Методическое пособие 503

момент x = x0 к интегральной кривой y = ϕ(x) , становятся как угодно близкими к ней при x → ∞ .

Пример № 2.20. Рассмотрим задачу Коши из примера 2.18. На рис. 2.14 изображено асимптотически устойчивое решение этой задачи (нужная кривая выходит за рамку рисунка). Все интегральные кривые, близкие к этому решению в начальный момент x = 1, с ростом x приближаются к графику асимптотически устойчивого решения. В этом случае, как уже было показано в примере 2.18, решение устойчиво по Ляпунову.

41

= y0 -1 × e1−x ® 0, т.е. решение ϕ(x) = e1− x асимптотически устойчиво по Ляпунову.

2.12. Метод изоклин

Пусть y = y(x) − решение уравнения (2.2). Интегральная кривая y = y(x) имеет касательную с угловым коэффициентом k = f (x, y(x)). Это означает, что через каждую точку (x, y) области определения функции f (x, y) можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k = f (x, y(x)).

Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения, получим изображение поля направлений. Когда узлы сетки расположены «достаточно часто», поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых.

Метод изоклин – приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Метод позволяет «вручную» (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.

Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент

Метод изоклин состоит в следующем: строим достаточно густую сетку изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k . Затем, начиная из точки (x0 , y0 ) , проводим линию, которая

будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0 , y0 ) .

На рис. 2.15 изображены изоклины для k = 1, 2,...,15,16 и интегральная кривая, проходящая через точку (0,0).

Рис.2.15. Изоклины, построенные для различных значений k

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел.

В его основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

Однако метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых. Например, изоклина f (x, y) = 0 – геометрическое место

решений и т.п.

На рис. 2.16 показано, как помогают изоклины «увидеть» точки экстремума интегральной кривой и судить о поведении решений дифференциального уравнения.

43

Рис.2.16. Экстремумы интегральной кривой

Пример № 2.21. Рассмотрим дифференциальное уравнение y′ = x2 + y2 .

радиус окружности-изоклины, тем быстрее растёт решение уравнения.

Рис.2.17. Изоклины и интегральная кривая уравнения y′ = x2 + y2

Рис. 2.18. Изоклины уравнения при заданных значениях k

Внимательно рассмотрев рисунок, легко провести интегральную кривую через точку (0,1). Поле направлений, изоклины и интегральная кривая, прохо-

дящая через точку (0,1), изображены на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Поле направлений, изоклины и интегральная кривая, проходящая через точку (0,1)

Пример № 2.23. Найдем линию, на которой расположены точки перегиба интегральных кривых y¢ = y2 - x и изобразим интегральную кривую, проходящую

= 2 y × y¢ -1 = 2 y( y2 - x) -1 = 2 y3 - 2xy -1.

Следовательно, точки перегиба интегральных кривых лежат на линии, заданной уравнением 2 y3 - 2xy -1 = 0 или уравнением y3 - xy = 0,5.

45

На рис. 2.20 изображено поле направлений уравнения, линия y3 - xy = 0,5 (пунктирная линия) и несколько интегральных кривых уравнения.

Рис. 2.20. Точки перегиба интегральных кривых

Видно, что точки перегиба действительно расположены на линии y3 - xy = 0,5.

Задачи и упражнения

2.1. Решить уравнения с разделяющимися переменными:

2.2. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка:

2.3. Решить линейные уравнения первого порядка:

2.4. Решить уравнения в полных дифференциалах:

1) (x2 - y)dx + (x2 y2 + x)dy = 0; 2) (2xyex2 + ln y)dx + (ex2 + x )dy = 0, y(0) =1. y

46

3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.1. Основные понятия. Понижение порядка ОДУ

Если дифференциальное уравнение

первого, то его называют уравнением n -го порядка и относят к уравнениям высших порядков.

Если уравнение (3.1) возможно разрешить относительно старшей производной, то такое уравнение в нормальной форме имеет вид

f (x, y, y′,..., y(n−1) ) . Функция y = y(x) − называется решением уравнения n -го порядка на отрезке [a,b] , если:

x [a,b] выполняется тождество

y(n) (x) ≡ f (x, y(x), y′(x),..., y(n−1) (x)).

График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.

Для того чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n -го порядка таких условий

47

Общим решением уравнения (3.2) n -го порядка называется функция y = ϕ (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) , зависящая от n произвольных постоянных C1 ,C2 ,...,Cn и

удовлетворяющая следующим требованиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C1 ,C2 ,...,Cn функция

y= ϕ (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) является решением уравнения на отрезке [a,b] ;

−какова бы ни была начальная точка (x0 , y0 , y10 ,..., y(n−1)0 ) D , существуют

n -го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения. Если в результате каких-либо преобразований порядок n уравнения (3.1)

может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка. К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся, в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого

порядка, т.е. уравнения вида

F (x, y(k ) , y(k +1) , ..., y(n) ) = 0.

Заменой z ( x) = y(k ) ( x) такое уравнение сводится к уравнению (n − k ) -го порядка:

F (x, z, z1, ..., z(n−k ) ) = 0.

Если z = z ( x, C1, ..., Cn−k ) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n -го порядка может быть вычислено по формуле

y ( x, C1, C2 , ..., Cn ) = ∫ (...∫ (∫ z ( x, C1, ..., Cn−k ) dx) dx...)dx + ... + Cn−1x + Cn .

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка, – уравнение y(n) = f ( x) , его общее решение имеет вид

y ( x, C1, C2 , ..., Cn ) = ∫ (...∫ (∫ f ( x) dx) dx...)dx + ... + Cn−1x + Cn .

48

Пример № 3.1. Решим уравнение 5-го порядка:

y ( x) = C1x5 + C2 x3 + C3 x2 + C4 x + C5 .

3.2.Уравнения, не содержащие независимой переменной

Куравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной, т.е. уравнения вида

производные не старше (k -1) -го порядка от функции p ( y) .

Это означает, что после такой подстановки в исходное уравнение получим

иp ( y ) x=0 = y¢( x) x=0 = y¢(0) =1, y ( x) x=0 = y (0) =1, т.е. p (1) =1.

Подставив, получим задачу Коши для уравнения первого порядка относительно p ( y ) :

p dp = 2 y3 , p(1) = 1. dy

Это уравнение с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется:

константу определим из начального условия: 50