Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Анализ Случайных Процессов

Файл:

1 x1...xm ..

x1..xmxm 1..xn dxm 1..dxn

1 x1...xm ..

x1..xmxm 1..xn dxm 1..dxn

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пусть n

n n ,

n , - возрастающая последовательность событий и

n . По следствию к теореме непрерывности

n 1

1 lim P n limP n

n n

lim n n lim F

n F n b а .

Так как 0 F x 1,

то 0 а 1 и

0 b 1.

Теперь,

учитывая равенство b а 1, получаем, что а 0, и b 1.

4.Для

любого

вещественного

рассмотрим

возрастающую

последовательность x

... x

n 1

...

x такую, что

limx

x .

Пусть

Bn : xn ,

n ,

- последовательность событий. Легко

видеть, что

B1 B2 ... Bn

.... Следовательно,

мы опять попадаем в условия

теоремы непрерывности.

n n

0 ,

limB

B :

n 1

lim B ,

n 1

x0 : x0 lim Bn

lim : xn lim F xn

lim F x .

x x0 0

Так как это выполняется для любой возрастающей последовательности xn , сходящейся к x0 , то существует предел слева (мы применили определение предела по Гейне).

Теорема доказана.

Утверждение. lim F x F x0 x0

x x0 0

Доказательство: Рассмотрим убывающую последовательность событий

			1	, n .
Сn	x0	x0
Сn	x0	x0	n
			n

С1 C2 ... Cn ... x0 ,

Так как x0 Cn , то, по теореме непрерывности,

r 1

x lim C

lim

n 0

lim

x x0 0

Утверждение доказано.

Свойства функции распределения F x позволяют построить ее график:

В каждой точке разрыва x0 функция распределения				F x	имеет разрыв
первого рода.	Значение функцииF x	в точке x0 разрыва			равно пределу
функции F x	при x, стремящемся к точке x0		слева.
Функция распределения F x имеет		не	более чем	счетное число точек
разрыва (конечное либо счетное).

Случайные величины дискретного типа Определение. Если случайная величина принимает конечное либо

счетное число значений, то функцию F x называют функцией распределения дискретного типа, а случайную величину называют случайной величиной дискретного типа.

Рассмотрим случайную величину дискретного типа . Ее возможное

значение обозначим через xk , k 1,2,... так, что	pk P xk ,	k 1,2,...,	pk	1,
			(k)

pk 0. Распределение такой случайной величины изображают в виде таблицы,

называемой таблицей распределения:

x1	x2		...	xn		...	xi
p	p	2	...	p	n	...	или p	i .
1		2			n		i

В верхней части таблицы перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке соответствующие вероятности этих значений.

Функция распределения случайной величины дискретного типа имеет вид:

F x P x pk

k:xk x

Примеры основных случайных величин дискретного типа:

1) Вырожденное распределение.

Пусть

всегда

равно a :

P a 1, тогда функция

распределения

этой

случайной величины равна

x a

F x

x a

2) Распределение Бернулли.

Пусть

принимает значение x1 с вероятностью p и x2

с вероятностью

1 p ,

тогда, если x1 x2 , то

x x1

F x p,x x x

x x2

3) Биноминальное распределение.

Пусть - число успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха p

при n

испытаниях.

Тогда случайная величина

может принимать значения

k из

множества 0,1,2,...n

, и P k Cnk pk 1 p n k .

0,n

n, p -параметры биномиального распределения.

Если

имеет биноминальное распределение с параметрами n и p ,

то это

обозначается как i n, p или, реже, n, p .

4) Геометрическое распределение.

Пусть

- число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли с

вероятностью успеха p .

P n qn 1p, n .

5) Говорят, что

имеет распределение Пуассона с параметром 0, если

принимает значения 0,1,2,…,

т. е. 0

, и P k

e для всех k 0 .

Обозначение: P0 - или .

В четвертом и пятом примерах случайная величина принимает счетное количество значений, а в первых трех – конечное.

Абсолютно непрерывные распределения

Определение. Функцию F x называют абсолютно непрерывной, а

соответствующую случайную величину называют случайной величиной абсолютно непрерывного типа, если существует неотрицательная функция p x такая, что

F x p z dz .

При этом функцию p x называют плотностью распределения случайной величины .

