Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Методическое пособие 544

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
2.2 Mб
Скачать
☆

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

cos d

 

 

 

e

 

sin

 

 

 

e

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

cos d

 

I .

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, для

нахождения

имеется дифференциальное

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 0

 

 

уравнение

I

и начальное условие

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая эту задачу Коши,

dI

 

 

 

dI

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

I;

 

d ; ln I

 

ln c ; I ce

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2

 

I

 

2

 

4

 

 

 

 

; c

,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим

e

4

.

Подставим полученный интеграл в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

153 :

u x,

1

 

 

 

 

 

 

 

решение

 

x

 

 

4

d .

Воз-

 

 

f

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращаясь к старым переменным, получим искомую формулу Пуассона:

где

f1

 

x

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

u x, t

 

f

e

4a

t

d ,

 

 

 

 

 

 

154

 

2a

 

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– начальная температура различных точек стержня.

Пример 1. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

на

f

 

1

 

ut

Решение.

Решение задачи прямой задаѐтся

x e

x

получаем

 

u

, x , , t 0, ,

 

xx

 

 

 

 

u

 

 

e

x

, x , .

t 0

 

 

 

 

 

Коши для уравнения теплопроводности формулой Пуассона 154 . Для a 1,

91

 

x

 

2

u x, t

1

e

 

e

 

4t

d .

 

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, для решения задачи необходимо вычислить данный интеграл.

1. Производим подстановку в интеграле:

 

 

 

 

 

 

x y, 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t y x, d 2 tdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем u x, t

 

1

 

 

 

 

 

 

 

t y xe y2 dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Выделяя полный квадрат в соотношении

 

 

 

 

 

 

y

2

2

t y x y

2

2

t y t t x y

 

t

2

t x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x, t

1

 

 

 

 

 

y t

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

y

t

 

2

 

 

 

 

 

 

 

e

e

t x

dy

e

t x

e

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y

t

2

 

y t

e

t x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t x

e

 

d

 

 

 

e

t x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Используя формулу Пуассона, найти решение

задачи Коши для уравнения теплопроводности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

3u ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

e

4 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

f1

Решение.

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

прямой задаѐтся формулой Пуассона 154 .

Для

a 1,

x e

2

6 x

 

 

 

4 x

получаем

 

 

 

 

 

 

u x, t

 

1

 

 

2

 

 

x 2

 

 

 

 

e 4

 

6 e

 

12t d .

 

 

 

 

 

 

2

3 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, для решения задачи необходимо вычислить данный интеграл.

92

1. Производим подстановку в интеграле:

x

y, 2

3t y x, d 2

3tdy.

12t

 

 

 

 

 

1

 

 

2

6 2 3t y x

 

 

 

Имеем u x, t

 

 

e

4 2 3t y x

e

y2

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Выделяя полный квадрат в соотношении

y

2

4

2

3t y x

2

6 2

3t y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 48ty2 163t yx 4x2 123t y 6x

y2 48t 1 43t y 4x 3 4x2 6x

 

2

48t 1 2 y

48t 1

 

2

3t

4x 3

 

 

12t 4x 3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12t

4x 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

2

 

12t

4x 3

2

 

 

 

 

 

 

y

48t 1 2

3t

 

 

 

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

2

 

12t 4x

3

2

 

 

 

 

 

 

 

48t 1 2

 

3t

 

 

4x

2

6x,

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

2

 

 

6t 4 x 3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1 2

 

 

 

 

2

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

48t 1

4 x 3

 

 

48t 1

2 x

 

 

 

 

u x, t

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6t 4 x 3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

3x

 

 

 

 

 

 

48t 1 2

 

 

 

 

 

1

 

 

48t 1

2 x

 

48t 1

y

 

4 x 3

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

48t 1

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93

 

 

 

 

 

6t 4 x 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 x

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1 2

 

 

 

3t

4 x 3

 

 

 

 

 

1

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6t 4 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

48t 1 2

48t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y

48t 1

2

 

 

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6t 4 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6t 4 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 x

3x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 x

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48t

1

 

 

 

 

 

 

 

48t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи теплопроводности для полуограниченного стержня.

