Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 126.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

424.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

3.2. Интерполирование функций кубическими сплайнами

Пусть отрезок [a,b] разбит на n частей точками

{xi }: a = x0 < x1 < x2 <... < xi−1 < xi < xn =b .

Сплайном k-й степени называется функция, представляющая собой многочлен на выше k-й степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу

интервалов (xi−1, xi ) (i =1, 2,...., n) , причем в точках стыка двух интервалов xi (i =1,..., n −1) функция непрерывна вместе

со своими производными до порядка не выше k.

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломаная) является сплайном первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.

Пусть на отрезке [a,b] определена функция y = f (x) , значение которой в точках xi равны yi = f (xi ) .

Задача интерполяции функции y = f (x) на отрезке [a,b]

кубическим сплайном (сплайном третьей степени) состоит в нахождении функции S(x) , равной многочлену третьей

степени Si (x) на каждом отрезке [xi−1, xi ]						(i =1,	2,...., n) , т.е.
S(x) = S(x	) = ai x3	+ ai x2	+ ai	x + ai	,	x [x	i−1	, x		],	(3.3)
i	0	1	2	3			i−1		i
причем значения сплайна в узлах интерполяции									xi		равны
соответствующим значениям функции					yi	и сплайн-функция

непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков:

S(xi ) = Si+1(xi ) = yi (i = 0, 1, 2,..., n −1), S(xn ) = Sn (xn ) = yn , (3.4)

Si (xi ) = Si+1(xi )	(i =1, 2,..., n −1),	(3.5)
S'i (xi ) = S'i+1 (xi )	(i =1, 2,..., n −1),	(3.6)
S"i (xi ) = S"i+1 (xi )	(i =1, 2,..., n −1).	(3.7)

Условия (3.4) - (3.7) дают 4n − 2 линейных алгебраических уравнений для определения 4n неизвестных коэффициентов

aip ( p = 0, 1, 2, 3; i =1, 2,...., n)

при

соответствующих

степенях x в многочленах Si (x) .

Можно показать, что интерполяционный кубический сплайн для функции y = f (x) существует и является

единственным, если вместе с уравнениями (3.4) - (3.7) удовлетворяется какая-либо пара дополнительных условий (краевые условия) следующего типа:

1.S'(a) = f '(a), S'(b) = f '(b);

2.S"(a) = f "(a), S"(b) = f "(b);

3.S'(a) = S'(b), S"(a) = S"(b).

Рассмотрим случай разбиения отрезка [a,b] на n равных

частей	с	шагом	h,	для	которого
x0 = a,	x1 = x0 + h,..., xi+1 = xi + h,..., xn			= b и	h = (b − a) / n .

Разберем построение интерполяционного кубического сплайна отдельно для условий 1 и 2 типов.

При построении сплайна, удовлетворяющего краевым условиям первого типа, введем величины mi = S'(xi ) ,

называемые иногда наклонами сплайна в точках (узлах)

xi (i = 0, 1,..., n) .

Интерполяционный кубический сплайн вида

S(x) = Si (x) = yi−1		(x − xi )2 (2(x − xi	−1) + h)	+
S(x) = Si (x) = yi−1		h3		+
		h3
+ yi	(x − xi−1)2 (2(xi − x) + h)		+
+ yi		h3	+
		h3
		37


+ m	i−1	(x − xi )2 (x − xi−1)	+ m	(x − xi−1)2 (x − xi )		,

		h2	i		h2
		x [xi−1, xi ] (i =1, 2,..., n)				(3.8)
удовлетворяет условиям (3.4),			(3.5), (3.6) для любых			mi . Из

условий (3.7) и краевых условий первого типа можно

определить n +1 параметр mi .
Действительно,				легко			проверить,		что
S(xi−1) = Si (xi−1) = yi−1 ,				S(xi ) = Si (xi ) = yi				(i =1, 2,..., n) .
Кроме того, вычисления показывают, что
S'(xi ) = S'i (xi ) = mi ,
S'(xi ) = S'i+1 (xi ) = mi (i =1, 2,..., n).
Если учесть, что
S"i (xi ) =	2mi−1	+	4mi	− 6	yi − yi−1		(i =	1, 2,..., n −	1),
						h2
	h		h
S"i+1 (xi )	= 4mi	−	2mi+1 − 6			yi+1 − yi	(i	=1, 2,..., n	−1),
						h2
	h		h

а также краевые условия первого типа и условия (3.7), то

получим систему из					n +1 линейных уравнений относительно
неизвестных mi :
m		= b = f '(a),
	0	0			3(yi+1	− yi−1)
					3(yi+1	− yi−1)	(i =1, 2,..., n −1),	(3.9)
mi−1 + 4mi + mi+1					= bi	h	(i =1, 2,..., n −1),	(3.9)
		= b		= f '(b).		h
m	n	= b	n	= f '(b).
	n		n

Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных mi и определить интерполяционный сплайн в

виде соотношения (3.8).

Матрица А системы (3.9) имеет порядок n +1 и является трехдиагональной:

1		0	0	0	... 0 0 ...	0
		4	1	0 ... 0 0 ...		0
1
	0	1	4	1 ... 0 0 ...		0

A = ..............................							.
	0	0	0	0	... 1 4 1	0

	0	0 0 0			... 0 1 4	1

	0	0	0	0	... 0 0 0	1

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) для системы (3.9) значительно упрощается и носит название метода прогонки. Прямой прогонкой находятся так называемые прогоночные коэффициенты:

= 0,

−1

, M

= L

i−1

−b ) (i =1, 2,..., n −1).

