Вейвлеты 2 часть
Пример одного из видов вейвлетов «Мексиканская шляпа». Ниже дана базовая функция. Её графики и частотные характеристики.
Самое главное, что функция зависит от t (времени), если t на что-нибудь делит, то она растягивается, т.е. уменьшается её частота. Что отражается и на графиках спектра.
Деля t на какое-нибудь число, можно организовывать разные степени растяжения.
Амплитудное
вейвлет преобразование.
Здесь сигнал непрерывный и представлен в виде некой функции. Выражение T - вейвлет преобразование.
Если a = 1, то сигнал передаётся такой как был.
Фактически здесь происходит операция непрерывной свёртки между непрерывным сигналом и непрерывной функцией.
Функция управляется 2-мя параметрами, один отвечает за перемещение во времени, другой за растяжение.
Обратное непрерывное вейвлет-преобразование
Полученное ранее вейвлет преобразование можно использовать для восстановления сигнала.
В реальной жизни мы имеем дело с компьютерной обработкой, поэтому использует дискретное преобразование.
W зависит от 2-х параметров, b отвечает за время, a – за растяжения вейвлета. Если фрагмент содержит n значений, b = n, значений a столько, сколько хотим получить уровней.
Число значений сигнала на выходе будет равно числу отсчётов, умноженному на число уровней. Т.е. данное преобразование довольно избыточно и громоздко.
Скалограмма – распределение энергии по масштабам
Ниже
представлен исходный сигнал и скалограмма.
Число уровней в данном случае равно 32. Он даёт набор коэффициентов фильтра в 32 раза длиннее, чем изначальный. Функция в 32 раза расширяется, т.е. частота уменьшается. С ростом уровней преобразования частота понижается.
Картинка выше – это визуализация данного выражения.
Скалограмма
суммы синусоид
Наверху график суммы синусоид 3 и 7 Гц с 300 отсчётами.
Число уровней в данном случае равняется 50. Частота 3 Гц примерно посередине данного диапазона, а 7 Гц в нижней части.
Нижний график отображает сигнал на 25 уровне, что является синусоидой с частотой 3 Гц.
Суть – берём 50 фильтров, каждый со своей полосой частот, и пропускаем через них сигнал, на выходе видим, что осталось после прохождения.
Загибы по краям – побочный эффект от того, что фильтры уткнулись в края. Это побочный эффект.
Доверять можно только средней части преобразования. Лучше брать сигнал подлиннее.
Скалограмма
фрагмента экг
На второй картинке вейвлет мексиканская шляпа для сигнала ЭКГ.
На третей восстановленный сигнал на 32 уровне, т.е. посередине, всего 64 уровня.
Нижняя картинка – распределение локальных максимумов на графике разложения.
Ниже
различные
варианты вейвлетов
Нормальный
вид ЭКГ
На 3-м графике сигнал полученный при 120 уровнях, частота 6.7 Гц, Частота QRS комплексов примерно 10-15 Гц, поэтому сигнал имеет такую форму, т.к. частота берётся ниже, чем частота QRS комплекса.
Фибрилляция предсердий
Здесь посередине наблюдается заметное утолщение (светлая полоса) в вейвлете, т.е. на частоте 7 Гц, какая-то активность.
Дискретное Вейвлет-преобразование
Дискретное вычисление непрерывного вейвлет - преобразования крайне избыточно: при числе отсчетов «N» и числе уровней разложения «L» общее число значений будет «N×L».
Самый распространенный вариант дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) был предложен бельгийским математиком Ингрид Добеши в 1988 году.
Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу).
Сокращаем количество значений, пропускаем сигнал через ФНЧ и берём, например, каждый второй отсчёт. (Всё благодаря теореме отсчётов).
Если проделать много раз и оставлять столько значений, сколько необходимо.
Идея дискретного вейвлет-преобразования
ДВП сигнала x получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный фильтр с импульсным откликом g, и получается свёртка:
Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного фильтра h.
В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра).
Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами.
АЧХ фильтров при ДВП
Такое разложение вдвое уменьшает разрешение по времени в силу прореживания сигнала.
Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось.
На выходе 2 сигнала – тот, который вышел из ФНЧ – аппроксимирующий – описывает основное поведение сигнала. Входной для следующей стадии.
Тот, который вышел после ФВЧ – детализирующий сигнал. Идёт сразу на выход.
Прореживание отсчётов при ДВП
Так
как половина частотного диапазона
сигнала была отфильтрована, то, согласно
теореме Котельникова, отсчёты сигналов
можно проредить в 2 раза:
С помощью оператора прореживания” ↓” эти выражения можно записать так:
Каскадирование и банки фильтров
Разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ и ВЧ-фильтрации.
Дерево ниже представляет структуру банка (гребёнки) фильтров.
АК – аппроксимирующий коэффициент
ДК – детализирующий коэффициент
Число коэффициентов ДВП
На каждом уровне сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания длина сигнала должна быть кратна 2n, где n — число уровней разложения.
Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от 0 до fn трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах:
Общее число коэффициентов: 32
Сколько значений на входе, столько и на выходе. Более компактное описание.
Вейвлеты Добиши
Не все формы функции для вейвлет преобразования позволяют не потерять информацию. Только при определённом выборе функций ДВП будет работать.
Выбирать вейвлет – похожий на сигнал.
Здесь все вейвлеты несимметричны, только такие вейвлеты позволяют получить обратное преобразование.
Графическое представлений ДВП
Восстановленные
уровни ДВП
d – графики детализирующих коэффициентов на каждом уровне
Здесь неправильные масштабы, не дай им обмануть себя!
Удаление
шума с помощью ДВП
Если мы знаем частоты шумов, то можно коэффициенты, относящиеся к этой области, принять за 0. Тогда помехи исчезнут.
Применение вейвлетов при анализе ЭКГ
Удаление помех
Обнаружение волн ЭКГ (P, QRS, T)
Классификация форм ЭКГ
Анализ ишемических изменений ST-сегмента
Анализ нарушений сердечного ритма
Анализ ЭКГ высокого разрешения (поздних потенциалов)
Анализ вариабельности сердечного ритма
Сжатие ЭКГ
Применение вейвлетов при анализе ЭЭГ
Удаление окулографических помех
Анализ основных ритмов ЭЭГ (δ, θ, α, β)
Распознавание событий на ЭЭГ
Анализ преходящих ритмов (λ, μ)
Сомнографические исследования (веретена сна)
Лекция 27.10. ПСОБМД.