Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение

, (1)

где p и q - действительные числа.

Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию.

1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид , где - многочлен n –й степени. Тогда возможны случаи:

а) Число  не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение нужно искать в виде

. (2)

где - многочлен степени n с неизвестными коэффициентами. Подставляя выписанное решение в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

б) Число  есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде .

Пример 1. Найти общее решение уравнения.

Общее решение будет иметь вид .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме , т.е. положим . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

.

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

откуда Следовательно, частное решение будет

Общее решение

Пример 2. Найти общее решение уравнения.

Решение. Общее решение будет иметь вид .

Общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

или

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

откуда Следовательно, частное решение будет

Общее решение +

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид

,

где - многочлены от х. Тогда форма частного решения определяется следующим образом:

а) если  + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде , где - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов ;

б) если  + i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде .

Пример 3.Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

Решение. Общее решение будет иметь вид .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Правая часть данного неоднородного уравнения , очевидно, что i =2 i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

где А и В – неизвестные коэффициенты.

Найдем производные :

Подставляя выражения и производных в заданное уравнение и приравнивая коэффициенты при и , получим два уравнения для определения А и В: . Откуда Следовательно, частное решение . Общее решение будет иметь вид

+ .

Пример 4. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

Решение. Общее решение будет иметь вид .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Общее решение соответствующего однородного уравнения

.