- •Математико-статистические методы обработки данных при управлении качеством электронных средств
- •Математико-статистические методы обработки данных при управлении качеством электронных средств Утверждено редакционно-издательским советом
- •Введение
- •1. Общие сведения о контроле качества электронных средств
- •2.2. Графические методы представления статистического ряда
- •2.3. Численные методы представления статистического ряда
- •2.4. Основные понятия теории вероятностей и характеристики генеральной совокупности
- •2.5. Основные законы распределения случайной величины
- •2.6. Статистическая проверка гипотез
- •2.7. Элементы дисперсионного и корреляционного анализа
- •Отклонения толщины фоторезиста от среднего значения при различных частотах вращения центрифуги
- •3. Статистические методы анализа качества. Расслаивание и графические методы
- •3.1. Методы расслаивания
- •3.2. Расслаивание общей изменчивости статистических данных с помощью дисперсионного анализа
- •3.3. Диаграмма разброса (поле корреляции)
- •3.4. Диаграмма Парето
- •3.5. Причинно-следственная диаграмма
- •4. Статистические методы оценки качества
- •4.1. Выбор оценок генеральных характеристик
- •4.2. Определение доверительных интервалов оценок генеральных характеристик
- •4.3. Оценка генеральной средней м(х) с помощью среднего значения выборки
- •Результаты испытаний эс на безотказность работы
- •4.4. Оценка генеральной характеристики рассеивания σ с помощью выборочных характеристик рассеивания
- •4.5. Определение объема выборки для оценки генеральных характеристик с заданной точностью
- •Библиографический список
4.2. Определение доверительных интервалов оценок генеральных характеристик
Производя оценку генеральных характеристик, требуется не только выбрать соответствующую оценку и подсчитать ее значение на основании статистического материала, но и определить, к каким ошибкам может привести замена генеральной характеристики ее точечной или интервальной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений (измерений), когда оценка в значительной мере случайна и колеблется от выборки к выборке. Приближенная замена генеральной характеристики ее оценкой в этом случае может привести к серьезным ошибкам. Поэтому для каждой статистической характеристики, вычисленной по результатам выборки, следует указывать точность оценки. Эта точность содержится в доверительном интервале. В этом случае замена генеральной характеристики ее оценкой делается с определенной достоверностью (доверительной вероятностью), которая характеризует степень нашего доверия к анализируемым результатам. Обычно достоверность, которую обозначим через Р*, выбирается близко к единице (0,9; 0,95; 0,99).
Строго говоря, достоверность — это вероятность того, что оцениваемый параметр лежит между доверительными границами. При этом величина вероятности и величина доверительных границ взаимосвязаны.
В случае точечной оценки М(х) с помощью для гауссовского закона распределения случайной величины X эта взаимосвязь количественно определяется теоремой Ляпунова, которую можно сформулировать следующим образом: с вероятностью, равной Ф1(α), можно утверждать, что при наличии в выборке объемом п достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин xi , которые сравнительно мало отличаются друг от друга, разность между генеральными и выборочными средними арифметическими значениями будет лежать в пределах ε, т. е.
Р{-ε≤ М(х)- ≤+ ε }=Ф1(α), (4.1)
где ε = α — точность оценки или половина поля допуска; величину подсчитывают по формулам (2.45) или (2.46); Ф1(α) определяется с помощью (2.37) и табл. 1 Приложения [3] при выбранном α.
Пусть имеется распределенная по закону Гаусса генеральная совокупность с математическим ожиданием М(х) и средним квадратическим отклонением ε. По результатам отобранной из этой совокупности выборки объемом п вычислена средняя арифметическая . Относительно разности М(х)— можно с вероятностью, например, Ф1(α) = 0,95 утверждать, что она находится в интервале с границами — l,96 и +1,96 ;, где α =1,96 найдено из табл. 1 Приложения [3] для Ф(α) = 0,475.
Согласно (4.1) и (2.46) запишем следующее неравенство:
или
Если вместо доверительной вероятности Р* = Ф1(α)=0,95 желательна, например, вероятность Р* = 0,99, то коэффициент α, равный 1,96, следует заменить на 2,58.
Для каждого отдельного случая, естественно, неизвестно, попадет ли среднее значение действительно в доверительный интервал. Известно только, что если оценка М(х) вычисляется повторно, то она в 95% всех случаев находится в доверительном интервале. Ширина доверительного интервала для математического ожидания, как видно из (4.1), зависит от числа проведенных измерений, от стандартного отклонения σ и от заданной вероятности. Если значение генеральной характеристики σ неизвестно, то при достаточно большом n можно общее стандартное отклонение sП выборки приравнять стандартному отклонению σ генеральной совокупности. Таким образом, при больших п доверительный интервал для математического ожидания
Однако при замене интервального оцениваемого параметра σ значением его оценки, полученной на основании выборочного статистического материала, взятого из генеральной совокупности, на практике встает другая задача: по выборочным характеристикам определить вероятность того, что неизвестное значение генерального стандартного отклонения σ будет лежать в заданных пределах ε, т. е. определить доверительные интервалы для σ .
Решение для этой задачи записывается обычно так: вероятность того, что σ будет находиться в пределах s – ε ≤ σ ≤ s + ε равна разности вероятностей следующих событий: s + ε ≥ σ и s – ε ≤ σ, т. е.
Р{s–ε≤σ≤s+ε}= P1 – P2, (4.2)
где P1 и Р2 — вероятности, определяемые по табл. 2 Приложения соответственно для значений
и (4.3)
и для υ1 = υ2 = n – 1.
Пример 1. По 15 случайным независимым наблюдениям над величиной X, имеющей в генеральной совокупности гауссовское распределение, найдено выборочное значение среднего квадратического отклонения, равное 6,7. Спрашивается: с какой вероятностью можно утверждать, что σ заключено между 6,5 и 6,9?
Решение. Имеем ε =0,2; v=n-1=14 Тогда по формуле (4.3) найдем
;
Далее по табл. 2 Приложения для v = 14 и вычисленным значениям χ2 найдем значения Р1 я Р2. Таблица построена для целых значений χ2. Так, для χ2 =13 v = 14 Р=0,5265; для χ2 = 14 v = 14 Р=0,4497. Для χ21=13,20 значение Р1 лежит между найденными значениями вероятностей. Оно находится таким же приемом интерполирования, какой употребляется в логарифмических вычислениях.
Для χ2 = 13 и χ2 = 14 значения Р отличаются на 0,5265-0,4497 = 0,0768 Так как с увеличением χ2 вероятность Е уменьшается, то значение Р1 для χ21 = 13,20 можно найти, вычитая 0,20 величины 0,0768 из значения Р для χ2 = 13, т е P1 = 0,5265-0,20·0,0768=0,51114.
Аналогично, Р2= 0,4497-0,87·0,0715 = 0,387495. Тогда Р={6,5≤σ≤6,9} = 0,5111-0,3875=0,1236.
Следовательно, с точностью 0,2 я вероятностью 0,1236 можно записать, что σ≈6,7. Если бы взять меньшую точность (т. е большее значение ε ), то получилось бы соответственно и большее значение вероятности.