7. Теория вероятностей

Теоретические сведения

Пусть А, В – некоторые события, Р(А) и Р(В) – вероятности их появления.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей появления этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Если А и В образуют полную группу несовместных событий, то

Р(А) + Р(В) = 1.

Вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Интенсивность  потока  среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Пуассоновским потоком называют поток событий с показательной плотностью f(t) распределения вероятностей интервала времени Т между их появлениями:

f(t)= e^-t.

Вероятность P_t(k) появления k событий простейшего потока за время t определяется функцией Пуассона:

Математическое ожидание М(Т) непрерывной случайной величины Т:

Дисперсия D(Т) непрерывной случайной величины Т:

Математическое ожидание М(х) дискретной случайной величины х равно сумме произведений всех n ее возможных значений на их вероятности:

Дисперсия D(x) дискретной случайной величины х:

Пример задания.

В телефонную справочную службу за одну минуту в среднем поступает пять звонков. На звонки отвечают два телефониста, каждый из которых за одну минуту дает ответ в среднем трем абонентам.

Составить математическую модель работы справочной службы и определить:

среднее число абонентов, обслуживаемых за 10 минут;

среднее число необслуженных абонентов за это же время (обслуживание  ответ телефониста, необслуживание  сигнал “занято”);

вероятность того, что в произвольный момент времени заняты оба телефониста; занят один из них; оба телефониста свободны.

Решение.

Составим математическую модель системы для стационарного состояния. Примем, что в системе существует пуассоновский поток заявок (t)= e^-t с интенсивностью  = 5мин^-1 и поток обслуживания (t)= e^-t, создаваемый двумя телефонистами; интенсивность работы каждого из них =3мин^-1.

Для наглядного представления модели системы воспользуемся схемой переходов (рис. 7.1), на котором S_n  состояние системы, когда в ней находится n заявок(абонентов); n =0,1,2.

В ероятность перехода из состояния S₀ в соcтояние S₁ определяется вероятностью p₀dt совместного появления двух событий: вероятностью p₀ того, что в системе нет ни одной заявки, и вероятностью dt того, что за интервал времени t+dt, dt0, придет одна заявка.

В стационарном состоянии вероятность выхода системы из любого состояния равна вероятности прихода в него, т.е. для перехода из S₁ в S₀ получим вероятность p₁dt и условие равновесия для состояния S₀ примет вид:

p₀dt = p₁dt

или p₀ = p₁.

Аналогично для состояния S1 можно получить равенство

p₁(p₀ p₂.

Учитывая также, что состояния S₀, S₁ и S₂ образуют полную группу несовместных событий, придем к системе уравнений:

(1)

составляющих собою математическую модель справочной службы.

С помощью составленной модели найдем вероятности всех состояний системы. Из (1) следует:

Тогда

и

Для принятых исходных данных =5, =3 получим:

За 10 минут среднее число заявок, поступивших в систему, составит N₁₀ = 10=510=50.

Вероятность Р_отк того, что заявка получит отказ, равна вероятности p₂ состояния S₂, когда оба телефонисты заняты, т.е.

следовательно за 10 минут из 50 заявок будет отказано

заявкам.

Вероятность обслуживания поступающей заявки

и среднее число заявок, обслуженных за 10 минут составит N_об=N₁₀Р_об или N_об = N₁₀ – N_отк=50-17=33.

Вероятность того, что оба телефониста свободны, равна вероятности p₀ состояния S₀:

Результаты решения:

С реднее число абонентов, обслуживаемых за 10 минут, N_об=33;

среднее число необслуженных абонентов за это же время, N_отк=17;

вероятность того, что в произвольный момент времени заняты оба телефониста, р₂= 0,34;

вероятность того, что в произвольный момент времени занят один из телефонистов, р₁ = 0,41;

вероятность того, что в произвольный момент времени оба телефониста свободны, р₀ = 0,25.

Варианты заданий.

Варианты 1 – 2.

К рабочему месту на конвейерной линии с интенсивностью  = 0,1мин^-1 поступает поток изделий, скапливающихся в бункере.

Длительность обработки каждого изделия составляет в среднем 5 минут. Какой объем m накопителя надо предусмотреть, чтобы с вероятностью 0,97 исключить останов линии из-за его переполнения?

В варианте 2 на рабочем месте находятся два человека.

Варианты 3 – 4.

ЭВМ в АСУТП работает в режиме последовательного доступа с буферным накопителем заявок.

Объем накопителя m позволяет принять не более 50 заявок. Интенсивностью потока заявок  = 60мин^-1.

