Методическое пособие 503

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

существуют такие значения

постоянных

C1 = C10 ,...,Cn = Cn 0 , что функция

y = Φ(x,C10 ,...,Cn 0 ) удовлетворяет начальным условиям:

y(x ) = y , y′(x ) = y ,

, y(n−1) (x ) = y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

3.14. Структура решения ЛОДУ n-го порядка

Фундаментальная система решений ЛОДУ

Фундаментальной системой решений уравнения (3.9) называется упоря-

доченный набор из n линейно независимых решений уравнения.

Иными словами, любые n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),..., yn (x) (3.9) образуют фундаментальную систему решений.

Доказано, что у однородного линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами существует фундаментальная система решений.

Пусть задана некоторая линейно независимая система n векторов из Rn:

		e11				e12				e1n

		= e21	,			= e22	,...,			= e2n .
	e	= e21	,		e	= e22	,...,		e	= e2n .
1		...		2		...		3		...
1				2				3

		en1				en2				enn

И пусть функции y1 (x),

y2 (x),..., yn (x) −

решения уравнения (3.9) с началь-

ными условиями:

y1 (x0 ) = e11,

y2 (x0 ) = e12 ,

yi (x0 ) = e1i ,

yn (x0 ) = e1n ,

y ′ (x ) = e ,

y ′ (x ) = e

′(x ) = e

1 0

2 0

...

y(n −1)

(x ) = e

y(n −1) (x ) = e

y(n −1) (x ) = e ,

y(n −1) (x ) = e .

Функции y1 (x), y2 (x),..., yn (x)

образуют фундаментальную систему решений

линейного однородного уравнения.

Пример № 3.13. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с непрерывными на интервале (e,∞) коэффициентами

y′′ +		1	y′ −		1	y =
	x(1			x2
		− ln x)			(1 − ln x)

функция y1 (x) = ln x является решением на интервале (e,∞)

y′′ +	1	y′ −	1	y = 0, y1	(e) = 1,
	x(1 − ln x)		x2 (1 − ln x)

задачи Коши: y1′ (e) = e−1 ,

а функция y2 (x) = x является решением на (e,∞) задачи Коши:

y′′ +

y′ −

y = 0, y

(e) = e, y

′(e) = 1.

x2 (1 − ln x)

x(1 − ln x)

Эти функции линейно независимы на (e,∞) , поскольку их определитель

Вронского отличен от нуля:

W (x, y1 , y2 ) =

ln x

= ln x − 1 > 0 на (e,∞) .

Отсюда

следует, что

функции y1 (x) = ln x ,

y2 (x) = x

образуют

фундаментальную систему решений исследуемого уравнения.

Структура общего решения ЛОДУ

Общим решением уравнения (3.9)

на отрезке [a,b]

называется функция

y = Φ(x,C1,...,Cn ) ,

зависящая

от

n произвольных постоянных

C1,...,Cn и

удовлетворяющая следующим условиям:

− при

любых допустимых

значениях постоянных

C1,...,Cn функция

y = Φ(x,C1,...,Cn )

является решением уравнения на [a,b] ;

−какова бы ни была начальная точка (x0 , y0 , y10 ,..., yn −10 ) , x0 [a,b] ,

существуют такие значения		постоянных		C1 = C10 ,...,Cn = Cn0 ,		что	функция
y = Φ(x,C10 ,...,Cn0 ) удовлетворяет начальным условиям:
y(x ) = y , y′(x ) = y ,				y(n −1) (x ) = y	n −10	.	(3.20)
0	0	0	10	0	n −10

Теорема 3.1. (о структуре общего решения линейного однородного уравнения). Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a,b] , а функции

y1 (x), y2 (x),..., yn (x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C1,...,Cn ) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x),

(3.21)

где C1,...,Cn − произвольные постоянные.

Пример № 3.14. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с непрерывными на интервале (e,∞) коэффициентами из примера 3.13.

Функции y1 (x) = ln x и y2 (x) = x образуют фундаментальную систему решений. Общим решением уравнения является функция

y(x,C1,C2 ) = C1 ln x + C2 x.

3.15. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ)

Напомним линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3.8):

y(n) + an−1 (x) y(n−1) + ... + a1 (x) y′ + a0 (x) y = f (x).

