4. Статистические методы оценки качества

4.1. Выбор оценок генеральных характеристик

Как при контроле качества, так и при его анализе статистические выводы относительно генеральной совокупности составляются на основании информации, получаемой из выборки или выборок.

В этом случае выборочную характеристику, с помощью которой делаются статистические выводы, называют оценкой (estimator) ге­неральной характеристики. В свою очередь, генеральную харак­теристику, определяемую с помощью оценки, называют оценива­емым параметром (estimate). При этом характеристики положения, т. е. , Me, Mo для выборки и М(х) для генеральной совокупности, называют соответственно точечными оценками (point estimator) и точечным оцениваемым параметром (point estimate). А харак­теристики рассеивания соответственно называют интервальной оценкой (interval estimator) и интервальным оцениваемым парамет­ром (interval estimate). Для случая нормального (гауссовского) зако­на распределения значений параметра качества; =Ме=Мо. Поэто­му с первого взгляда может показаться, что нет разницы в том, какую из этих оценок выбрать для оценки точечного оцениваемого параметра М(х). Однако это не так, ибо для того, чтобы на основании оценки можно было бы сделать статистический вывод о качестве всей продукции (генеральной совокупности), необходимо, чтобы оценка была состоятельной, несмещенной, эффективной и до­статочной.

Состоятельной является оценка, если при неограниченном воз­растании объема выборки значение оценки сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра. Если обозначить в общем виде значение оцениваемого параметра качества генеральной сово­купности через Θ, а значение его оценки — через Θ, то в случае состоятельной оценки можно сказать, что если объем выборки n→N, то вероятность того, что разность между значениями оценки и оцениваемого параметра меньше сколь угодно малой наперед заданной величины δ, будет равна 1, т. е.

Если значение оцениваемого параметра (а следовательно, и оценки, ибо выборка берется из рассматриваемой генеральной совокупности) имеет нормальный закон распределения, то точечные оценки , Ме, Мо и интервальные оценки s(s²) являются состоятельными оценками, соответственно М(х) и σ (σ ²).

Несмещенной является такая оценка, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра, т. е.

М{ }= .

Если точечные оценки ( , Mo, Me) являются несмещенными оценками М(х)_, то интервальные оценки s(s²) являются смещенными оценками интервальных оцениваемых параметров σ и σ ². Если при определении s² величину делить не на число наблюдаемыx значений х_i, а на число степеней свободы, то смещение уменьшается.. В случае подсчета число степеней свободы для п значений х_i будет равно n—1. Действительно, значение не будет известно, пока не будет известно последнее значение х_n , контролируемого параметра качества. Следовательно, каждое предыдущее значение параметра качества может изменяться относительно свободно и только после определения последнего значения параметра качества на их свободные изменения накладываются ограничения. Вот почему выражения для s² и s имеют вид, приведенный в формулах (2.8)...(2.11). Очевидно, что по мере возрастания объема выборки n смещение уменьшается и при п≥20 отсутствует. Поэтому при большом объеме выборки величину делят не на число степеней свободы, а на число наблюдаемых значений х_i . Необходимо отметить, что число степеней свободы, как мы убедимся в дальнейшем, не всегда совпадает с n —1. Более полно оно может быть определено как число наблюдаемых значений, которые могут свободно изменяться по случайному закону относительно значения вычисленного предварительно параметра, стоящего в числителе выражения для дисперсии.

Эффективной является оценка, дисперсия которой относительно оцениваемого параметра качества генеральной совокупности не больше дисперсии любой другой оценки относительно этого же оцениваемого параметра. Таким образом, величина М( — )² для эффективной оценки должна быть меньше, чем для любой другой оценки. Предположим, нам предстоит выбор между и Me для оценки М(х). Обе эти оценки являются состоятельными и несме­щенными в случае нормального закона распределения исследуемой случайной величины. Дисперсия относительно М(х) в случае нормального распределения случайной величины имеет следующее отражение:

где σ ² — дисперсия случайной величины х в генеральной совокуп­ности; N — объем генеральной совокупности; п — объем выборки.

Для случая, когда N>>n, имеем =σ²/п.

Если же в качестве оценки М(х) взять Me или Мо, то как показано в [3] Me и Мо имеют большее значение дисперсии относительно М(х), чем при одном и том же числе наблюдений п. Поэтому оценка М(х) с помощью является более эффективной, чем с помощью Me или Мо.

Что же касается интервальной оценки s²(x), то эффективность оценки генеральной характеристики рассеивания σ²(х) с помощью выборочной характеристики зависит от типа s²(x). Так, для повы­шения статистической значимости значений оценок берут обычно не одну, а несколько выборок (k).

В этом случае, как вытекает из рассмотрения дисперсионного анализа (см. п. 2.7), в качестве оценок генеральной дисперсии могут выступать общая выборочная дисперсия s²_п, дисперсия между вы­борками s²_ср и дисперсия внутри выборок s²_вн. Однако, как видно из примера 4 § 3.2, значение каждой из этих оценок оказывается отличным от оцениваемого параметра σ ² в различной степени (s²_п = 97,42; s²_ср=120,18; s²_вн = 93,15 при значении дисперсии генераль­ной характеристики σ² = 100). Сравнение s²_п, s²_ср , и s²_вн с σ² показывает, что s²_п является наиболее эффективной оценкой, величина выбороч­ного рассеивания s²_вн — средняя, а величина s²_ср — малоэффективной оценкой σ².

Достаточной является оценка, которая содержит всю необходи­мую информацию об оцениваемом параметре генеральной совокуп­ности.

Если при контроле качества распределение случайных значений контролируемого параметра качества подчинено гауссовскому за­кону, то для получения статистических выводов достаточно про­анализировать два параметра выборки: и s²(s),— являющихся состоятельными, несмешенными, эффективными и достаточными оценками соответственно М(х) и σ²(σ) генеральной совокупности.