Методическое пособие 503

После такой подстановки получим уравнение на единицу меньшего порядка:

F (x, p, p′, ..., p(n−1) ) = 0.

Пример № 3.3. Решим уравнение 2xy′y′′ = ( y′)2 −1.

Обозначим y′ = p ( x) . Тогда y′′ = p′( x) и после подстановки в исходное уравнение получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

2xpp′ = ( p)2 −1.

Решаем полученное уравнение 1-го порядка:

51

Имеем пару уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными:

dy = ± C1x +1, dx

решения которых легко получаем непосредственным интегрированием:

3.4. Уравнения с однородной правой частью

Если правая часть уравнения (3.1) удовлетворяет условию однородности

F (x,ty,ty¢, ...,ty(n) ) = t k F (x, y, y¢, ..., y(n) ),

то это уравнение однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения

однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных.

Порядок такого уравнения можно понизить заменой

Выражение для первой производной от y ( x) не содержит производной от z ( x) : y¢( x) = z ( x) × exp(∫ z ( x)dx).

Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y¢, ..., y(n) их выражениями через z ( x) , получим относительно z ( x) дифференциальное уравнение на единицу

меньшего порядка.

Рассмотрим, например, уравнение третьего порядка, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных:

F ( x, y, y′, y′′, y′′′) = 0,

F ( x,ty,ty¢,ty¢¢,ty¢¢¢) = t 4 F ( x, y, y¢, y¢¢, y¢¢¢).

52

Посмотрим, как порядок такого уравнения можно понизить до второго,

Произведя замену, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

F (x,e∫ z ( x)dx , z × e∫ z ( x)dx ,(z¢ + z2 ) × e∫ z ( x)dx ,(z¢¢ + 3z × z¢ + z3 ) × e∫ z ( x)dx ) = 0,

F(x,1, z,(z¢ + z2 ),(z¢¢ + 3z × z¢ + z3 )) = 0.

Витоге получено дифференциальное уравнение второго порядка относительно z ( x) : Ф( x, z, z′, z′′) = 0.

Пример № 3.4. Решим обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: yy¢ + x ( y¢)2 + xyy¢¢ = 0.

Это уравнение, однородно относительно неизвестной функции и всех ее производных:

(ty )(ty¢) + x ((ty¢))2 + x (ty )(ty¢¢) = t 2 ( yy¢ + x ( y¢)2 + xyy¢¢).

Используем стандартную для таких уравнений замену (3.7):

Уравнение первого порядка dz = − 1 z − 2z2 − это уравнение Бернулли, которое dx x

интегрируется стандартным для уравнений Бернулли способом.

3.5. Линейные ОДУ n-го порядка. Введение

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

полагаем непрерывными на отрезке [a,b].

Уравнение (3.8) является линейным неоднородным дифференциальным уравнение n-го порядка. Если f (x) = 0 , то уравнение (3.8) имеет вид

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка,

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифферен-

циальным оператором n-го порядка:

L( y) = 0 и L( y) = f (x) – соответственно однородное и неоднородное уравнения

(3.8) и (3.9) в операторной записи.

При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a,b] − пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций, и Ck [a,b] − пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b] , вместе со своими производными до k-го порядка включительно.

3.6. Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции

Рассмотрим уравнение (3.8) с непрерывными коэффициентами an−1 (x), an−2( x), ..., a1 (x), a0 (x) и непрерывной правой частью f (x) .

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений:

54

1. Если y1 (x) и y2 (x) – два решения линейного однородного дифференциального уравнения (3.9), то любая их линейная комбинация

y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

является решением этого однородного уравнения;

2.Если y1 (x) и y2 (x) – два решения линейного неоднородного уравнения (3.8), то их разность y(x) = y1 (x) − y2 (x) является решением однородного уравнения (3.9);

3.Любое решение неоднородного линейного уравнения L( y) = f (x) есть

сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения;

является решением неоднородного уравнения L( y) = f1 (x) + f2 (x).

Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции.

Существование и единственность решения задачи Коши

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения (3.8).

Если в уравнении (3.8) все коэффициенты an−1 (x), an−2( x), ..., a1 (x), a0 (x) и

имеет единственное на всем отрезке [a,b] решение y = y(x).

Следует понимать, что теорема имеет «глобальный» характер – решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.

3.7. Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка (ω > 0 – постоянная величина):

Общее решение уравнения (3.12) имеет вид

внутри отрезка [− A, A].

Сначала частица движется вправо до точки y = A . В точку y = A она придет в момент времени t = (π + ϕ)ω , когда y(t) = Acos(ωt − ϕ) = A .

Затем частица движется влево до точки y = − A . В точку y = − A частица придет в момент времени t = (2π + ϕ)ω , когда y(t) = Acos(ωt − ϕ) = − A .

Понятно, что частица совершает периодические колебания на отрезке

[− A, A] с периодом T = 2π/ω .

На рис. 3.1 изображены пути трех частиц, движение которых описывается уравнением y′′ + 4 y = 0. Частицы движутся со скоростью y1 = 1 из начальных точек y0 = −2, −1,0.

Физическая система, которая описывается уравнением (3.12) называется

гармоническим осциллятором.

56

Рис. 3.1. Пути движения трех частиц

Это малые колебания маятника, малые колебания под действием силы тяжести груза, подвешенного на упругой пружине, электрические колебания в контуре, состоящем из емкости и индуктивности, и т.п.

Пример № 3.5. Запишем дифференциальное уравнение малых колебаний маятника c периодом колебаний T = π 6 и амплитудой 4.

Поскольку дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания маятника с периодом T = 2π ω , имеет вид (3.13), то колебания маятника с

y′′ + 144 y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0.

На рис. 3.2 изображены колебания маятника, соответствующие рассмотренной задаче.

57

Рис. 3.2. Колебания маятника y(x) = 4cos(12x)

3.8. Линейные уравнения 2-го порядка. Ангармонические колебания

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами a и b:

Функция y(x) = Ae−ax cos(ω x − ϕ) − непериодическая, но ее нули, максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π ω . Этот период равен периоду колебаний гармонического осциллятора с частотой ω.

Колебания y(x) = Ae− ax cos(ω x − ϕ) называются затухающими колебаниями, y(x) → 0 при x → + ∞ .

Величина Ae−ax называется амплитудой колебаний; величина δ = a −

коэффициентом затухания.

58

затухания. Она показывает, насколько уменьшится амплитуда за один период. Логарифмический декремент – естественная мера скорости затухания.

Колебания, которые описывает дифференциальное уравнение (3.13),

называют ангармоническими колебаниями.

На рис. 3.3 приведены графики решений уравнения y′′ + y′ + 4 y = 0, проходящих через точку (0,0) с различными начальными скоростями y '(0).

Итак, коэффициент затухания δ = 0,5, логарифмический декремент d ≈ 1,62. На рис. 3.4 отражено графическое решение данной задачи.

59