2.7. Элементы дисперсионного и корреляционного анализа

Дисперсионный анализ. При серийном производстве ЭС часто для обеспечения необходимого объема выпуска осуществляется их одновременное изготовление параллельно на нескольких однотип­ных технологических линиях. Поэтому, чтобы быть уверенным и получении однородной совокупности ЭС, необходимо ответить на вопрос, является ли работа однотипных линий или технологических установок идентичной. Можно было бы для ответа на этот вопрос применить критерий Стьюдента для попарного сравнения средних арифметических выборок, сделанных из совокупностей ЭС, изготовленных на соответствующих технологических линиях (или установ­ках).

Однако лучшим методом является разложение дисперсий, или дисперсионный анализ. Он основан на том, что при различии в работе технологических линий (или установок) частные средние, вычисленные по выборкам, отличаются друг от друга больше, чем можно было бы ожидать на основе случайных колебаний отдельных значений контролируемого параметра качества.

Пусть имеется k выборок с одинаковым числом п изделий в каждой выборке. Тогда число наблюдений над контролируемым параметром качества N=kn. При дисперсионном анализе их располагают в табл. 2.7 и для каждой выборки наблюдаемых значений вычисляют частную среднюю и частную дисперсию s_i²(i=1, 2,..., k).

Общая средняя арифметическая и общая дисперсия, вычислен­ные по всем наблюдениям, приведенным в табл. 2.7, составляют

(2.53)

(2.54)

Таблица 2.7

Расположение наблюдаемых значений параметра качества

при дисперсионном анализе

Номер выборки	1	2	3..i.. k
Наблюдение xij	x11	x21	x31… xi1… xk1
.	x12	x22	x32… xi2… xk2
.	x13	x23	x33… xi1… xk3
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
.	x1j	x2j	x3j… xij… xkj
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
.	x1n	x2n	x3n… xin… xkn
Частная средняя
Частная дисперсия	s12	s22	s32… si2… sk2

Чтобы выборочная дисперсия была несмещенной оценкой гене­ральной дисперсии, ее получают делением суммы квадратов от­клонений случайной величины от их среднего значения не на число наблюдений, а на число степеней свободы. Общая дисперсия s_п² имеет N-1 степеней свободы. Из N наблюдаемых значений N-1 независимы относительно , так как N-1 значений можно выбрать по случайному закону, но после их выбора значение будет опреде­ляться значением параметра качества оставшегося изделия.

В дисперсионном анализе кроме общей дисперсии вычисляют еще две другие оценки рассеяния, из которых одна основана на колебании частных средних вокруг общей средней (будем называть ее дисперсией между выборками и обозначать через s_ср²), а другая — на колебании значений параметра вокруг частной средней внутри отдельных выборок (дисперсия внутри выборок s_вн²).

Значение s_ср² определяется путем деления изменчивости между выборками на k - 1, т. е. на число степеней свободы между выбор­ками. Из k значений можно выбрать по случайному закону только k-1 значений, но после их выбора значение будет определяться средним значением оставшейся выборки Смысл термина «диспер­сия между выборками» станет понятен, если вспомнить смысл термина «дисперсия среднего значения». Предположим, что сделано k выборок объемом п и значения являются средними значениями этих выборок. Тогда можно рассматривать как выборку объемом k, взятую из генеральной совокупности всех возможных средних значений выборок объемом п. Общая средняя арифметическая ( ) может быть подсчитана с помощью (2.53). Следовательно, выражение

является наилучшей оценкой -дисперсии генеральной совокупно­сти всех возможных средних значений выборок объемом п. Но, как известно, =σ²/n, а это означает, что выражение является наилучшей оценкой σ²/п или является наилучшей оценкой σ². Поэтому, чтобы дисперсия s_ср² была несмещенной оцен­кой σ ², ее следует рассчитывать по формуле

(2.55)

Значение же s_вн² получается делением изменчивости внутри выборок на N—k. Так как для каждой из выборок одна степень свободы оказывается потерянной, а общее число выборок равно k, то v=N—k. Тогда

(2.56)

Хотя значения всех рассматриваемых трех оценок могут отличаться друг от друга (для конкретного множества наблюдений), все они являются несмещенными оценками σ -дисперсии генеральной сово­купности, из которой взяты выборки.

Схему разложения дисперсии можно представить в виде табл. 2.8.

Таким образом, сумма квадратов отклонений А₁ + А₂ и общее число степеней свободы N— 1 делятся на две составляющие. Одна составляющая основана на дисперсии частных средних вокруг об­щего среднего , а другая — на дисперсиях внутри выборок.

Если на выборочные наблюдения не оказывают влияния опреде­ленные факторы, то обе оценки дисперсии не отличаются друг от друга. Это можно проверить с помощью F-критерия, а именно F = s_ср² / s_вн².

Таблица 2.8

Схема разложения дисперсий

Истонннх дисперсии	Схема квадратов	Число сте­пеней свободы	Дисперсия
Между вы­борками		v1 = k-1
Внутри выборок		v2 = N - k
Общая		v1 – v2= = N - 1

Пример 5. Рассмотрим влияние частоты вращения центрифуги при нанесении слоя фоторезиста на равномерность слоя фоторезиста. Нанесение слоя фоторезиста осуществляется на установке ПФН-2 на ситаловые подложки, покрытые металличес­кими пленками. Отклонения толщины пленки фоторезиста (10^-6 м) от среднего значения при различных частотах вращения центрифуги приведены в табл. 2.9.

По результатам исследования вычисляем s_ср² = 0,0182; s_вн²=0,00206; F_расч = 8,835. Для β=0,05, v₁=2, v₂=21 по табл. 3 Приложения [3, с. 402] найдем F_табл = 3,47.

Так как F_расч>F_табл, то разброс толщины пленки фоторезиста по подложке зависит от скорости вращения центрифуги.

Таблица 2.9