Методическое пособие 502
.pdf
Значения модулей упругости Е1 и E2 можно заменить приведенным модулем упругости:
Eпр |
2E1 E2 |
|
|
E1 |
(78) |
||
|
E2 |
||
Тогда формула Герца примет вид:
qEпр
H |
|
|
|
(79) |
|
* 2П (1 |
2 ) |
||
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
Втаком виде формулу Герца используют при расчетах на контактную прочность цилиндрических прямозубых и косозубых, конических и червячных передач.
4.1.Расчет цилиндрических передач
Вцилиндрической прямозубой передаче вместо двух сжимаемых цилиндров рассматривают поверхности зубьев шестерни и колеса с мгновенными радиусами эвольвенты в полюсе зацепления П (рис. 15)
соответственно 1 и 2 .
Рис. 15. Схема взаимодействия зубьев шестерни колеса
41
Величинами, влияющими на контактные напряжения, являются межосевое расстояние и ширина колеса (ширина шестерни обычно больше). Поэтому при проектных расчетах формулу Герца преобразуют для определения межосевого расстояния (иногда начального диаметра шестерни или колеса, если проектируют передачу, встраиваемую в машину). Другую неизвестную величину — ширину колеса заменяют коэффициентом ширины, т. е. отношением ширины колеса к межосевому расстоянию.
Значения этого коэффициента отработаны на практике и стандартизированы.
Расчет эвольвентных цилиндрических закрытых передач на прочность зубьев стандартизирован (ГОСТ 21354—87). В формулу Герца вместо удельной нагрузки q подставляют удельную расчетную окружную силу, рассчитываемую по формуле:
|
WHt = Ft KH KH KHv /b, |
(80) |
где Ft — окружная сила, |
|
|
КH |
— коэффициент неравномерности |
распределения нагрузки |
между зубьями в косозубых передачах; |
|
|
КH |
— коэффициент неравномерности распределения нагрузки по |
|
длине контактных линий в результате погрешностей в зацеплении и деформации зубьев;
KHv — коэффициент динамической нагрузки; b — ширина венца зубчатого колеса, мм.
Приведенный модуль упругости стальных шестерни и колеса: |
|
Епр = E1 = E2 = 2,1*105 МПа. |
(81) |
Приведенный радиус кривизны для прямозубой передачи (см. рис. 15):
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2(u 1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(82) |
|
|
пр |
1 |
|
2 d1 sin |
|
d 2 sin |
|
|
d1u sin |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
пр — приведенный радиус кривизны зубьев, мм; |
|
|
|||||||||||||
1 |
— радиус |
кривизны |
эвольвенты |
зуба шестерни |
в полюсе |
|||||||||||
зацепления П, мм; 2 — радиус кривизны эвольвенты зуба колеса в полюсе зацепления,
мм;
d1 и d2 — диаметры начальных окружностей соответственно шестерни
иколеса, мм;
—угол зацепления (для некорригированных по углу зацепления
передач = 20°);
u — передаточное число (знак «+» для наружного зацепления, знак «-»
— для внутреннего).
42
При контакте цилиндра с плоскостью (реечная передача) 2 = . Для косозубой передачи:
|
2(u |
1) cos |
|
|
пр |
|
|
(83) |
|
ud1 sin |
||||
|
|
|||
где — угол наклона зубьев косозубой передачи, град.
Если шестерня и колесо изготовлены из разных материалов, то в
формуле (79) вместо |
Епр |
|
должно быть: |
|
2П(1 |
2 ) |
|||
|
|
|
Е1 Е2 |
|
|
|
|
(84) |
П Е (1 |
2 ) |
Е |
2 |
(1 |
2 ) |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
Значения модуля упругости и коэффициента Пуассона приведены в таблице 6.
