Методическое пособие 503

Возьмём произвольное ε > 0 , δ = ε и исследуем поведение при t → ∞ тех решений x = x (t ) , которые удовлетворяют условию x(0) − ϕ(0) < δ , δ > 0 :

x (0) − ϕ(0) = ( x1 (0) − ϕ1 (0))2 + ( x2 (0) − ϕ2 (0))2 = x1 (0)2 + x2 (0)2 = x (0) < δ

x (t ) − ϕ(t ) = ( x1 (0) − 0)2 + ( x2 (0) − 0)2 = x1 (t )2 + x2 (t )2 =

= ( x1 (0)cos 4t + x2 (0)sin 4t )2 e−0,2t + ( x1 (0)sin 4t + x2 (0)cos 4t )2 e−0,2t =

= e−0,1t x1 (0)2 + x2 (0)2 < x1 (0)2 + x2 (0)2 < δ = ε.

Отсюда следует, что тривиальное решение ϕ(t ) ≡ 0 асимптотически устойчиво. На рис. 4.8 видно, как фазовые кривые устремляются к нулю.

Рис. 4.8. Асимптотически устойчивое решение задачи Коши

4.12. Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

dx = A(t ) x + b(t ), x Rn ,b(t ) Rn . dt

111

Линейная система устойчива по Ляпунову при t ³ t0 , если каждое её решение x = ϕ(t ) устойчиво по Ляпунову при t ³ t0 .

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ ,

если каждое её решение x = ϕ(t ) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 4.6. (об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений). Пусть в неоднородной линейной системе

x '= A(t ) x + b(t ) матрица A(t ) и вектор-функция b(t ) непрерывны на промежутке [t0 ,∞) . Система устойчива при t ³ t0 , тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 однородной системы x '= A(t ) x устойчиво при t ³ t0 .

Теорема 4.7. (об асимптотической устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений). Пусть в неоднородной линейной

системе x '= A(t ) x + b(t ) матрица A(t ) и вектор-функция b(t ) непрерывны на промежутке [t0 ,∞) . Система асимптотически устойчива при t → ∞ , тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 (точка покоя) однородной системы x '= A(t ) x асимптотически устойчиво при t → ∞ .

Эти утверждения означают, что для исследования устойчивости линейной системы достаточно исследовать устойчивость точки покоя соответствующей однородной системы.

Рассмотрим однородную линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянной матрицей x '= A × x .

Исследование такой системы на устойчивость не составляет труда, поскольку справедливы следующие утверждения:

1)для того чтобы тривиальное решение x º 0 однородной системы x '= A × x было асимптотически устойчиво при t → ∞ , необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A имели отрицательные действительные части;

2)если собственные значения матрицы A различны, то для устойчивости

тривиального решения x º 0 однородной системы x '= A × x необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех собственных значений матрицы A были неотрицательны;

3) если хотя бы одно собственное значение матрицы A имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение x º 0 однородной системы x '= A × x неустойчиво.

112

Пример № 4.16. Исследуем на устойчивость линейную систему

исследуемая система устойчива.

На рис. 4.9 изображено несколько фазовых кривых системы (это эллипсы). Видно, что те из них, которые начинаются вблизи нуля, всегда вблизи нуля остаются.

Рис. 4.9. Фазовые кривые устойчивого решения системы

Пример № 4.17. Исследуем на устойчивость линейную систему из примера

ϕ1 (t ) = 0 , ϕ2 (t ) = 0 ) асимптотически устойчиво по Ляпунову при t → ∞ , то и

все решения системы асимптотически устойчивы. Следовательно, исследуемая система асимптотически устойчива.

На рис. 4.10 видно, что фазовые кривые, которые начинаются вблизи нуля, устремляются со временем в нуль.

113

Рис. 4.10. Фазовые кривые асимптотически устойчивого решения системы

4.13. Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению

Вернемся к нелинейной системе дифференциальных уравнений (4.12):

dx = F (t, x),t ³ t0 , x Î Rn , F (t, x)Î Rn , dt

Полагаем, что выполнены условия теоремы 4.1 существования и единственности решения задачи Коши. Положим также, что при t ³ t0 существует

некоторое решение системы x = j(t ) .

Точка x ≡ a называется точкой покоя (положением равновесия) системы

(4.12), если F (t, a ) = 0 при всех t ³ t0 . Точка покоя системы, очевидно, является решением системы.

Поскольку F (t, x) непрерывно-дифференцируема и F (t, a ) = 0 , то при всех t ³ t0 , можно записать:

114

Получили систему первого приближения, удовлетворяющую условиям теоремы 4.7 об асимптотической устойчивости по первому приближению:

Точка покоя системы первого приближения x ≡ 0 асимптотически устойчива:

Следовательно, в соответствии с теоремой 4.8 об устойчивости точки покоя по линейному приближению точка покоя x ≡ 0 исследуемой системы также асимптотически устойчива.

На рис. 4.11 изображены фазовая траектория исследуемой нелинейной системы (пунктирная линия) и фазовая траектория системы первого приближения (сплошная линия). Обе траектории начинаются в точке (1, 0).

Рис. 4.11. Асимптотически устойчивое изображение решения

117

4.14. Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений (4.12). Полагаем, что выполнены условия теоремы 4.1 существования и единственности решения задачи Коши. Пусть x ≡ a − точка покоя системы.

Предположим, что системой первого (линейного) приближения для системы x '= F (t ,x) называется линейная система

z = x - a, R (t, x, a) = R (t, z ).

Оказывается, что о неустойчивости точки покоя нелинейной системы можно судить по неустойчивости точки покоя её линейной системы первого приближения.

Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.9. (о неустойчивости точки покоя по линейному приближе-