Общим решением уравнения (3.8) на отрезке [a,b] называется функция y = Φ(x,C1,...,Cn ) , зависящая от n произвольных постоянных C1,...,Cn и

удовлетворяющая следующим условиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C1 ,...,Cn функция y = Φ(x,C1 ,...,Cn ) является решением уравнения на [a,b] ;

−какова бы ни была начальная точка (x0 , y0 , y10 ,..., yn−10 ) , x0 [a,b] ,

Теорема 3.2. (о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения). Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a,b] , а функции

y1 (x), y2 (x),..., yn (x) образуют фундаментальную систему решений соответству-

ющего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C1 ,...,Cn ) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) + y (x),

(3.22)

где C1 ,...,Cn − произвольные постоянные, y (x) − частное решение неоднородного уравнения.

Пример № 3.12. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на интервале (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью:

y′′ +		1	y′ −	1	y =	1 − ln x	,
	x(1	− ln x)		x2 (1 − ln x)		x3

частным решением, которого является функция y (x) = 1 − 2ln x . 4x

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1 (x) = ln x , y2 (x) = x .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C ,C		) = C ln x + C		x +	1 − 2ln x	.
y(x,C ,C		) = C ln x + C		x +		.
1	2	1	2		4x
					4x

3.16. Метод вариации произвольных постоянных для поиска частного решения

Задача состоит в вычислении какого-либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3.8) с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами и непрерывной правой частью.

Предположим, что известна фундаментальная система y1 (x), y2 (x),..., yn (x)

решений соответствующего однородного уравнения (3.9).

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) + ... + Cn (x) yn (x),	(3.23)
где C1 (x), C2 (x),...,Cn (x) − неизвестные, n раз дифференцируемые на	[a,b]

функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.

Справедливо следующее утверждение. Пусть y1 (x), y2 (x),..., yn (x) −

фундаментальная система решений однородного уравнения (3.9) с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами. Если правая часть f (x) неоднородного уравне-

ния (3.8) непрерывна на [a,b] , то его частное решение можно искать в виде (3.23). Неизвестные функции C1 (x), C2 (x),...,Cn (x) находятся из системы

C ′ y + C ′ y					+ ... + C	′ y		= 0,
	1	1	2	2	n		n
C ′ y ′ + C ′ y					′ + ... + C ′ y ′ = 0,
	1	1	2	2		n		n
C ′ y ′′ + C ′ y					′′ + ... + C ′ y ′′				= 0,		(3.24)
	1	1	2	2		n		n
.................................
			+ C ′ y(n−1) + ... + C						′ y(n−1)
C ′ y(n−1)			+ C ′ y(n−1) + ... + C						′ y(n−1)	=	f (x).
	1	1		2	2			n	n

Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Найдем методом Лагранжа частное решение для уравнения 2-го порядка

y′′ + a1 (x) y′ + a0 (x) y =

f (x)

непрерывными коэффициентами

непрерывной

правой частью.

Предположим,

что

известна

фундаментальная

система

y1 (x), y2 (x)

решений соответствующего однородного уравнения y′′ + a1 (x) y′ + a0 (x) y = 0.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x),

где C1 (x), C2 (x) − такие

неизвестные,

дважды

дифференцируемые на [a,b]

функции.

y (x)

Для того чтобы подставить функцию

в исходное уравнение, найдём

сначала первую производную y (x) :

( y (x))′ = C ′ (x) y (x) + C (x) y

′ (x) + C ′ (x) y

(x) + C

(x) y ′ (x).

Будем искать C (x), C

(x)

такими,

чтобы

C ′ (x) y (x) + C ′ (x) y

(x) = 0 и,

следовательно,

( y (x))′ = C1 (x) y1′ (x) + C2 (x) y2′ (x).

( y (x))′′ = C1′ (x) y1′ (x) + C1 (x) y1′′ (x) + C2′ (x) y2′ (x) + C2 (x) y2′′ (x).

Подставим выражения для производных в уравнение

y′′ + a1 (x) y′ + a0 (x) y ≡ C1′ (x) y1′ (x) + C1 (x) y1′′ (x) + C2′ (x) y2′ (x) + C2 (x) y2′′ (x) + +a1 (x)(C1 (x) y1′ (x) + C2 (x) y2′ (x)) + a0 (x)(C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x)) = f (x).

После простых преобразований имеем

C1 (x)( y1′′ + a1 (x) y1′ + a0 (x) y1 ) + C2 (x)( y2′′ + a1 (x) y2′ + a0 (x) y2 ) + +C1′ (x) y1′ (x) + C2′ (x) y2′ (x) = f (x).

