2. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y:
xi |
x1 |
x2 |
………. |
xm |
yi |
y1 |
y2 |
………. |
ym |
Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y = f (x) ,
явным образом выражающей y как функцию x. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = f (x)
изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек (xi , yi ) . Поиск такой
функциональной зависимости называют «сглаживанием» экспериментальных данных.
Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать, используя метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов указывается вид эмпирической
формулы |
|
y =Q(x, a0 , a1,...., an ), |
|
(2.1) |
||
|
|
|
||||
где a0 , a1,...., an |
- числовые параметры. |
|
|
|||
Наилучшими значениями параметров a0 , a1,...., an |
(которые |
|||||
обозначим a0 , a1 |
,...., an ) |
считаются |
те, для которых сумма |
|||
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
квадратов уклонения |
функции |
Q(x, a0 , a1,...., an ) |
от |
|||
экспериментальных точек (xi , yi ) |
(i =1,2,...., m) |
является |
||||
минимальной, т.е. функция |
|
|
|
|||
|
|
|
20 |
|
|
|
S(a |
|
, a |
,...., a |
|
) = |
m |
|
, a |
|
, a |
,...., a |
|
) − y |
)2 |
(2.2) |
|
0 |
n |
∑(Q(x |
0 |
n |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
i=1 |
i |
|
1 |
|
i |
|
|
||||
в точке (a0 |
, a1,...., |
an ) |
достигает |
минимума. |
Отсюда, |
|||||||||||
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
используя необходимые условия экстремума функции
нескольких |
переменных, |
получаем |
систему уравнений для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
||
определения параметров a0 ,...., an : |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂S |
|
= 0, |
∂S |
= 0,....., |
∂S |
= 0. |
(2.3) |
|||
|
|
|
|
|
∂a |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∂a |
|
∂a |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
~ |
Если |
~ |
система |
|
(2.3) |
имеет |
единственное |
решение |
|||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a0 |
, a1,...., an , то оно является искомым и аналитическая |
||||||||||||||
зависимость |
между |
экспериментальными |
данными |
||||||||||||
определяется формулой |
~ |
~ |
~ |
|
|||
y = f (x) =Q(x, a0 |
, a1 |
,...., an ). |
|
Заметим, что в общем случае система (2.3) – нелинейная. Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости (2.1) с двумя параметрами: y =Q(x,α, β) . Используя
соотношения (2.3) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными α и β:
∑m [Q(i=1m [∑ Q(i=1
xi ,α, β) − yi ] |
|
∂Q(xi ,α, β) |
= 0, |
||
|
∂α |
||||
|
|
(2.4) |
|||
xi ,α, β) − yi ] |
∂Q(xi ,α, β) |
||||
|
= 0. |
||||
∂β |
|
||||
|
|
|
|
||
В частном случае аппроксимация экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем
21
y =Q(x, k,b) = kx + b, ∂∂Qk = x, ∂∂Qb =1.
Система (2.4) для этого случая является линейной относительно неизвестных k и b:
m |
|
|
∑[(kxi + b) − yi ]= 0, |
|
|
i=1 |
|
|
m |
|
|
∑[(kxi + b) − yi ]xi |
= |
0 |
i=1 |
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
bn + k ∑ xi |
= ∑ yi , |
|
||||
|
|
i=1 |
|
i=1 |
(2.5) |
|
|
m |
m |
|
|
m |
|
|
|
2 |
|
|||
b ∑ xi + k ∑ xi |
= ∑ xi yi . |
|
||||
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
Пусть для переменных x и y соответствующие значения экспериментальных данных (xi , yi ) не располагаются вблизи
прямой. Тогда выбирают новые переменные
X =ϕ(x, y) |
Y =ϕ(x, y) |
(2.6) |
так, чтобы преобразованные экспериментальные данные |
|
|
X = ϕ(xi , yi ) |
Y = ϕ(xi , yi ) |
(2.7) |
в новой системе координат (X ,Y ) давали точки (X i ,Yi ) , менее
уклоняющиеся от прямой. Для аппроксимирующей прямой
Y = kX + b (2.8)
числа k и b можно определить из уравнений (2.5), где вместо xi и yi подставляют соответствующие значения X i и Yi .
Нахождение зависимостей (2.6) называют выравниванием
экспериментальных данных.
Функциональная зависимость y = f (x) определена неявно уравнением ϕ(x, y) = kϕ(x, y) −b , разрешим относительно y в
частных случаях.
