u

по t,

получим

2 n

b cos

sin

n 1

2 n

t 0

b sin

x 0;

n 1

Определяя коэффициенты

по формулам Эйлера

получаем

– Фурье,

		3									3
							2 n									2 n
	2 2				3		2 n		4	3		2 3		2		2 n
an				x x		sin		xdx					x x		d cos		x
an				x x		sin		xdx					x x		d cos		x
	3		0		2		3		3	2 n 0 2						3
	2		0		2					2 n 0 2						3
	2

																										3

2	3								2							2 n											3													2 n
2	3			x x					2							2 n							3			2	3													2 n
				x x							cos									x			0								2x cos													xdx
																							2
n		2																3								0			2													3
																										0

										3				3							3										2 n
										3				2							3										2 n
										2			2				2x							d			sin								x
										2		n	2								2											3
												n		0							2											3
																															3
		3												3						2 n											3					2 n
		3												3						2 n							3				2					2 n
		2		2				2x								sin									x		0		2 sin												xdx
																											2
			n											2							3										0							3
																															0
							9								2 n													9
							9					cos			2 n				x			3						9				1					n		1				;
																						3

																						2								3
						3		n		3							3					0						3	n	3
								n									3												n
				b				0, b																		18								, k N.
				b				0, b																	2k 1								3	, k N.
					2k									2k 1										3									3

Подставляя найденные коэффициенты в выражение для функции u, получим

		18			2k 1		2 2k 1
u x, t				cos		t sin		x.
	3	2k 1	3		6		3
k 0

Неоднородное уравнение.

С помощью метода Фурье представляется возможнм решение краевых задач и для неоднородного волнового уравнения.

Рассмотрим, к примеру, постановку задачи о вынужденных колебаниях струны, зафиксированной на концах:

	u					u
2					2					x, t , t 0, 0 x l;
		a		2				f
t	2	a			x		2	f
t					x

u		t 0	x ,						u	t 0	x , 0 x l;
		t 0							t	t 0

переменную t как параметр, найдѐм данное решение в виде ряда Фурье по ортогональной на отрезке 0, l системе соб-

ственных функций

	nx
	nx		,
sin			,

	l	n 1

определѐнных в задаче о

свободных колебаниях ограниченной струны и удовлетворя-

ющих граничным условиям

85 .

Тогда

u x, t

t sin

n 1

здесь коэффициенты

Vn t

надо находить в виде функции

времени t при условии, что ряд

является решением

уравнения 83 и удовлетворяет начальным данным

84 . С

этой целью разложим функции

x, t ,

и x

в такие

ряды Фурье:

f x, t fn t sin

, fn

, t sin

d ;

n 1

x n sin

, n

sin

d ;

n 1

sin nx

sin n d .

n 1

После подставки рядов

в уравнение 83 и

начальные данные 84 , будем иметь такие выражения:

Vn t

t sin

fn t sin

;

n 1

0 sin

sin

;

n 1

0 sin

sin

n 1

Приравняем в соотношениях

коэффициенты

при

одних и тех же собственных функциях. В результате будем иметь такую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

na 2

t ;

Vn t

Vn t fn

, V

Общее решение уравнения

возможно определить,

используя метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Выполняя начальные условия 90 , запишем реше-

ние задачи 89 ,

Vn t n

		l	l
		l

		na
		na
			0

в форме
na			l		na
cos		t		n sin		t
cos	l	t	na	n sin	l	t
	l		na		l

fn sin	na t	d .

	l

Тогда, подставив найденное выражение для

Vn t

в ряд

86 ,

получим решение исходной задачи

–

в сле-

дующей форме:

u x, t n

cos

n sin

sin

n 1

nx .

fn sin

d sin

n 1

na 0

Общая первая краевая задача.

Исследуем общую постановку задачи о вынужденных колебаниях струны с исходными законами колебаний еѐ концов:

2u		a2 2u		f	x, t , t 0, 0 x l;
t2			x2
u	t 0		x ,	u	t 0	x , 0 x l;

				t

u x 0 t , u x l t , t 0.

Чтобы решить данную задачу, зададим вспомогатель-

ную функцию

W x, t

с условием, что для неѐ выполняются

условия 95 ,

что равносильно

x 0

t ,

W x l

t .

роли одной из этих функций можно взять

x, t

, 0 x l.

Производя замену u x, t W x, t v x, t

для новой иско-

мой функции

v x, t

будет иметь место такая краевая задача:

x, t , t 0, 0 x l;

t 0

x , 0

x l;

x 0

0, v

x l

0, t 0,

здесь новые функции

f1 x, t ,

1 x

и 1 x

заданы выраже-

ниями

f x, t

x, t

f x, t

;

1 x x W t 0

0 0 ;

	x x	W

1		t

t 0

		x
x	0		0	0	.
x	0		0	0	.
		l
		l

Следовательно, первая краевая задача для неоднородного уравнения в общей постановке сведена к изученной ранее задаче вида 83 – 85 о вынужденных колебаниях ограниченной струны с зафиксированными концами.

3.4. Одномерное уравнение теплопроводности

Явление переноса теплоты от более нагретых мест тела к менее нагретым обусловлен изменением температуры u в разных местах тела. Таким образом, рассмотрение данного явления в макроскопической теории, вообще говоря, трансформируется к нахождению нестационарного температурного поля в теле.

Изучим одномерный процесс переноса теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала (рис. 8), имея ввиду, что температура u u x, t есть функция

только одного пространственного аргумента x.

Плотность материала, его удельную теплоѐмкость c и коэффициент теплопроводности k, вообще говоря, неоднородной среды примем тоже зависящими лишь от одного пространственного аргумента x.

