Возвращаясь к переменной у , получаем
.
Это общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Задачи для самостоятельного решения
1.
.
Ответ:
;
х = -1.
2.
.
Ответ:
.
3.
Ответ:
.
4.
;
у(2) =0. Ответ:
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
7.
Ответ:
.
8.
;
Ответ:
.
9.
;
Ответ:
.
10.
;
Ответ:
.
11.
;
Ответ:
Функция
f( x,
y) называется
однородной функцией n-го
порядка относительно переменных х
и у , если при любом
справедливо тождество f(
x,
y) = 
f( x,
y). Например, функция
f ( x,
y)=
-
однородная функция первого порядка,
так как f(
x,
y) =
=
f ( x,
y).
Уравнение первого порядка
(1)
будет однородным, если функция
f(x,y)
есть однородная функция нулевого порядка
относительно х и у. Это равносильно
тому что f (x,
y)= f
(1,
),
т.е. функция нулевого порядка зависит
только от отношения аргументов.
Сделаем подстановку
,
т.е. y = zx,
дифференцируя последнее равенство,
найдем
.
Подставляя выражение производной в
уравнение (1), получим
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример
4. Решить уравнение
.
Решение. Справа стоит однородная функция нулевого порядка , следовательно, имеем однородное уравнение. Делаем замену y/x=z, тогда y = zx
,
,
,
Разделяя переменные, получим
;
;
отсюда, интегрируя, находим
или
Подставляя y/x=z,
получим общий интеграл исходного
уравнения:
Задачи для самостоятельного решения
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ:
8.
Ответ:
9.
Ответ:
10.
Ответ:
Занятие 3. Геометрические и физические задачи
1. Чтобы решить приведенные ниже геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у = у(х) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через х, у и у΄. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию у = у(х).
Пример 1. Найти кривую, проходящую через точку (4;1), зная, что отрезок касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
Решение. Пусть М(х, у) – произвольная точка кривой, уравнение которой у = f(х). Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (рис.2).
Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: tgα есть угловой коэффициент касательной в точке М(х, у) он равен у΄, т.е. у΄= tgα. Из рис.2 видно, что
.
Но
.
По условию задачи АМ = МВ,
следовательно, ОС= СВ= х.
Таким
образом, получаем
или
.
Решаем
полученное дифференциальное уравнение:
,
,
.
По условию задачи
искомая кривая должна проходить через
точку (4, 1), следовательно, 1 =
.
Т.е. с = 4.
Таким
образом, искомая кривая
(гипербола).
2. В физических задачах необходимо, прежде всего, решить, какую из величин взять за независимую переменную, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимая переменная х, получить приращение Δх, т.е. выразить у(х + Δх) – у(х) через величины, о которых говорится в задачею. Разделив эту разность на Δх и перейдя к пределу при Δх→0, получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию.
Иногда дифференциальное
уравнение можно составить более простым
путем, воспользовавшись физическим
смыслом производной (если независимая
переменная – время t,
то
–
скорость изменения величины у). В
некоторых задачах при составлении
уравнения следует использовать физические
законы.
Пример 2. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скорость 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут.
Решение. Примем за независимую переменную время t , а за искомую функцию у(t)– количество соли в сосуде через t минут после начала опыта. Найдем, на сколько измениться количество соли за промежуток времени от момента t до момента t +Δt. В одну минуту поступает 2 л раствора, а в Δt минут – 2Δ t литров; в этих 2Δt литрах содержится 0,3·2Δt = 0,6Δt кг соли. С другой стороны, за время Δt из сосуда вытекает 2Δt литров раствора. В момент t во всем сосуде (10 л) содержится у(t) кг соли, следовательно, в 2Δt литрах вытекающего раствора содержалось бы 0,2Δt·у(t) кг соли, если бы за время Δt содержание соли в сосуде не менялось. Но т.к. оно за это время меняется на величину, бесконечно малую при Δt→0, то в вытекающих 2Δt литрах содержится 0,2Δt(у(t) + α) кг соли, где α→0 при Δt→0.
Итак, в растворе, вытекающем за промежуток времени (t, t + Δt), содержится 0,6Δt кг соли, а в вытекающем – 0,2Δt(у(t) + α) кг. Приращение количества соли за это время у(t + Δt) – у(t) равно разности найденных величин, т.е. у(t + Δt) – у(t) = 0,6Δt – 0,2Δt(у(t) + α). Разделим обе части полученного равенства на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Имеем
у΄(t) = 0,6 – 0,2 у(t).
Решая его, получим у(t) = 3 – се-0,2t. Так как при t = 0 соли в сосуде не было, то у(0) = 0. Следовательно, 0 = 3 – се0 и с = 3.
Получим у(t) = 3 – 3е-0,2t. При t = 5 в сосуде будет
у(5) = 3 – 3е-1 ≈ 1,9 кг соли.
Пример 3. Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, а V(1) = 50 м/с.
Решение. Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое от начала замедления материальной точки.
Тогда скорость точки V будет функцией t, т.е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона
m·a = F,
где а = V´(t) – ускорение движущегося тела,
F – результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае F = -kV2, k > 0 – коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V(t) является решением дифференциального уравнения
mV´ = -kV2
или
.
Решая полученное уравнение, находим
,
где с – const.
Согласно
условию задачи, имеем:
и
.
Отсюда
,
.
Следовательно, скорость точки изменяется
по закону
.
Поэтому V(3) = 25 м/c.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а2.
Ответ: (с ± х)у = 2а2.
2. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная b.
Ответ: b·lny –y = ±x + C, 0 < y > b.
3. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а.
Ответ:
.
4. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота?
Будем считать, что вытекающий газ вследствие перемешивания распределяются по всему объему вместилища равномерно.
Ответ: 10 минут.
5. Тело охладилось за 10 минут от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°? Принять, что скорость остывания (или нагревания) тела пропорционально разности температур тела и окружающей среды.
Ответ 40 минут.
6. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки.
Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 с – 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?
Ответ: 50 с; 15 м.