Определить производительность ЭВМ, позволяющую обслуживать не менее 90% заявок. Вариант 4 не предусматривает накопителя.

Указание. При составлении математической модели для задач 1-3 рекомендуется использовать граф, представленный на рисунке

Варианты 5 – 6.

Б ольница неотложной медицинской помощи. Определить число выездных бригад, позволяющее обеспечить немедленное

оказание помощи в 95 случаях из 100.

Интенсивностью потока заявок и средним временем обслуживания одной заявки задаться самостоятельно. Вариант 6 допускает некоторое ожидание обслуживания.

Варианты 7 – 8.

Молокозавод с хранилищем-холодильником для поступающего молока. Допустимое время хранения молока в холодильнике составляет в среднем 10 часов.

Определить необходимую производительность перерабатывающего оборудования, чтобы обеспечить потери сырья из-за скисания не более 5%. Объемом m холодильника и интенсивностью потока поступающего молока задаться самостоятельно. Вариант 8 предусматривает ожидание без холодильника, но с меньшим временем хранения.

Варианты 9 – 10.

Тренажер для стендовой стрельбы дает возможность в среднем через 0,1 минуты предъявлять для поражения цели со средним временем предъявления 1/=0,2 минуты. Если на стенде находятся 3 непораженные цели, то очередная цель не предъявляется и засчитывается промах.

Найти норматив времени на поражение одной цели, выполнение которого обеспечивало бы уничтожение 90% предъявленных мишеней. Вариант 10 предусматривает два выстрела в одной попытке.

Указание. При составлении математической модели для задач 7-10 рекомендуется использовать граф, представленный на рисунке

В арианты 11 – 16.

Рассматриваются кассовые аппараты магазина самообслуживания. Каждый покупатель, набрав покупки, отправляется к кассам и занимает очередь. Время обслуживания покупателя кассой зависит от количества продуктов. Длина очереди может быть ограничена, попытка покупателя встать в переполненную очередь приведет к его уходу из магазина, то есть к отказу в обслуживании. Для своего варианта найти:

среднюю длину очереди

среднее время пребывания покупателя в очереди

среднее время простоя кассира

количество отказов в обслуживании.

Чётные варианты – очередь ограниченная нечётные – неограниченная.

Количество касс	Варианты обслуживания кассами
	«Свои» отделы	Все отделы
Одна	-	11,12
Две	13,14	15,16

Дополнительные вопросы.

1. Случайные функции и их применение.

2. Теория вероятностей в математической статистике.

3. Стационарный случайный процесс.

4. Метод Монте-Карло в расчётах систем массового обслуживания с отказами.

Заключение

Методическое пособие является, в первую очередь, практическим руководством для выполнения курсовых заданий и необходимо предполагает первоначальное изучение теоретического материала по конспектам лекций и рекомендуемой литературе.

Кроме того, в расчётной части работы от студента требуется уверенное владение математическим пакетом MathCAD.

Библиографический список

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2003. Т.1 .416 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2003. Т.2.544 с.

3. Теория автоматического управления. Ч.1/ Под ред А.В.Нетушила. М.: Высш. шк. (Любое издание.)

4. Теория автоматического управления Ч.2. / Под ред. А.В. Нетушила. М.: Высш. шк.(Любое издание.)

5. Теория автоматического управления / Под ред. Яковлева В.Б. М.: Высш. шк., 2003. 567 с.

6. Теория автоматического управления / Под ред. Соломенцева Ю.М. М.: Высш. шк., 2003. 268 с

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2002. 404с.

8. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. М.: Дрофа, 2004. 208с.

9. Семёнов М.П. Основы численных методов / М.П. Семёнов, А.А. Катрахова, В.В. Жучкова. Воронеж: ВГТУ, 1997.

10. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. М.: Наука, 1969. 640 с.

Оглавление

Введение 3

1. Многочлены и их корни 4

2. Условный экстремум.

Метод множителей Лагранжа 14

3. Приближенное решение

нелинейных дифференциальных уравнений 36

4. Приближенное решение систем

линейных дифференциальных уравнений 48

5. Разложение в ряд Фурье 63

6. Решение дифференциальных уравнений с частными

производными методом конечных разностей 70

7. Теория вероятностей 82

Заключение 91

Библиографический список 92

Учебное издание

Васильев Евгений Михайлович

Купцов Валерий Семенович

Катрахова Алла Анатольевна

математическое моделирование

и анализ систем управления

В авторской редакции

Компьютерный набор

Е.М. Васильева,

В.С. Купцова,

А.А. Катраховой

Подписано к изданию 14.09. 2013.

Объем данных 1,55 Mб

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»