Теория свободных электронов в металлах

Квантово-механическая теория электропроводности металлов:

•волновые свойств электронов;

•свободное перемещение внутри металла электронов внешней оболочки атомов как в 3D потенциальной яме, ограниченной поверхностями металла;

•квантованные значения энергии электронов внутри металла.

22

Теория свободных электронов в металлах

Квантовая статистика:

возможность занятия каждого из возможных состояний в системе только двумя электронами (один со спином вверх и другой со спином вниз).

Следствие выполнения принципа исключительности – описание вероятности занятия конкретного состояния с энергией E

одним из электронов в твердом теле с помощью уравнения

где f (E) – функция распределения Ферми-Дирака и EF – энергия Ферми.

23

Теория свободных электронов в металлах

Графики зависимости функции распределения Ферми-Дирака f (E) от энергии

Т = 0 К

Т > 0 К

Освобождение состояний вблизи и ниже EF. Заселение состояний вблизи и выше EF.

Перераспределение электронов благодаря тепловому возбуждению.

Зависимость энергии Ферми EF от температуры

(слабо выраженная в металлах).

24

Теория свободных электронов в металлах

График функции распределения электронов от их энергии в металле

Учет вероятности заполнения состояния (распределение Ферми-Дирака) и количества возможных состояний (принцип исключительности) электронов.

25

Теория свободных электронов в металлах

Порядок величины энергии Ферми в металлах - около 5 эВ.

Расчетное значение энергии Ферми в металлах при 300 К (на основе теории свободных электронов)

Металл Концентрация электронов (м-3) Энергия Ферми (эВ)

Средняя энергия свободных электронов в металле при 0 K

Eсредн 53 EF

26

Теория свободных электронов в металлах

Металл - система, обладающая очень большим числом энергетических уровней, доступных для электронов.

Заполнение уровней электронами согласно принципу исключительности Паули (начиная с E = 0 и заканчивая E = EF).

T = 0 K: заполнение всех уровней ниже уровня Ферми,

все уровни выше уровня Ферми свободны.

T = 300 K: возбуждение очень небольшой доли свободных

электронов и их нахождение на уровнях выше уровня Ферми.

27

Зонная теория твердых тел

Зонная теория твердых тел совместно с понятием об уровне Ферми –

объяснение высокой электропроводности металлов по сравнению с другими материалами, находящимися в твердом состоянии.

28

Зонная теория твердых тел

Отсутствие взаимодействия двух идентичных атомов, находящихся очень далеко друг от друга.

Соответствие энергетических уровней электронов таковым у изолированных атомов.

На примере Na: обладание каждым из двух атомов единственным 3s электроном.

Наложение волновых функций и формирование ковалентной связи по мере сближения двух атомов.

Волновая функция изолированного в пространстве атома

с единственным s электроном вне заполненного слоя либо s r Af r e Zr / na0, либо s r Af r e Zr / na0

A – нормировочный коэффициент,

f(r) – функция r, изменяющаяся в зависимости от n, Z – атомное число, a0 – радиус Бора.

29

Зонная теория твердых тел

Обладание указанными состояниями различной энергией.