Пример 1. Установить вид эмпирической формулы y = f (x) , используя аппроксимирующие зависимости (2.1) с
двумя параметрами α и β, и определить наилучшие зависимости параметров, если опытные данные представлены таблицей
22
|
xi |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
yi |
7,1 |
27,8 |
62,1 |
|
110 |
|
161 |
|
Решение. |
Здесь |
экспериментальные |
точки |
(xi , yi ) не |
|||||
располагаются вблизи прямой. Положим X = ln x, Y = ln y и составим таблицу экспериментальных данных в новых переменных X i и Yi :
|
X i |
0,000 |
0,693 |
1,099 |
1,386 |
1,609 |
|
|
Yi |
1,960 |
3,325 |
4,129 |
4,700 |
5,081 |
|
Точки |
(X i ,Yi ) |
лежат приблизительно на прямой (рис. 4). |
|||||
Наилучшее значение параметров k и b эмпирической зависимости Y = kX + b (в новых переменных) находятся из системы уравнений (2.5):
|
|
|
m |
|
m |
|
|
bn + k |
∑ X i = ∑Yi , |
|
|||||
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
m |
|
|
m |
|
m |
|
b ∑ X |
i |
+ k ∑ X 2 |
= ∑ X Y |
||||
|
i=1 |
|
i=1 |
i |
i=1 |
i i |
|
|
|
|
|
|
|||
5b + 4,787k =19,196,
4,787b + 6,200k = 21,535.
Рис. 4 – Точки (X i ,Yi )
23
Решив эту систему, b =1,97, k =1,95 . Неявное уравнение, выражающее связь между переменными x и y, имеет вид
ln y =1,95ln x +1,97.
Легко получить явную зависимость между x и y в виде степеней функции
y = e1,97 x1,95 = 7,16x1,95. |
(2.9) |
Сравнение экспериментальных данных с результатами вычислений по эмпирической формуле (2.9) в соответствующих точках представлено в виде таблицы
xi |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
yi |
7,1 |
27,8 |
62,1 |
|
110 |
161 |
|
y = 7,16x1,95 |
7,16 |
27,703 |
61,081 |
|
107,04 |
165,39 |
|
Формула |
(2.9) |
является |
частным |
случаем |
|||
аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами, имеющей вид
Q(x,α, β) =αxβ .
Параметры α и β этой зависимости можно было бы найти из нелинейных уравнений (2.4) непосредственно. Однако применение способа выравнивания существенно упрощает
вычисления параметров. В данном случае α = eb , β = k .
Рекомендации по выравниванию экспериментальных данных и аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами приведены в таблице ниже.
Одну из шести предложенных формул преобразования к переменным (X ,Y ) следует выбирать одновременно с
24
проверкой применения линейной зависимости к исходным данным (xi , yi ) (i =1, 2,...., m) . Условие выбора наилучшей
эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой.
|
Выравнивание данных |
|
Эмпирическая |
||||||
№ |
(преобразование |
|
|||||||
|
формула |
||||||||
|
переменных) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
X = x, Y = xy |
|
|
β |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
y = α + x , α = k, β = b |
|||||||||
|
|
|
|||||||
2 |
X = x, Y = |
1 |
|
y = |
1 |
|
|
, α = k, β =b |
|
y |
αx + β |
||||||||
|
|
|
|
||||||
3 |
X = x, Y = |
x |
|
y = |
x |
, α = k, β =b |
|||
y |
αx + β |
||||||||
|
|
|
|
||||||
4 |
X = x, Y = ln y |
y =αβ x , α = eb , β = ek |
|||||||
5 |
X = ln x, Y = y |
y =α ln x + β, α = k, β =b |
|||||||
6 |
X = ln x, Y = ln y |
y =αxβ , α = eb , β = k |
|||||||
Уклонение данных от прямой в каждом варианте выравнивания данных будем определять величиной
d j
Для наилучшей эмпирической формулы величина d
является наименьшей, т.е. d = min {d j } ( j = 0 для случая,
0≤ j≤6
когда X i = xi и Yi = yi ).
Естественно, что если не удается удовлетворительно построить функциональную зависимость, используя вид эмпирической формулы с двумя параметрами, то можно продолжать поиски среди формул с большим числом параметров.
Пример 2. Опытные данные определены таблицей
|
xi |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
|
yi |
4 |
0 |
1 |
2 |
|
Установить вид |
эмпирической |
формулы y = f (x) , |
||||
используя аппроксимирующую зависимость с тремя параметрами a,b и c , имеющую вид
Q(x, a,b, c) = ax2 + bx + c.
Решение. Здесь соотношение (31) примет вид
S(a,b,c) = m (axi2 + bxi + c − yi )2 .
∑
i=1
Для нахождения a,b и c составим систему уравнений вида (2.3): ∂∂Sa = 0, ∂∂Sb = 0, ∂∂Sc = 0 . Отсюда получаем систему трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными:
26