Таблица 6 Модуль упругости и коэффициент Пуассона для материалов
шестерен и колес
Материал |
Е*105, МПа |
|
|
|
|
Сталь углеродистая |
2 |
0,28 |
|
|
|
Сталь легированная |
2,1 |
0,3 |
|
|
|
Чугун серый |
1,5 |
0,27 |
|
|
|
Бронза оловянистая |
1,2 |
0,35 |
|
|
|
Бронза безоловянистая |
1,1 |
0,33 |
|
|
|
Тексолит |
0,06 |
0,38 |
|
|
|
При проектном расчете стальных шестерни и колеса или чугунного колеса принимают 
= 0,3.
Коэффициент формы сопряженных поверхностей зубьев в полюсе П зацепления:
Z H |
2 cos |
|
|
|
(58) |
||
sin 2 |
|||
|
|
43
Коэффициент, учитывающий механические свойства материалов:
Z M |
|
|
|
|
Eпр |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(86) |
||
П (1 |
2 ) |
|||||||||||
|
||||||||||||
Коэффициент суммарной длины контактных линий для прямозубой |
||||||||||||
передачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(87) |
||
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
для косозубой передачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(88) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 
— коэффициент перекрытия зубьев.
Подставив все перечисленные величины в формулу (79), получим исходную формулу для проверочных расчетов зубьев цилиндрических передач на контактную прочность в таком виде, в каком она приведена в ГОСТ 21354—87:
|
Z H Z M Z |
WHt (u |
1) |
|
H |
d1u |
|
(89) |
|
|
|
|
|
При проектном расчете на контактную прочность выбирают по ГОСТ 2185—66 стандартизированные значения межосевого расстояния, а для зубчатых редукторов, выполненных как самостоятельные агрегаты, коэффициента ширины венца колеса по межосевому расстоянию ba и
передаточное число u. Формулу (79) преобразуют с таким расчетом, чтобы исключить неизвестные коэффициенты zH, zM, z 
.
Межосевое расстояние:
a Ka |
(u 1) |
3 |
|
2 |
T2 K H |
|
|
2 |
(90) |
|
|
|
u |
|
ba |
[ |
H |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этой формуле обобщенный коэффициент:
K a |
3 0,5 *103 (Z H Z M Z )2 K H K Hv |
(91) |
Для прямозубых передач Ka = 495 МПа1/3, а для косозубых Ka = 430 МПа1/3.
44
При установлении коэффициента Ка принято:
= 20°, 
= 10°, = 2,1•105 МПа, = 0,3, а = 1,6, КН 
= КHv = 1.
В формуле (90) единицы измерения величин следующие: вращающий момент на колесе Т2 — Н•м,
допустимое напряжение [ H ] — МПа, межосевое расстояние а — мм.
Коэффициент ширины венца колеса по межосевому расстоянию:
ba b / a |
(92) |
где b — ширина венца колеса, мм.
Коэффициент ширины венца по межосевому расстоянию рекомендуется принимать:
для зубчатых колес из улучшенных сталей при несимметричном расположении относительно опор 0,315...0,4;
для зубчатых колес из закаленных сталей 0,25...0,315; при симметричном расположении относительно опор 0,4...0,5;
для передвижных колес коробок скоростей 0,1...0,2. Меньшие значения для быстроходной пары.
Стандартные значения коэффициента ba по ГОСТ 2185—66: 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.
При проектном расчете зубчатых передач, встраиваемых в машины, удобно определять начальный диаметр шестерни:
dm1 |
Kd |
T1 K H |
(u 1) |
|
|||
bd |
[ |
H |
]2 u |
(93) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
Для прямозубых передач Kd = 770 МПа1/3, для косозубых — 675 МПа1/3.
Коэффициент ширины венца по диаметру:
ba b / d1 |
(95) |
Коэффициенты ширины венца по межосевому расстоянию и по диаметру связаны зависимостью:
ba 0,5 ba(u 1)
Коэффициент неравномерности распределения нагрузки KH 
выбирают в зависимости от коэффициента ширины венца колеса по диаметру, твердости поверхности зубьев и типа передачи (рис. 16). Он
45
зависит также от типа опор, расположения шестерен на валах, длины зубьев. Уменьшение влияния неравномерности нагрузки как по контактным напряжениям, так и по напряжениям изгиба достигается снятием фасок, ускорением приработки за счет меньшей твердости зубьев колеса, выполнением бочкообразного зуба при шлифовке (при высокой твердости), увеличением жесткости опор и корпусов.
