Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1
.pdfD 1 2 2 E 1 2 E 1 2 2
E 1 E 1 2 E 2 2 E 1 E 1 2
E 2 E 2 2 2E 1 E 1 2 E 2
D 1 D 2 2E 1 2 1 E 2 2 E 1 E 1 E 2
D 1 D 2 2 E 1 2 E 1 E 2 E 2 E 1 E 1 E 2
D 1 D 2 2 2E 1 E 2 2E 1 E 2 D 1 D 2 .
Теорема доказана.
Примеры (вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин).
|
1). Пусть |
- индикатор некоторого случайного события, |
1 |
0 |
, тогда |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p |
1 p |
|
2 |
1 |
0 |
|
, и мы получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
1 p |
|
|
|
|
E E 2 1 p 0 (1 p) p ,
D E 2 E 2 p p2 p 1 p .
2). Пусть Bi (n, p). Мы можем представить эту случайную величину как сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин1 2 ... n , где i - индикатор того, что в i-м испытании произошел успех.
Тогда мы получаем:
E E 1 E 2 ... E n np .
D D 1 D 2 ... D n np 1 p npq.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
3). Пусть . Тогда, используя разложение экспоненты e |
|
в ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тейлора, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
s! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E k P k k |
|
|
e e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
k 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
k! |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
|
|
|
|
e e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
s 0 |
|
|
s! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
||||||||||
E 2 k2 |
|
e e k |
|
e (s 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 ! |
s! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
k 0 |
|
k! |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
s |
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 s! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
s 1 s 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
s 1 s 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
e e e |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
t 0 |
|
|
t! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D E 2 E 2 2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4). Пусть |
|
|
имеет геометрическое распределение, тогда |
|
|
|
E kqk 1p p kqk 1 p Q q .
k 1 k 1
61
Степенной ряд Q x k xk 1 получается почленным дифференцированием
k 1
из степенного ряда
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P x xk |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k 0 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, при всех x |
таких, что |
|
x |
|
1, имеем: |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
Q x |
dP x |
|
|
d 1 x 1 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dx |
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В итоге получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E p Q q p |
1 |
p |
1 |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 q 2 |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D E 2 E 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E 2 k2qk 1p k2 k qk 1p kqk 1p |
||||||||||||||||||||
k 1 |
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
qp k 1 kqk 2 pQ q qpR q pQ q .
k 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
dQ x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Очевидно, что |
R x k 1 kx |
|
|
|
|
, следовательно, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
1 x |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E 2 qpR q pQ q qp |
2 |
|
1 |
|
2q |
|
1 |
|
1 q |
, |
|
||||||||||||||
1 q 3 |
|
|
p |
p2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p p2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 q |
|
1 |
2 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). Пусть имеется случайная величина, равномерно распределенная на отрезке: U a,b . Тогда
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
b a |
|
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E xp x dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b a |
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
b2 a2 |
|
|
|
a b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
3 |
|
b |
|
1 |
|
|
|
b |
3 |
|
a |
3 |
|
|
a |
2 |
ab b |
2 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
E 2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
a |
b a |
|
|
b a 3 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
D E |
2 |
|
E |
|
2 |
|
|
a2 ab b2 |
|
a b 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 2ab b2 |
|
|
|
b a 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
6). Пусть дана нормально распределенная случайная величина N , 2 .
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
e |
(x )2 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
E xp x dx x |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
xe |
|
(x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 2 d x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сделаем замену |
x |
|
t. В этом случае |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
1 |
|
|
t2 |
||||||||||
E |
|
|
t e |
|
dt |
|
|
|
|
te |
|
dt |
|
|
e |
|
dt . |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя то, что первый интеграл - от нечетной функции в симметричных пределах, а под знаком второго стоит плотность стандартного нормального закона, получаем, что E 0 1 .
Используя опять замену x t , находим
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E 2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
2 t |
|
2 |
e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 dt |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
e |
t2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t2 |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
dt |
|
|
te |
|
dt |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t2e |
|
dt . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t2 |
|
|
|
t2e |
2 dt |
||||
|
|
|
|
|||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Используя формулу интегрирования по частям, находим
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 dt |
t |
e |
|
|
2 ( t)dt |
|
|
td e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
te |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dt 0 |
|
|
|
|
e |
|
dt |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда E 2 2 |
|
2 |
|
|
|
2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D E 2 E 2 2 2 2 2 . |
|
N , 2 можно прочитать как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из |
примера |
6 |
|
|
|
следует, |
|
|
что |
запись |
|
||||||||||||||||||||||||||||
«случайная величина |
распределена по нормальному знаку с математическим |
ожиданием (средним) и дисперсией 2 ».