Но	поскольку	y1 (x),	y2	(x)	–	решения однородного уравнения
y′′ + a (x) y′ + a (x) y = 0,		то C ′	(x) y	′ (x) + C		′ (x) y ′ (x) = f (x).
1	0	1	1		2	2
					75

Для неизвестных функций C1 (x), C2 (x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

C ′ y + C ′ y				2	= 0,
	1	1	2	2
				′ = f (x).
C ′ y′ + C ′ y				′ = f (x).
	1	1	2	2

Определитель этой линейной относительно C1′ (x), C2′ (x) системы – это отличный от нуля на [a,b] вронскиан фундаментальной системы решений.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно выписать в явном виде (имеем два дифференциальных уравнения первого порядка):

C ′ =				y2 f (x)							,
C ′ =			y y ′		− y			y ′			,
	1		y y ′		− y	2		y ′
		1		2		2			1
				y1 f (x)
C ′ =				y1 f (x)								.
C ′ =			y y ′		− y					′		.
	2		y y ′		− y		2	y		′
		1		2			2		1

Эти дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными легко интегрируются:

= ∫

y2 f (x)

dx,

y y ′

− y

y ′

y1 f (x)

C2′ =

∫

dx.

y y ′

− y

y ′

Неизвестные, варьируемые постоянные найдены – найдено частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка.

Пример № 3.13. Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка из примера 3.12.

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1 (x) = ln x , y2 (x) = x .

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y (x) = C1 (x) ln x + C2 (x)x.

y′(x) = C ′ ln x + C

+ C ′x + C

, т.к. C ′ ln x + C ′x = 0,

1 x

y′′(x) = C ′

+ C

−

+ C ′.

Подставим выражения для производных в уравнение

C1 − 12x

′

+ C

−

+ C ′

+ C

−

x(1 − ln x)

−

(C (x) ln x + C

(x)x) =

1 − ln x

x2 (1

− ln x)

ln2 x

−

+ C2

−

(1 − ln x) x

(1 − ln x)

x(1

− ln x) x

− ln x)

′

+ C

′ =

1 − ln x

′

+ C ′ =

1 − ln x

1 x

Для неизвестных функций C1 (x), C2 (x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Откуда имеем

C ′		=	1		,
C ′		=	x2		,
	1		x2
	′			ln x
	′	= −		ln x			,
C2
C2					x	3
					x

= ∫

dx,

= −

ln x

= −∫

И тогда частным решением исходного уравнения второго порядка является функция y (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) :

y (x) = 1 − 2ln x . 4x

3.17. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

		y(n) + an−1 y(n−1) + ... + a1 y′ + a0 y = 0.				(3.25)
Коэффициенты an−1 ,..., a1 , a0		- постоянные действительные числа. Найдем реше-
ние уравнения в виде y(x) = eλ x .
Продифференцируем и подставим функцию y(x) = eλ x в уравнение (3.25),
y(x) = eλ x ,	y′(x) = λeλ x , y′′(x) = λ 2eλ x ,..., y(n) (x) = λ neλ x ,
λ neλ x + a	λ n −1eλ x + ... + a λeλ x			+ a eλ x = 0,
n −1		1		0
eλ x (λ n + a	λ n −1 + ... + a λ + a ) = 0.
	n −1	1	0
Поскольку	eλ x ¹ 0	функция		y(x) = eλ x	будет решением	линейного
однородного уравнения тогда и только тогда, когда
		λ n + a	λ n −1 + ... + a λ + a = 0.			(3.26)
		n	−1	1	0

Уравнение (3.26) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

(3.25).	λ n −1
Многочлен n-й степени P (x) = λ n + a	λ n −1	+ ... + a λ + a		называется
n	n −1	1	0
характеристическим многочленом уравнения.

Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).

Для того чтобы функция y(x) = eλ0 x была решением уравнения (3.25) необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического

уравнения (3.26).

Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ1 ¹ λ2 ¹ ... ¹ λn − различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции eλ1 x , eλ2 x ,...,eλn x

образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид

y(x) = C1eλ1 x + C2eλ2 x + ... + Cneλn x .

