Задачи для самостоятельной работы

В задачах 1-10 с помощью изоклин начертить (приближенно) решения данных уравнений.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В задачах 11-18 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий

11. ; Ответ: ;

12. Ответ:

13. ; Ответ:

14. ; Ответ:

15. ; Ответ:

16. ; Ответ:

17. ; Ответ:

18. ; Ответ: .

Занятие 2. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и однородные

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде

, (1)

а также в виде

. (2)

Для решения данного уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входила только переменная х, а в другую – только у. Затем проинтегрировать обе части, т.е.

для уравнения (1)

для уравнения (2) .

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример 1. Решить уравнение

(3)

Решение. Приводим уравнение к виду (2)

Делим обе части уравнения на :

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения.

.

При делении на , могли быть потеряны решения х = 0 и у = 1. Очевидно, у = 1 – решение уравнения (3), а х =0 – нет.

Интегрирование дифференциального уравнения в общем случае приводит к бесчисленному множеству решений (отличающимися друг от друга на постоянную величину).

Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при функция у должна быть равна заданному числу , т.е. , называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

или . (4)

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего данному начальному условию (4), называется задачей Коши.

Пример 2. Решить задачу Коши

; у (0)= -1.

Решение. Разделим переменные ;

.

Интегрируем обе части, полученного равенства

; ;

; - общее решение данного дифференциального уравнения. Используя начальное условие у (0)= -1, определим константу С:

; ; С=3.

Таким образом, - частное решение дифференциального уравнения или решение задачи Коши.

Уравнения вида приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой

; ; т.е. .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Сделаем замену , тогда , т.е. , а , следовательно, или . Разделяем переменные . Интегрируем обе части полученного равенства

, , .