Аналогично тому, как это делалось для волнового уравнения колебаний полубесконечной струны, можно решать начально-краевые задачи для полуограниченного стержня. Рассмотрим две наиболее простые такие задачи.

u

 

 

 

 

u

 

 

 

 

a

 

2

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

t

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

f

x , 0 x ;

 

t

0

 

 

1

 

 

 

 

 

u

 

 

0, 0 t .

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

155

Формулу Пуассона здесь применить нельзя, так как

функция

f1 x

не определена для отрицательных значений

аргумента. Доопределим функцию

f1 x

нечѐтным образом

относительно начала координат:

94

 

 

f

x , если x 0,

F

x

 

1

 

 

 

 

 

x , если x 0.

1

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

1

 

156

Тогда решение уравнения теплопроводности запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x, t

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F e

 

4a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись нечѐтностью функции

 

F1

и формулой

156 , преобразуем это выражение к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

u x, t

 

1

 

 

 

 

1

e

 

 

2

 

 

d

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

4a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

F e

 

4a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

t

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ , d d ]

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

4a

t

d

 

 

 

 

 

 

e

4a

t

d

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

2a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

t

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

e

 

4a

t

 

e

 

 

4a

t

 

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При x 0

это решение, как следует из формулы 157 ,

 

 

u

x 0

 

0

для любого момента времени t.

Итак, решение начально-краевой задачи 155 даѐтся

формулой

157 .

Согласно этой формуле краевое условие

u

x 0

 

0

выполняется, если для

x

разместить мгновенные

точечные источники тепла разных знаков симметрично относительно начала координат.

Рассмотрим вторую начально-краевую задачу

95

u

 

 

 

 

u

 

 

 

 

a

 

2

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

f

x , 0 x ;

 

t

0

 

 

1

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 0 t .

x

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

158

Эта ситуация соответствует случаю, когда левый конец стержня теплоизолирован.

Доопределим функцию f1 x

чѐтным образом относи-

тельно начала координат, введя новую функцию

F2 x :

f

x , если x 0,

 

 

1

 

 

 

F2 x

f

x , если x

0.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Записывая формулу Пуассона и совершая преобразования, аналогичные предыдущим, получим:

 

 

 

u x, t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

e

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

4a2t

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

t 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

4a

t

 

e

4a

t

 

d .

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

159

Проверим, что эта функция удовлетворяет граничному усло-

вию. Найдѐм производную

u

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e

 

 

 

 

 

 

x e

 

 

 

d .

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

4a

t

4a

t

 

 

x

 

4a

 

t

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда видно, что если

x 0,

то

u

 

x 0

0.

Согласно форму-

 

x

 

 

159

граничное условие u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ле

x 0

0 будет выполняться, ес-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ли мгновенные точечные источники тепла одинаковых знаков

96

разместить симметрично относительно

Поэтому в силу чѐтности функции

f1 x

начала координат.

производная

u

в

x

 

 

нуле всегда равна нулю.

Итак, решение начально-краевой задачи даѐтся форму-

лой 159 .

3.5. Уравнения эллиптического типа

Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям. Постановка краевых задач.

При изучении стационарных явлений разной физической направленности (колебания, теплопроводность, диффузия и др.), как правило, получают уравнения эллиптического класса. Самое известное уравнение данного класса – уравне-

ние Лапласа u 0.

Зависимость

u

именуется гармонической в области

T

при условии еѐ непрерывности в данной области одновременно со своими производными до второго порядка и выполнения для них уравнения Лапласа.

При исследовании свойств гармонических зависимостей получены разные математические способы, которые можно с успехом использовать и для уравнени гиперболического и параболического классов.

Рассмотрим стационарное тепловое поле. При изучении уравнений параболического типа получено, что для температуры нестационарного теплового поля справедливо дифференциальное уравнение теплопроводности

 

 

k

 

ut a2 u a2

 

 

.

 

 

 

c

При условии, что явление стационарно, устанавливается распределение температуры u x, y, z , постоянное во времени и, значит, для него выполняется уравнение Лапласа

97

u 0.