Рис. 16. Графики для выбора коэффициента неравномерности нагрузки (1…4 – схемы расположения шестерен и колес на валах)
46
Определив межосевое расстояние по формуле (90), уточняют его по ГОСТ 2185—66 в ближайшую большую сторону из следующих значений:
Ряд 1 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200; 250; 315; 400; 500 Ряд 2 71;90; 112; 140; 180; 225; 280; 355; 450
Значения первого ряда предпочтительнее.
Межосевое расстояние при расчетах на контактную прочность определяют сначала для тихоходной пары как более нагруженной и влияющей на габаритные размеры редуктора.
Для соосных редукторов после расчета второй ступени по вышеизложенной методике при расчете первой ступени межосевое расстояние уже известно. Поэтому формулу (90) преобразуют для определения
коэффициента ширины венца колеса ba :
ba = |
Т 2 К Н |
|
|
Ka (u |
1) |
(97) |
|
u 2 [ |
H |
]2 |
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Размерности величин те же, что и в формуле (90). Полученное
значение ba округляют по ГОСТ 2185—66.
Следует иметь в виду, что в формуле (97) Т2 — вращающий момент на колесе быстроходной пары, а u — передаточное число этой пары.
Начальные диаметры шестерни и колеса и межосевое расстояние связаны зависимостями:
a |
d1 |
d 2 |
|
d |
|
|
2a |
|
d |
|
2au |
|
|
|
; |
1 |
1 u ; |
2 |
a u |
(98) |
|||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ширина венца колеса:
b = a* ba |
(99) |
Ширину венца шестерни принимают на 2...4 мм больше, так как при регулировке подшипников может произойти относительное смещение шестерни и колеса.
4.2. Расчет конических передач
Основные параметры конических одноступенчатых редукторов стандартизированы по ГОСТ 21435-75, а коническо-цилиндрических - по ГОСТ 21351-75.
В конической зубчатой передаче одно из колес, как правило, шестерня располагается консольно. При этом увеличивается неравномерность
47
распределения нагрузки подлине зуба. Наличие значительных осевых сил не только усложняет конструкцию опор, но и вызывает деформации деталей, что также увеличивает неравномерность распределения нагрузки между зубьями. Все это как показывают опытные данные, уменьшает нагрузочную способность зубьев прямозубой передачи на 15%, вследствие чего в формулы вводят коэффициент 0,85.
При проектном расчете конической передачи определяют начальный средний диаметр шестерни. При этом коническое колесо приводят к
цилиндрическому, заменяя в формуле (93) величину u ± 1 на 
u 2 1 без знака «минус», так как конические передачи имеют внешнее зацепление. Тогда формула примет вид:
|
|
T K |
H |
|
u 2 |
1 |
|
|
dm |
7703 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(100) |
|||
0,85 |
bd |
[ |
H |
]2 u |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
где Т1 — вращающий момент на шестерне, Н•м.
Коэффициент концентрации нагрузки при расчете на контактную прочность КH 
зависит от схемы нагружения, твердости поверхности зубьев и типа опор. Для схемы нагружения при одном из колес, расположенных консольно, коэффициент КH 
определяют по графику, изображенному на рисунке 17.
Коэффициент ширины венца по среднему диаметру шестерни:
|
|
ba b / dm1 |
где b — ширина венца шестерни (или длина зуба |
||
шестерни), мм; |
|
|
dml — диаметр шестерни по среднему сечению зуба, мм. |
||
При проектном расчете принимают: |
||
bd |
= 0,3 |
(HB> 350 или V>15 М/С); |
bd |
= 0,6 |
(HB 350 ИЛИ V<15 м/с). |
(101)
прямозубой
По ГОСТ 12289—76 для конических передач с углом пересечения осей 90° стандартизированы средний диаметр внешнего основания делительного конуса колеса de1, передаточное число u и ширина венца колеса b.