Корни характеристического уравнения (3.26) могут быть как действи-

тельными, так и комплексными числами, могут быть простыми и кратными.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если числа λ1 ¹ λ2 ¹ ... ¹ λn − различные действительные корни характе-


ристического уравнения, то функции eλ1 x ,					eλ2 x ,...,eλn x	образуют фундамен-
тальную систему решений уравнения;
2. Если λ = λ0 −			действительный корень характеристического уравнения
кратности r, то r функций
eλ0 x ,	xeλ0 x ,	x2eλ0 x ,..., xr −1eλ0 x − линейно независимые решения уравнения;
3. Если λ = λ0 = α ± β i −				комплексно сопряженная пара корней характерис-
тического уравнения, то функции eα x cos(β x),					eα x sin(β x) − линейно независи-
мые решения уравнения;
4. Если λ = λ0 = α ± β i −				комплексно сопряженная пара корней характерис-
тического уравнения кратности r , то 2r функций
eα x cos(β x),		eα x sin(β x),		xeα x cos(β x),	xeα x sin(β x),...
..., xr −1eα x cos(β x),			xr −1eα x sin(β x)
− линейно независимые решения уравнения.
Пример № 3.14. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное
уравнение y′′ + y′ - 2 y = 0.				уравнение λ 2	+ λ − 2 = 0
Его	характеристическое					имеет два различных

действительных корня λ1 = −2 и λ2 = 1.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции

eλ1 x = e−2 x и eλ2 x = ex .	y(x) = C e−2 x + C
Общее решение уравнения имеет вид	y(x) = C e−2 x + C		ex .
	1	2
Пример № 3.15. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное
уравнение y′′ - 2 y′ = 0.	λ 2 − 2λ = 0
Его характеристическое уравнение	λ 2 − 2λ = 0	имеет два различных

действительных корня: λ1 = 0 и λ2 = 2.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции eλ1 x = 1 и eλ2 x = e2 x .

Общее решение уравнения имеет вид y(x) = C + C e2 x .
1	2
79

Пример № 3.16. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное

уравнение y( IV ) − 2 y¢¢¢ − 9 y¢¢ + 2 y¢ + 8 = 0.
Его	характеристическое уравнение			λ 4 − 2λ3 − 9λ 2			+ 2λ + 8 = 0 имеет 4
различных действительных корня: λ1 = 1, λ2				= −1,	λ3 = −2,		λ4 = 3.
Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции
eλ1 x = ex ,	eλ2 x = e− x , eλ3 x = e−2 x ,	eλ4 x = e3x .
Общее решение уравнения имеет вид
	y(x) = C ex + C		e− x	+ C e−2 x + C		e3x .
	1	2		3	4

Пример № 3.17. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее два комплексно-сопряжённых корня: λ1,2 = 2 ± 2i.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции

e2 x × cos 2x, e2 x × sin 2x.

Общее решение уравнения имеет вид		y(x) = C e2 x cos 2x + C e2 x sin 2x.
		1	2
Пример № 3.18. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное
уравнение	y( IV ) − y = 0.
Его характеристическое уравнение λ 4		− λ = 0 имеет 2 действительных и два
комплексных корня: λ1 = 1, λ2 = −1, λ3, 4 = ±i.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции: ex , e− x , cos x, sin x. Общее решение уравнения имеет вид

y(x) = C1ex + C2e− x + C3 sin x + C4 cos x.

Пример № 3.19. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y(V ) − 6 y( IV ) + 9 y¢¢¢ = 0.

Его характеристическое уравнение				λ5 − 6λ 4 + 9λ3 = 0 имеет 5 действитель-
ных корней: λ1 = λ2 = λ3 = 0, λ4	= λ5		= 3.	Фундаментальную систему решений
этого уравнения образуют функции: 1,			x, x2 , e3x , xe3x .
Общее решение уравнения имеет вид
y(x) = C + C		2	x + C x2		+ C	e3x + C xe3x .
1				3	4	5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20227.69 Mб5Методическое пособие 50.doc
#
30.04.2022314.43 Кб6Методическое пособие 50.pdf
#
30.04.20221.93 Mб15Методическое пособие 500.pdf
#
30.04.20221.93 Mб2Методическое пособие 501.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Методическое пособие 502.pdf
#
30.04.20221.94 Mб5Методическое пособие 503.pdf
#
30.04.20221.94 Mб4Методическое пособие 504.pdf
#
30.04.20221.94 Mб3Методическое пособие 505.pdf
#
30.04.20221.95 Mб7Методическое пособие 506.pdf
#
30.04.20221.95 Mб11Методическое пособие 507.pdf
#
30.04.20221.95 Mб18Методическое пособие 508.pdf