Утверждение (о свойствах плотности p x ). Для любой абсолютно непрерывной случайной величины верны свойства:

p x 0

для любого x ,

p x dx 1,

dF x

p x

, где х – точка непрерывности F x ,

а,b

P а,b P а,b P а,b .

Следствие. Для любой абсолютно непрерывной случайной величины и для любого a верно равенство

P a 0.

Докажите это утверждение и следствие самостоятельно.

Примеры основных случайных величин абсолютно непрерывного типа.

1) Равномерное на отрезке а,b					распределение, где а b.
У данного распределения плотность имеет вид:
	1	,	x а,b
				,

p x b а			x а,b
	0,

а функция распределения –

F x

	0,		х а
	х a
	х a
p z dz		,	а x b.
p z dz		,	а x b.
b а			х b
	1,		х b

а и b - параметры распределения. Обозначение: U a,b или, реже, R a,b .

2) Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром 0.

	х		х 0 ,
p x e ,
	0,		х 0
	0,		х 0	.
F x		x	, х 0
1 e
Обозначение:			Exp( ).

3) Нормальное распределение с параметрами и 2 0.

p x	1	e	x 2	,
			2 2

2 2

F x 1		2	x			z 2
F x 1		2	e			2 2		dz.


	2
Обозначение: , 2 .
Если 0,			2			1,			то 0,1 называется стандартным нормальным
распределением с плотностью
x p x					1		e		x2
										.
									2

					2
					2
Соответствующая функция распределения обозначается как
				1			x				y2
x F x							e					dy .
											2


					2

В интегральной теореме Муавра-Лапласа:

					p		b	x dx b a .
lim					p	m		x dx b a .
n						m
	а	m	np	b			а
	а			b			а
			npq

Нормальное распределение еще известно как гауссовское. Вместе с портретом великого немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855) плотность этого распределения была изображена в конце XX века на 10 западногерманских марках.

4) Распределение Коши с параметром 0.

p x

x2 2

F x

z2 2

z 2

	z
d

		x
			1	1								1			1		x	.
			1	1				dz				1			1	arctg	x
			z	2				dz				2				arctg
			z		1							2
Если			1,						то				это			стандартное распределение			Коши с плотностью
p x			1			.
p x	x2 1					.
5) 2			(читается как хи-квадрат) распределение с n																степенями свободы, где
n - параметр.								0,						x 0
								0,						x 0
						n	1			x
						n	1			x
p x x2									e 2				,	x 0,

											n
					n						n
					n
									2		2
									2		2
					2

где x zx 1e zdz.

Обозначение: 2n .

6) распределение Стьюдента с n степенями свободы, где n - параметр.

1... n ,

	n 1
				1		1
			2
p x			2						;
								n 1
		n		n				n 1
		n
					1	x2	2
						x2	2
			2
			2			2
						2

Обозначение: stn .

Если n 1, то из распределения Стьюдента получится стандартное распределение Коши.

Случайные векторы и их распределения

Определение. Упорядоченный набор из n случайных величин

заданных на одном вероятностном пространстве ,A, ,

называют n – мерным

случайным вектором или n – мерной случайной величиной.

Обозначение:

1 2... n ,

: n .

Определение. Функцией распределения случайного

вектора

1... n

называют функцию многих вещественных переменных

: n такую,

что для любых

х1...хn n верно равенство

F x F x1...xn P 1 x1, 2 x2,..., n xn .

Эту функцию еще называют совместной функцией распределения случайных

величин 1... n .

Определение. Пусть дан случайный вектор

1... n ,

натуральное число

m ,

такое, что 1 m n, набор чисел

1 i1

... im n.

Рассмотрим вектор

... im . Функцию распределения F

xi ...xi

вектора

i1... im называют

частной функцией распределения подвектора

или частным распределением

случайных величин i

... i .

По частным распределениям, вообще говоря, нельзя восстановить совместное распределение, а наоборот – можно.

Теорема (о свойствах функции F x ). Для любого случайного вектора

1... n

и для любого k 1,n верно

lim

x1...xn 0,

x1...xn F ...

x1...xk 1xk...xn ,

lim

F ...

k 1

...

k 1

x1...xn 1.

lim F

...