7). Пусть Exp( ). Тогда, |
используя формулу интегрирования по частям, |
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
E |
xp (x)dx |
x e x dx x( e x dx) xde x |
|
|
0 |
0 |
0 |
63
xe |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
dx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
E 2 x2 e x dx x2de x |
|
0 |
2xe x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 xe x dx |
x e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D E |
2 |
|
E |
2 |
|
|
2 |
|
1 2 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (неравенство Чебышева). Пусть дано вероятностное пространство ( ,A,P), - неотрицательная случайная величина. Тогда
для любого 0 верно неравенство P E .
Доказательство. Рассмотрим две индикаторные случайные величины - I и I . Очевидно, что для любого
I I 1,
где знак означает тождественное равенство. Очевидна следующая цепочка неравенств:
1 I I I I
I I .
Следовательно, по свойствам математического ожидания
E E I E I P ,
E P
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Следствие к данной теореме докажите самостоятельно.
Следствие. Для любой случайной величины , заданной на произвольном вероятностном пространстве ( ,A,P) верны следующие неравенства
1. P E ,
2.P P 2 2 2 E 2 ,
3.(классическая форма неравенства Чебышева) Для любой случайной
величины, дисперсия которой определена, верно неравенство
D P E .
2
Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин
Определение. Ковариацией двух случайных величин и называется величина
cov , E E E E E E .
64
Докажите самостоятельно, что для любых случайных величин и верно равенство:
D D D 2cov , .
Покажите, что если случайные величины 1 и 2 независимы, то cov( 1, 2) 0.
Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и с
конечной дисперсией называется величина
, |
cov , |
|
|
E |
E E |
|
E |
E E |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
D D |
|
|
D D |
|
|
D D |
Полезно знать, что операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется её центрированием, а процесс деления на корень из дисперсии – нормированием. Это связано с тем, что после того как над любой случайной величиной проделать обе эти операции, то получим величину со средним 0 и дисперсией 1. Проверьте это самостоятельно.
Теорема (о свойствах коэффициента корреляции). Для произвольных случайных величин и с ненулевой дисперсией верно:
1.если и независимы, то , 0;
2.для любых вещественных a и b верно равенство
a, b , ;
3., 1.
Доказательство. Первое свойство, очевидно, получается из свойств математического ожидания.
Для доказательства второго свойства достаточно произвести следующие преобразования:
cov a, b E a E a b E b
E E E cov , .
Согласно свойствам дисперсии D a D , D b D . Следовательно,
a, b |
|
cov a, b |
|
cov , |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D a D b |
|
|
D D |
|
Для доказательства третьего свойства используем неравенство КошиБуняковского:
, |
2 |
E E E 2 |
|
E |
|
E E |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
D D |
|
|
|
|
|
D D |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E E 2 E E 2 |
|
|
D D |
1. |
||||
D D |
|
|
|
||||||
|
|
D D |
|||||||
Следовательно, , 2 |
1 и |
|
, |
|
1. |
||||
|
|
Теорема доказана. Следствие (без доказательства). Модуль коэффициента корреляции двух случайных величин и равен 1 тогда и только тогда, когда существуют
вещественные числа a 0 и c такие, что P a c 1.
65
При этом константа a и , имеют одинаковый знак, т.е. если a 0,
то , 1, а если a 0, то , 1.
Определение. Если , 0, то случайные величины и называются
некоррелированными.
Все независимые случайные величины согласно первому пункту предыдущей теоремы некоррелированы, но не все некоррелированные величины независимы. Это доказывает следующий пример.
Пример. Пусть дана следующая случайная величина. |
1 |
0 |
1 |
||
|
1/3 |
. |
|||
Очевидно, что E 0, D 0 (покажите это самостоятельно). |
1/3 |
1/3 |
|||
|
|
|
|||
0 |
1 |
|
|
|
|
Пусть 2 . Тогда |
2/3 |
. Покажите, что D 0. |
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
Так как 3 , то E 0, следовательно,
, E E E 0.