160

Если присутствуют источники тепла, то приходим к уравнению

 

 

u f , f

F

,

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

здесь

F

– плотность источников тепла,

k

теплопроводности. Неоднородное уравнение

161

– коэффициент

Лапласа

161

обычно именуют уравнением Пуассона.

Выделим объѐм

T ,

который ограничен некоторой по-

верхностью .

Задача стационарного распределения темпера-

туры u x, y, z

внутри данного объѐма T ставится так: опре-

делить зависимость u x, y, z , для которой внутри T выпол-

няется уравнение

 

 

 

 

 

u f x, y, z

 

162

и граничное условие одного из трѐх типов:

 

 

 

а)

u f1

на

(первая краевая задача),

 

 

 

б)

u

 

f2 на

(вторая краевая задача),

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

u

h

u f3 0 на (третья краевая задача),

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

здесь

f1

, f2 ,

f3

, h – известные зависимости,

u

– производ-

n

 

 

 

 

 

 

 

 

ная по внешней нормали к поверхности .

Замечание. Ясно, что стационарное распределение температуры устанавливается только тогда, когда суммарный поток тепла сквозь границу области нулевой. Таким образом,

для зависимости

f2

необходимо выполнение ещѐ одного

условия: f2d 0.

98

Первую краевую задачу для уравнения Лапласа обычно именуют задачей Дирихле, а вторую краевую задачу – задачей

Неймана.

 

 

При условии, что находится решение в области

T0 ,

внутренней (или внешней) относительно поверхности

,

со-

ответственная задача называется внутренней (или внешней)

краевой задачей.

Задача Дирихле в круге.

Предположим, что имеется круг с радиусом R и центром, являющимся полюсом O полярной системы координат. Найдѐм зависимость u r, , которая является гармониче-

ской в круге и на его окружности для неѐ справедливо требо-

вание

u

r R

f ,

 

 

f

– известная зависимость, являю-

щаяся непрерывной на границе круга. Для неизвестной зависимости требуется выполнения в круге уравнения Лапласа

r

2 2u

r

u

 

2u

0.

163

r2

r

2

 

 

 

 

 

 

Для нахождения решения данной задачи воспользуемся методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения, удовлетворяющее заданному граничному усло-

вию, находится в форме u Q r T t .

В этом случае имеем

 

 

 

 

r

 

Q

 

r T

rQ r

T Q r T

 

 

0.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производим разделение аргументов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

r

 

T

 

 

T

 

θ

 

 

 

r2Q

 

r

 

 

rQ

 

r

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

r

 

Q

 

r rQ

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

Q r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая обе части

последнего соотношения равными кон-

станте k

2

,

 

будем иметь пару обыкновенных дифференци-

 

 

альных уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k T

0, r Q

 

r rQ

 

r k Q r 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, для

k 0 получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T A B ,

 

 

 

 

 

 

164

 

 

 

 

Q

 

r

 

C D ln r.

 

 

 

 

 

165

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же

k 0,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166

 

 

 

 

 

Acos k B sin k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а решение

второго

уравнения будем определять в форме

Q r r

 

,

отсюда

имеем

r

m m 1 r

m 2

rmr

m 1

k

 

r

 

0

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

m

 

или

r

 

m

 

k

 

0,

 

m

2

2

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

m k.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q r Cr

k

Dr

k

.

 

 

 

 

 

 

 

167

Замечание. Зависимость u r,

по аргументу явля-

ется периодической с периодом

2 ,

поскольку для одно-

значной функции величины u r, и

u r, 2 совпадают.

Следовательно, из соотношения 163

вытекает, что B 0, а в

соотношении

1, 2, ..., k 0 .

166

k

может принимать одно из значений

Далее, в соотношениях

165

и

167

необходимо вы-

полнение условия D 0, иначе зависимость будет терпеть

разрыв в точке

r

Таким образом,

мы

дифференциального

0 и не являться гармонической в круге. имеем бесконечное семейство решений

уравнения 163 , удовлетворяющих за-

данному граничному условию, непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно представить в форме

100

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности