Практические занятия

Занятие 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производные от искомой функции, искомую функцию и независимую переменную: .

Если искомая функция у =у(х) зависит только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение называется порядком этого уравнения.

Всякая функция у =у(х), определенная и непрерывная в интервале (а, b) вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях х из интервала (а, b), называется решением этого уравнения в интервале (а, b). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

или (1)

(2)

Уравнение (2) называют уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Оно устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х, у) и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, дифференциальное уравнение (2) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оxy . Таково геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины имеет вид f(x, y) = k, где k- постоянная. Чтобы приближенно построить решение уравнения (2), можно начертить достаточное количество изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами f(x, y) = , f(x, y) = ,… имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно , ,…

Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения .

Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения будет , т.е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу

( ). В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при с=0 х=0, , α= 0;

п ри с=1 х=1/2, , α= 45˚;

при с=-1 х=-1/2, ,

α= - 45˚;

при с= 2 х= 1, ,

α=arctg2 ≈ 63˚ и т.д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (рис.1), по их направлениям строим линии. Они, как видно из рисунка, представляют собой семейство парабол.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

, (3)

надо продифференцировать равенство (3) n раз, считая у функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (3) исключить произвольные постоянные .