D D
Мы получили, что величины и некоррелированны. Докажите, что они не являются независимыми.
66
Характеристические функции случайных величин
Теперь рассмотрим случайную величину с комплексными значениями
|
i , |
|
|
||||||||
где , |
- вещественные случайные |
величины, заданные на одном |
|||||||||
вероятностном пространстве ( ,A,P), i - |
мнимая единица i2 1 , |
: , |
|||||||||
при этом E |
|
|
|
, E |
|
|
|
. По определению будем считать, что |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
E E iE . |
|
|
Пусть - вещественная случайная величина. Тогда используя формулу Эйлера eix cosx isinx, мы можем образовать комплекснозначную случайную величину:
(t) cost isint eit .
Определение. Характеристической функцией случайной величины
называется комплекснозначная функция, t : для любого t равная
|
|
t |
E cos t iE sin t Eeit . |
|
||
|
Если |
|
- |
случайная |
величина дискретного |
типа с распределением |
|
xi |
|
|
|
|
|
P x |
,i , то |
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
t |
eitxi P xi . |
|
|
||
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
Если |
- случайная величина абсолютно непрерывного типа с плотностью |
||||
p (x), то |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t eitx p (x)dx . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (о |
свойствах |
характеристической |
функции). Пусть - |
произвольная случайная величина с характеристической функцией t . Тогда
1.0 1;
2.| t | 1 для любого вещественного t;
3.если a b при произвольных a,b , то
t eitb at ;
4.характеристическая функция равномерно непрерывна на , т. е. 0
0 |
такое, что t |
,t |
2 |
:|t |
t |
2 |
| |
выполняется |
|
t |
|
t |
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
5. |
если E |
|
n |
|
, |
то для любого k n существует |
|
k t |
dk t |
, и при |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dxk |
|||||||||||||||||||
этом k 0 ik |
|
E k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
если случайные величины |
и независимы, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t t t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
Первое |
свойство |
следует |
|
|
из |
|
определения |
||||||||||||
характеристической функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 E cos 0 iE sin 0 E1 iE0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе свойство докажем для дискретного случая:
t eitxi P xi eitxi P xi
(i) |
(i) |
P xi 1.
(i)
Эта цепочка равенств следует из свойств комплексных чисел:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ib |
|
a2 b2 , |
eitxi |
|
cos tx |
isin tx |
|
|
cos2 tx |
sin2 tx |
1. |
||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства третьего свойства используем определение характеристической функции и свойства математического ожидания:
t Eeit a b Eei at eitb eitb Eei at eitb at .
Четвертое и пятое свойства оставим без доказательства.
Для доказательства шестого свойства используем тригонометрические преобразования и свойства математических ожиданий функций от случайных величин:
t Eeit Ecost iEsint
E cost cost sint sint iE sint cost cost sint
Ecost Ecost Esint Esint iEsint Ecost
iEcost Esint Ecost Ecost iEsint
iEsint |
|
Ecost iEsint |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Ecost |
t |
|
Esint |
t |
|
||||
Ecost iEsint |
t t |
t . |
|
|
|
|
Теорема доказана.
С помощью принципа математической индукции свойство 6 обобщается на любое конечное количество случайных величин.
Теперь для конкретных дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин рассмотрим примеры вычисления их характеристических функций.
Примеры.
1) Пусть |
- индикатор некоторого случайного события, |
|
1 |
0 |
|
, тогда, и |
|
|
q |
|
|||
|
|
p |
|
|
мы получаем:
t eit1 P 1 eit 0 P 0 peit q.
2) Пусть Bi (n, p). Мы можем представить эту случайную величину в виде
суммы |
|
независимых |
|
и |
одинаково распределенных случайных величин |
||||||
|
|
2 |
... |
n |
, где |
|
i |
|
1 |
0 |
- индикатор того, что в i-м испытании |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q |
|
произошел успех, тогда:
n
t i t peit q n .
i1
3)Пусть . Тогда, используя разложение в ряд Тейлора экспоненты
комплекснозначного аргумента ez zk , получаем
k 0 k!