Li−1 + 4

Обратной прогонкой последовательно определяют неизвестные mi :

mn = bn ,
m	i	= L m	i+1	+ M	i		(i = n −1, n − 2,..., 0).
	i	i	i+1		i
Пример 1.						π		построить кубический сплайн
Пример 1.	На отрезке 0,					2		построить кубический сплайн
						2

с шагом h = π2 , удовлетворяющий на концах отрезка краевым условиям первого типа и интерполирующий функцию

y = sin x . С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение sin π6 и сравнить его с точным.

Решение. Будем искать кубическую параболу y = S(x) , удовлетворяющую следующим условиям не концах отрезка

= 0 и

x = h = π

y0 = S(x0 ) = sin x0 = 0,

y1 = S(h) = sinh =1,

m0 = S'(x0 ) = sin' x0 = cos x0 =1,

m1 = S'(h) = sin'h = cosh = 0.

Подставим значения h, y0 , y1, m0 , m1

в формулу (3.8) и

получим сплайн вида

S(x) = S1(x) =

x2 (2(h − x) + h)

(x − h)2 x

x [0, h];

4(π −3)2

S(x) = x −

x2 −

4(4 −π)

x3 = x − 0,057385x2 − 0,11074x3.

π 2

π 3

Тогда sin

≈ S(π ) = 0,49196983 (точное значение равно 0,5).

Пример 2. На отрезке

построить кубический сплайн

с шагом

h = π , интерполирующий функцию

y = sin x , если

заданы значения функции в трех узлах интерполяции:

= 0

x1 = π / 4 = 0,7853982

x2 = π / 2 =1,570796

sin x

= 0

y1 = 0,7071068

y2 =1

С помощью интерполяционной формулы вычислить

приближенное значение sin	π	(	π	= 0,5235988) и сравнить с
	6		6

точным значением 0,5.

Решение. Представим сплайн в виде (3.8):

S	1	(x), 0	≤ x ≤ π / 4;
S(x) =	1

S2 (x), π / 4 ≤ x ≤ π / 2.

При таком представлении должны удовлетворяться уравнения

(3.9):

m0		= sin' x0		= cos x0 =1,
					3(y2 − y0 )				3
					3(y2 − y0 )				3
m0		+ 4m1 + m2 =						=		,
m0		+ 4m1 + m2 =					h	=	h	,
		= sin' x		= cos x			h		h
m	2	= sin' x	2	= cos x		2	= 0.
	2		2			2

Тогда

учитывается,

что

4m =

или

12 −π

= 0,70493,

4π

x2 (2(h − x) + h)

(x − h)2 x

x2 (x − h)

(x) = y

+ m

, 0 ≤ x ≤ h;

(x) = y

(x − 2h)2 (2(x − h) + h)

(x − h)2 (2(2h − x) + h)

2 (x − h)

+ m

(x −

2h)

h ≤ x ≤ 2h,

получим, в частности, выражение для функции S1(x) :

S (x) = y

x2 (2(h − x) + h)

(x − h)2 x

+ m

x2 (x − h)

π .

= x − 0,0050683975x

2 − 0,15514782x3 , 0 ≤ x ≤

π ) = 0,499938.

Значение sin

≈ S1(

При построении сплайна, удовлетворяющего краевым условиям второго типа, введем величину m~i = S"(xi ) -

значение второй производной сплайна в узле

xi (i = 0, 1,..., n) .

Уравнения (3.4), (3.5), (3.7) будут удовлетворены, если интерполяционный кубический сплайн представить в виде

S(x) = Si (x) = yi−1

(xi − x)

+ yi

(x − xi−1)

(xi − x)3 − h2 (xi − x)

+ mi−1

(x − x

−h2 (x − x

)

i−1

+ mi

x [xi−1,

xi ]

Учитывая, что

(i =1, 2,..., n).

(3.10)

yi − yi−1

Si (xi ) =

hmi

2hmi

(i =1, 2,..., n −1),

~ 6

S'i+1 (xi ) =

yi+1 − yi

−

2hmi

+ hmi+1

(i =1, 2,..., n −1),

и используя краевые условия второго типа и условия (3.6),

получим систему из				n +1 линейных уравнений относительно
		~
неизвестных mi :
	~	= f "(a),
m0		= f "(a),
	~	~ ~			6(yi+1	− 2yi + yi−1)
	~	~ ~			6(yi+1	− 2yi + yi−1)		(3.11)
mi−1 + 4mi + mi+1			=				(i =1, 2,..., n −1),
mi−1 + 4mi + mi+1			=			h2	(i =1, 2,..., n −1),
	~					h2
	~
mn = f "(b).

Системы (3.9) и (3.11) являются частными случаями системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

u	= b ,
0	0	(3.12)
ui−1 + 4ui + ui+1 = bi (i =1, 2,..., n −1),		(3.12)
	= bn .
un	= bn .
	42

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022418.39 Кб3Методическое пособие 121.pdf
#
30.04.2022420.61 Кб6Методическое пособие 122.pdf
#
30.04.2022421.03 Кб2Методическое пособие 123.pdf
#
30.04.2022421.96 Кб4Методическое пособие 124.pdf
#
30.04.2022423.34 Кб2Методическое пособие 125.pdf
#
30.04.2022424.29 Кб12Методическое пособие 126.pdf
#
30.04.2022431.15 Кб4Методическое пособие 127.pdf
#
30.04.2022433.77 Кб3Методическое пособие 128.pdf
#
30.04.2022434.81 Кб2Методическое пособие 129.pdf
#
30.04.202226.82 Mб3Методическое пособие 13.doc
#
30.04.2022211.03 Кб3Методическое пособие 13.pdf