|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(axi2 + bxi + c − xi )xi2 = 0, |
|
|
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(axi2 + bxi + c − yi )xi2 = 0, |
||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(axi2 + bxi + c − yi ) = 0 |
|
|
|
|
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
a ∑ xi4 |
+ b ∑ xi3 |
+ c ∑ xi2 |
= |
∑ yi xi2 , |
|||||
|
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
4 |
|
x |
, |
|
a ∑ x3 |
+ b ∑ x2 |
+ c ∑ x |
|
= |
∑ y |
||||
|
i=1 i |
i=1 i |
i=1 |
i |
i=1 |
i |
i |
|
||
|
|
4 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
a ∑ xi2 |
+ b ∑ xi |
+ c 4 = |
∑ yi |
|
|
|
|||
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
a 338 + b 92 + c 26 = 41,
a 92 + b 26 + c 8 =11,a 26 + b 8 + c 4 = 7.
Решением этой системы являются числа a = 56 , b = −10930 , c = 185 . Эмпирическая формула представляет
собой функцию
y = f (x) = 56 x2 − 10930 x + 185 ,
совпадающую с алгебраическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения Q2 (x) на множестве точек
{0,1,3, 4}.
Приложение к главе 2.
Блок-схема определения параметров эмпирической формулы
27
с двумя параметрами методом наименьших квадратов
Пусть результаты некоторого эксперимента представлены в виде множества пар чисел {(xi , yi )} (i =1,2,..., m). Используя
метод наименьших квадратов и выравнивание экспериментальных данных, нужно выбрать наилучший вариант эмпирической формулы с двумя параметрами y =Q(x, y, β) среди семи, шесть из которых представлены в
таблице на странице ?. Нулевой вариант – зависимость y=kx+b. Для упрощения программ полагаем, что xi > 0, yi > 0 .
Кроме того, при выводе результатов вычислений на экран, указывается только номер в таблице, соответствующий наилучшей аппроксимирующей формуле и значения параметров k и b эмпирической зависимости Y=kX+b в новых переменных X и Y.
|
|
|
Ввод m, xi, yi |
|
|
|
||
|
|
|
i= |
1,m |
|
|
|
Плотность |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
прилегания |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразованных Xi , Yi |
|
|
x1(i)=x(i); y1(i)=y(i) |
||||||
|
|
|
|
к прямой Y=kX+b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметром d(j). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = 0, 6 |
|
|
Преобразование переменных |
Выравнивание |
|
будет наилучшим, |
||
|
||
|
если d = min(d(j)) |
|
Подпрограмма вычисления |
0≤j≤6 |
|
параметров a(j)=k, b(j)=b, d(j)=d |
|
|
использует для решения уравнений |
|
|
(34) правило Крамера |
|
|
28 |
|
|
Выбор номера k наилучшей эмпирической формулы |
||
из условия d= mind(i) i=0 1 |
6 |
|