68
|
|
|
k |
|
|
eit k |
|
|
|
it |
it |
|
||
t |
|
eitk |
|
e |
e |
|
|
e e e |
|
e (e 1) . |
|
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
k! |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k 0 |
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) Пусть имеет геометрическое распределение, тогда |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pe |
it |
|
|
|
|
t eitkqk 1p peit qeit k 1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
it |
|
|
|||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
1 qe |
|
|
|
|
||
5) Пусть дана нормально распределенная случайная величина |
со средним |
|||||||||||||
и дисперсией |
2 . |
Рассмотрим |
вместо |
случайной величины |
N( , 2) |
величину 1 2 .
Из свойств плотности при линейных преобразованиях случайных величин следует, что 1 N(0,1), и
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
x2 2itx (it)2 |
|
(it)2 |
|
||||||||||||||||
1 t eitx |
|
|
|
|
e |
|
dx |
|
|
e |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
e |
|
t2 |
|
|
|
|
|
(x 2it)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
e |
2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сделаем замену z x 2it , |
|
dx dz , тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 t e |
|
|
|
|
|
e |
|
dz e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как 1 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
t e |
|
|
|
|
|
|
at e |
|
|
|
|
|
2t2 |
|
it |
2t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
it |
it |
e 2 |
|
|
|
e |
|
2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула обращения и теорема непрерывности
Теорема (формула обращения - без доказательства). Для любой случайной величины с характеристической функцией t и для любых вещественных
х1 и х2 , являющихся точками непрерывности функции распределения F (x) ,
верно равенство:
F |
x |
|
F |
x |
|
|
1 |
lim |
A |
e itx1 e itx2 |
|
|
|
(t)dt . |
2 |
|
it |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
A |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Следствие. Если t - абсолютно интегрируема, т.е. если существует
конечный интеграл t dt < + , то случайная величина имеет плотность
|
|
|
|
||
p x такую, что |
1 |
|
itx |
||
p x |
|
e |
t dt. |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
Как следствие из формулы обращения мы получаем теорему единственности. Теорема единственности состоит в том, что соответствие между функциями распределения случайных величин и их
характеристическими функциями является взаимно однозначным. Содержательная часть теоремы, т.е. смысл теоремы единственности, состоит в
69
том, что по характеристической функции t мы можем однозначно определить функцию распределения F x , и наоборот.
Теорема (непрерывности – без доказательства). Пусть дана
последовательность |
случайных |
величин i,i |
с |
характеристическими |
|
функциями i t и функциями распределения F i x . |
При этом существует |
||||
предел lim |
t t , |
и функция |
t непрерывна |
в точке t 0. Тогда t |
|
n |
n |
|
|
|
|
является характеристической функцей, которой по теореме единственности будет соответствовать единственная функция распределения F x . При
этом limF |
x F x для всех x , в которых F x непрерывна. |
|
||
n |
|
n |
|
|
Теперь рассмотрим конкретные |
|
|||
Примеры применения теоремы единственности. |
|
|||
1). Пусть даны две независимые случайные величины 1 |
и 2 такие, что |
|||
1 1 , |
2 2 . Тогда |
|
||
t e 1 eit 1 и |
t e 2 eit 1 . |
|
||
1 |
|
|
2 |
|
Из свойств характеристической функции следует, что
1 2 t 1 t 2 t e 1 eit 1 e 2 eit 1 e 1 2 eit 1 ,
где e 1 2 eit 1 - характеристическая функция случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром 1 2 .
Отсюда по теореме единственности 1 2 1 2 , т.е. с использованием
теоремы единственности и свойств характеристических функций можно доказать факт, который мы доказали ранее, используя формулу свертки.
2). Пусть даны две независимые случайные величины 1 |
и 2 такие, что |
||||||
1 N( 1, 12), |
2 N( 2, 22). Тогда |
|
|||||
it |
12t2 |
, |
it |
|
22t2 |
|
|
t e 1 |
2 |
t e 2 |
2 , |
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Из свойств характеристической функции аналогично предыдущему примеру получаем, что
|
|
t eit 1 2 |
12 22 t2 |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
12 22 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
e |
it 1 2 |
- |
характеристическая функция |
случайной |
величины, |
|||||||
|
|
||||||||||||
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
распределенной по нормальному закону со средним |
2 |
и дисперсией 2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
.
Отсюда, по теореме единственности следует, что сумма случайных величин, распределенных по нормальному закону, распределена нормально со средним, равным сумме средних, и дисперсией, равной сумме дисперсий. Это верно для любой суммы конечного числа таких величин.
70