Величину de2 выбирают из следующих значений, мм:
50; (56); 63; (71); 80; (90); 100; (112); 125; (140); 160; (180); 200; (225); 250; 280; 315; 355; 400; 450; 500; 560; 630; 710; 800; 900; 1000; 1120; 1250; 1400; 1600.
Значения в скобках по возможности не применять.
48
Номинальные передаточные числа u: |
|
|
||||||
Ряд 1 |
1; |
1,25; 1,6; |
2; 2,5; |
3,15; |
4; |
5; |
6,3 |
|
Ряд 2 |
1,12; |
1,4; |
1,8; |
2,24; |
2,8; |
3,55; 4,5; 5,6 |
||
Передаточные числа ряда 2 по возможности не применять.
Отклонения фактических значений передаточных чисел от номинальных должны быть не более 3 %.
Значения ширины венца b в зависимости от de2 и и указаны в таблице 7.
Таблица 7
Ширина венца b конического зубчатого колеса, мм
|
мм |
|
|
Номинальные передаточные числа |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диаметр основания d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средний внешнего колеса |
1,25 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
2,24 |
2,5 |
2,8 |
3,15 |
3,55 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
18 |
18 |
17 |
16 |
16 |
16 |
15 |
15 |
15 |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
20 |
20 |
19 |
18 |
18 |
17 |
17 |
17 |
17 |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
22 |
22 |
21 |
20 |
20 |
19 |
19 |
19 |
19 |
19 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
26 |
24 |
24 |
22 |
22 |
22 |
21 |
21 |
21 |
21 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
30 |
28 |
28 |
26 |
25 |
25 |
25 |
24 |
24 |
24 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
32 |
32 |
30 |
30 |
28 |
28 |
28 |
26 |
26 |
26 |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
36 |
34 |
34 |
32 |
32 |
32 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225 |
42 |
40 |
38 |
36 |
36 |
36 |
34 |
32 |
32 |
32 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
45 |
45 |
42 |
40 |
40 |
40 |
38 |
48 |
48 |
48 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
280 |
52 |
50 |
48 |
42 |
45 |
45 |
42 |
42 |
42 |
42 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
315 |
60 |
55 |
58 |
52 |
50 |
50 |
48 |
48 |
48 |
48 |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
335 |
63 |
60 |
60 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
52 |
52 |
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
75 |
70 |
70 |
65 |
63 |
63 |
60 |
60 |
60 |
65 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
450 |
80 |
80 |
75 |
75 |
70 |
70 |
70 |
70 |
70 |
70 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
90 |
90 |
85 |
80 |
80 |
80 |
80 |
75 |
75 |
75 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Необходимые для расчетов геометрические, кинематические и силовые
зависимости приведены на рисунке 17. |
|
||||
1 |
- КF |
= f( |
bd ), опоры на шарикоподшипниках, |
твѐрдость зубьев |
|
шестерни и колеса HB>350; |
|
||||
2 |
- |
КН |
=f( |
bd ), опоры на шарикоподшипниках, |
твѐрдость зубьев |
шестерни колеса HB>350; |
|
||||
3 |
- КF |
, опоры на шарикоподшипниках, твердость зубьев шестерни и |
|||
колеса HB>350; |
|
|
|||
4 |
- КF |
, опоры на шарикоподшипниках, твердость зубьев шестерни и |
|||
колеса HB |
350; |
|
|
||
5 |
– КН |
, опоры на шарикоподшипниках, твердость зубьев шестерни и |
|||
колеса HB>350; |
|
|
|||
6 |
- КF |
= f( |
bd ), опоры на роликоподшипниках, |
твердость зубьев |
|
шестерни и колеса HB 350; |
|
||||
7 |
– КН |
, опоры на шарикоподшипниках, твердость зубьев шестерни и |
|||
колеса HB |
350; |
|
|
||
8 |
– |
КН |
= f( |
bd ), опоры на шарикоподшипниках, |
твердость зубьев |
шестерни и колеса HB 350. |
|
||||
Рис. 17. График для определения коэффициентов неравномерности нагрузки КН 
по контактным напряжениям и КF 
по напряжениям на изгиб
50