Методическое пособие 503

∫f1 (x) dx + ∫ g2 ( y) dy = C. f2 (x) g1 ( y)

общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Подставив x = 1 и y = 2 , найдем C = 8, т.е. 2x2 − 6x + 3y2 = 8 − это частный интеграл, задающий в неявной форме решение задачи Коши с начальным условием y(1) = 2. Равенство 2x2 − 6x + 3y2 = 8 определяет соответствующую интегральную кривую, т.е. линию на плоскости, проходящую через точку M 0 (1, 2) ,

рис. 2.1.

Рис. 2.1. Интегральная кривая, определяющая частное решение ДУ

Пример № 2.6. Решение уравнения с разделяющимися переменными (x + 2) ydx − 3xdy = 0 в неявной форме задаётся общим интегралом

x + 2ln x − 6 y = C.

21

2.3. Однородные уравнения 1-го порядка

Однородным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

Обозначим z = y(x) x , откуда имеем y(x) = x × z(x). Подставив в уравнение

и выполнив простые преобразования, получим уравнение с разделёнными переменными относительно функции z = z(x) :

22

Общий интеграл этого уравнения записывается после несложных вычислений:

Поскольку при решении уравнения выполнялось довольно много вспомогательных вычислений, проверим правильность результата:

d ( y2 + 2xy − x2 − 6 y − 2x) = 0, 2 y dy + 2 y + 2x dy − 2x − 6 dy − 2 = 0,

Получено исходное уравнение. Задача решена, верно. Решение уравнения определяется в неявной форме общим интегралом

y2 + 2xy − x2 − 6 y − 2x = C.

2.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) – известные, непрерывные на отрезке [a,b] функции. Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a,b] , то

для любой начальной точки (x0 , y0 ) ( x0 [a,b] ) задача Коши

24

Общее решение линейного уравнения 1-го порядка (2.9) можно найти с помощью замены y(x) = u(x) × v(x) или методом вариации произвольной

постоянной (методом Лагранжа).

Общее решение линейного дифференциального уравнения (2.9) с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами a(x) и b(x) , вычисленное

методом вариации произвольной постоянной, записывается в виде

dx

Для функции u(x) получили уравнение с разделёнными переменными, решение которого легко вычислить:

u = ∫ xe− x dx = -xe− x - e− x + C.

Выполнив обратную подстановку, получим общее решение уравнения: y(x) = u(x) × v(x) = (-xe− x - e− x + C )ex = -x -1 + Cex .

На рис. 2.2 изображено несколько интегральных кривых уравнения.

25

Итак, найдено общее решение исходного линейного уравнения 1-го порядка

y = −x − 1 + Cex .

Рис. 2.2. Семейство интегральных кривых решения уравнения y′ = y + x

Найдём решение задачи Коши, удовлетворяющее условию y(1) = 2 : y(1) = (−x − 1 + Cex ) x=1 = −1 − 1 + Ce = 2, C = 4e−1 , y = −x − 1 + 4Cex−1.

На рис. 2.3 изображен график решения задачи Коши – интегральная кривая, проходящая через точку M(1, 2):

y = −x − 1 + 4Cex−1.

Рис.2.3. Интегральная кривая решения задачи Коши: y′ = y + x y(1) = 2

26

Пример № 2.10. Найдём методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа) общее решение линейного дифференциального уравнения

где C – произвольная постоянная.

Теперь будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде

y = C(x) × x2 , где C(x) − неизвестная функция. В этом собственно и состоит метод

y(-1) = (-1)4 + C × (-1)2 = -2, 1 + C = -2 C = -3.

Таким образом, получено общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

y(x) = x4 + C × x2 ,

и решение задачи Коши:

y(x) = x4 - 3x2 .

На рис. 2.4 изображены интегральные кривые уравнения (сплошная линия) и график решения задачи Коши (пунктирная линия).

27

Рис. 2.4. Интегральные кривые общего и частного решений

2.5. Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка вида

Получили линейное относительно z(x) уравнение:

dz = (1 - n) × a(x) × z + (1 - n) × b(x). dx

28

2.6. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение в левой части уравнения является дифференциалом некоторой функции двух переменных

F (x, y) , т.е. если

постоянная.

Уравнение (2.11) является уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда выполняется условие

Пусть выражение M (x, y)dx + N (x, y)dy в левой части уравнения (2.11) является дифференциалом некоторой функции двух переменных F (x, y) , т.е.

выполняется условие (2.12). Равенство (2.12) имеет место тогда и только тогда, когда функции M (x, y) и N (x, y) непрерывны вместе со своими частными

производными первого порядка в некоторой односвязной области:

Отсюда следует, что уравнение (2.11) является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполняется условие (2.13).

30