Описывая математически данное явление, считаем что среда неподвижна, а вариация объѐма материала вследствие вариации температуры является бесконечно малой величиной. Тогда возможно сделать предположение о независимости явления теплопроводности от выполнения механической работы.

В расматриваемом слое материала в качестве некоторой термодинамической системы выделим объѐм V в виде ци-

линдра с площадью основания ординатной оси Ox (см. рис. 8).

и осью, параллельной ко-

		Рис. 8. Явление теплопереноса
	Согласно первомй закону термодинамики, адптирован-
ного к рассматриваемому объѐму					V ,	имеет место соотноше-
ние
		dU	Q	Q	,	99
			Q	Q	,
		dt	1	2
			1	2

здесь	U	– внутренняя энергия системы, еѐ представляется

возможным определить, интегрируя объѐмную плотности внутренней энергии x, t по объѐму цилиндра:

	x2
U dV S dx.
V	x1

Тогда вариация внутренней энергии системы за единицу времени

dU	x
dU	2
dt	S	t	dx.
dt	x	t
	x
	1

100

Тепловой поток Q1 сквозь всю замкнутую поверхность

рассматриваемого цилиндра (количество теплоты, выделяемое сквозь данную поверхность за единицу времени), представляется возможным определить интегрированием по поверхности нормальной составляющей плотности теплового

потока

нормаль к

Тогда

1	Т
Q		q ndS,

здесь

– единичная внешняя

Исходя из физического закона Фурье, при теплопереносе теплопроводностью q kgradu. Поскольку в изучаемом

варианте вектор плотности теплового потока q имеет только

одну составляющую

q		k	u	,
q	x	k	x	,
	x

то тепловой поток от рас-

сматриваемого объѐма распространяется только сквозь основания цилиндра, и

Q S

dx.

x x

101

Внутри рассматриваемого объѐма из-за прохождения эндоили экзотермических реакций, протекания электрического тока, выделения влаги в пористом материале и иных воздействий предсталяется возможным выделение (поглощение) теплота. При условии, что F x, t интерпретируется как объ-

ѐмную плотность или, другими словами, удельная мощность, тепловых источников, за единицу времени в изучаемом объѐ-

ме выделится F 0 или поглотится F 0 количество теплоты

			x
2			2	F x, t dx.
2		FdV S
Q		FdV S
	V		x
			1

102

После подстановки соотношений

100

–

102

в уравнение

99 ,

будем иметь

x			u
2			u
S	t	k		F x, t dx 0.
x	t	x	x
1

103

Поскольку координаты

рутся произвольно, соотношение

x2 оснований цилиндра бе-103 имеет место только в

случае, когда подынтегральная функция нулевая. Следовательно, в рассматриваемом явлении теплопере-

носа локально (в любой точке пространства) обязательно выполнение такого дифференциального выражения:

		u	F x, t .
t	k		F x, t .
t	x	x

104

Объѐмная плотность

сжимаемой среды

внутренней энергии

u	варьируется

исследуемой в зависимости

неот

					d	~
температуры, а			производная		du	c	интерпретируется как
					du
					~
объѐмная		теплоѐмкость			c c		вещества.	Поэтому
	u	c	u	. Исходя из соотношения 104				имеет ме-
t	u t	c	t	. Исходя из соотношения 104				имеет ме-
t	u t		t

сто дифференциальное уравнение

c	u		u	F x, t .
c		k		F x, t .
	t	x	x

105

В случае однородного вещества со свободными от

пературы теплофизическими характеристиками ,

тем- и k

уравнение

105

равносильно

u a2 2u f x, t ,

t x2

106

здесь	a	2	k	– константа, именуемая коэффициентом тем-

			c

пературопроводности вешества,

Уравнения

f105

x и

, t106

1F x, t .

есть дифференциальные урав-

нения в частных производных параболического класса. Они используются в математических интерпретациях явления теплопереноса в неоднородных и однородных телах с одномерным температурным полем. Данные уравнения именуют-

ся уравнениями теплопроводности.

Замечание. Уравнения

105

106

моделируют вари-

ацию температурного поля в стержне постоянного поперечного сечения, сделанном из неоднородного или однородного вещества при условии, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, площадь поперечного сечения пренебрежимо мала и представляется возможным не принимать во внимание распределение температуры по сечению, предполагая еѐ зависимость лишь от осевой переменной.

Постановка краевых задач.

С целбю использования уравнения теплопроводности для построения математической модели вариации температурного поля в теле, нужно иметь распределение температуры в начальный момент времени, что означает постановку начального условия. Для исследуемого одномерного явления начальное условие

u	t 0	x	, 0 x l,	107
u		x	, 0 x l,

определяется исходной функцией x .

Более, необходимо знать тепловой режим на поверхности тела S, что означает постановку граничных условий в каждой точке поверхности тела в произвольный момент вре-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022319.76 Кб2Методическое пособие 54.pdf
#
30.04.20222.17 Mб3Методическое пособие 540.pdf
#
30.04.20222.17 Mб16Методическое пособие 541.pdf
#
30.04.20222.17 Mб5Методическое пособие 542.pdf
#
30.04.20222.2 Mб4Методическое пособие 543.pdf
#
30.04.20222.2 Mб6Методическое пособие 544.pdf
#
30.04.20222.21 Mб3Методическое пособие 545.pdf
#
30.04.20222.21 Mб2Методическое пособие 546.pdf
#
30.04.20222.22 Mб2Методическое пособие 547.pdf
#
30.04.20222.27 Mб7Методическое пособие 548.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Методическое пособие 549.pdf