A.4. Содержание дисциплины

1. Наименование тем и виды занятий

№ п/п	Разделы дисциплины	Лекции (час.)	Практ. занятия (час.)	Сам. Изучение
	I семестр	54	72	4
	Действительные числа, действительные функции и пределы	26	20
	Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной	12	24
	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменной	16	28
	II семестр	54	72	4
	Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных	32	44
	Ос­нов­ные по­ня­тия тео­рии функ­ций ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной и операционное исчисление	22	28
	III семестр	36	32	6
	Дифференциальные уравнения	22	18
	Функциональные ряды, ряды Фурье и преобразования Фурье	14	14

4.2.Содержание разделов дисциплины, изучаемых в первом семестре Раздел 1. Действительные функции и пределы ( 38 ч)

Лекция 1. Предмет и метод математики. Структура и содержание курса математического анализа, его роль в подготовке современного специалиста высшей квалификации. Элементы математической логики: необходимые и достаточные условия. Символы математической логики. Бином Ньютона. Множества. Операции над множествами.

Лекция 2. Множество вещественных чисел. Аксиомы множества вещественных чисел. Числовые промежутки и окрестности; принцип вложенных отрезков. Понятие отображения числовых множеств. Простейшая классификация отображений.

Лекция 3. Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами.

Лекция 4. Классификация точек множеств. Открытые и замкнутые множества Теорема Больцано – Вейрштрасса. Ограниченные множества, точные числовые грани. Счетные множества. Понятие мощности множеств. Несчетность множества действительных чисел.

Лекция 5. Числовые последовательности, способы задания, операции над последовательностями. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

Лекция 6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Число «е».

Лекция 7. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Лекция 8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Операции над рядами: сложение и умножение

Сходящихся рядов, группировка и перестановка членов ряда.

Лекция 9. Функция, аргумент и значение функции, область ее определения, множество значений функции, образ и прообраз. Основные способы задания функций. Взаимно однозначное, тождественное, обратное, сложное, параметрически заданные отображения и их свойства. Числовые функции и их свойства (монотонность, четность, периодичность, ограниченность.) Обратные функции, обратимость строго монотонных функций. Основные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций.

Лекция 10. Два определения предела функции в точке. Теорема об эквивалентности этих определений. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Бесконечные пределы. Локальные свойства функций, имеющих предел. Предел сложной функции. Односторонние пределы.

Лекция 11. Основные теоремы о пределах. Теорема о пределе промежуточной переменной. Пределы монотонных функций. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функции. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные виды неопределенностей.

Лекция 12. Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность основных элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы. Точки разрыва и их классификация. Кусочно-непрерывные функции.

Лекция 13. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Лекция 14. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь с непрерывностью. Понятие дифференциала. Простейшие свойства производных и дифференциалов. Производная и дифференциал сложной и обратной функции Производные основных элементарных функций: и гиперболических функций.

Лекция 15. Производные и дифференциалы высших порядков. Механическое истолкование второй производной. Формула Лейбница. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Лекция 16. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Их геометрический смысл Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие неопределенностей «

Лекция 17. Формула Тейлора. Формула Маклорена для основных элементарных функций. Применение в приближенных вычислениях. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

Лекция 18. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия.

Лекция 19. Асимптоты графика функции. Условия существования асимптот. Полное исследование и построение графика функции.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (16ч)

Лекция 20. Конечномерные евклидовы пространства. Понятие метрики. Классификация точек множества. Открытые и замкнутые множества. Связность точек множества. Предел последовательности.

Лекция 21. Функции многих переменных, как отображения из Rn в R1. График функции двух переменных. Примеры функции многих переменных и их геометрическое представление. Линии и поверхности уровня. Вектор – функции числового аргумента. Предел и непрерывность. Частные производные и частные дифференциалы скалярной функции многих переменных и их геометрическая интерпретация

Лекция 22. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Инвариантность формы первого дифференциала Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Лекция 23. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Неявные и сложные функции, их дифференцирование.

Лекция 24. Производная по направлению, градиент функции, его свойства, связь с производной по направлению. Формула Тейлора для функций двух и нескольких переменных.

Лекция 25. Локальный экстремум скалярной функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума непрерывно дифференцируемой функции. Достаточное условие локального экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции двух переменных.

Лекция 26. Обобщение теории локального экстремума на скалярные функции n переменных. Критерий Сильвестра.

Лекция 27. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области.

Условный экстремум скалярной функции двух переменных. Функция Лагранжа.

Самостоятельное изучение темы:

1.«Основные элементарные функции».

2. Векторные функции действительной переменной, их дифференцирование.

3.Метод наименьших квадратов.