является неубывающей функцией по

Доказательство.

Заметим,

что F

любой переменной при фиксированных остальных переменных.

Это свойство функции	F	x	вытекает из монотонности вероятностной меры
и следующего включения	событий:

k 1

при x

j 1

j k 1

Рассмотрим последовательность событий:

k 1

j 1

j k 1

при всех m . Имеем:

1 2

... m m 1

... и m .

m 1

По следствию к теореме непрерывности:

0 lim m lim

F ... x1,...,xk 1, m,xk 1...xn

1 n

lim

F ... x1,...,xk 1,xk ,xk 1,...,xn .

1 n

Следовательно, первое свойство доказано.

Для доказательства второго свойства рассмотрим последовательность событий

k 1	n
m j xj k	m j xj ,m 1,2,...
j 1	j k 1

Имеем 1 2 ... m m 1 ... и m j xj .

m 1

j k

По теореме непрерывности:

x ...x

...x

... k 1 k 1 n

k 1

j k

m 1

lim

P m lim F ...

x1,...,xk 1,m,xk 1,...,xn

lim

...

x1,...,xk 1,xk ,xk 1,...,xn .

Второе свойство доказано.

Для доказательства третьего свойства нужно рассмотреть последовательность событий Сm m .

j 1

Имеем С1 C2 C3 ...Cm Cm 1 ... и Cm .

m 1

1 P limP Cm

limF m,m,...m lim F ... x1,x2,...,xn .

x1 1 n

...

Теорема доказана.

Пример. Пусть дан случайный вектор 1 2 с совместной функцией распределения

F x1x2	1 x1 x2		u2 v2
		e	2 dudv.
	2

Из второго пункта предыдущей теоремы следует, что функция распределения подвектора примет вид:

	1									1			x1		u2					v2
	1	x2					1 2			1
F	x	lim			F		x x							e 2		du			e 2 dv
											2


						х1		u2							x1		u2
				2		х1		u2				1			x1		u2	du.
				2		e		2	du			1			e		2
			2					2
												2
												2

Получаем, что 1 имеет функцию распределения стандартного нормального закона. Следовательно,

1 0,1 .

Аналогично показывается, что 2 0,1

Для случайных векторов вводятся понятия случайных векторов дискретного (если они принимает счетное или конечное число значений из n ) и абсолютно непрерывного типа.

Пример. Рассмотрим полиномиальную схему с k исходами при n испытаниях, в которой обозначим через pj вероятность появления исхода с

номером j при одном испытании, pj 1.

j 1

Пусть j - частота исхода с номером j при n испытаниях. Тогда вектор

1.. k имеет полиномиальное распределение, если


P 1 m1,..., k mk		n!	m	m
			p1 1	..pk k ,
	m !..m !
1		k

где mj 0, j 1,n, mj n .

j 1

Определение. Функция F x называется абсолютно непрерывной функцией

распределения случайного вектора

(который также называется абсолютно

непрерывным), если существует

неотрицательная функция p

: n ,

называемая плотностью, такая, что

x1...xn ... p

z1...zn dz1..dzn .

Свойства плотности p x : 1). p x 0 для всех x n ,

2). ... p x dx1..dxn 1.

Пример. Двухмерным нормальным распределением называют распределение абсолютно непрерывного сучайного вектора 1, 2 с плотностью:

p	x1x2				1


			2		2	1 2
			2			1 2
				1
		1			x				2	x			x		2
exp						1	2	1		2	1	1		2	2
exp		2 1		2			2			2	1			2
		2 1					1				1			2

x2 2	2	,
x2 2		,
22

где 1, 2 , 1 1,			1 0,	2 0	- параметры. Параметр называют
коэффициентом корреляции.

Утверждение. Пусть случайный вектор имеет плотность распределения

p x1..xn , тогда подвектор 1 1.. m имеет плотность распределения

Доказательство. Из второго пункта предыдущей теоремы следует, что функция распределения подвектора примет вид:

x1...xm

lim

x1,...,xm,xm 1,...,xn

xm 1

...

m m 1

m 1 n

..x

..dx

p x1..xm dx1..dxm , если обозначить

= ..

x ..x

m 1

..x

m 1

..dx

x1..xm 0.

Очевидно, что p

x1..xm

Следовательно,

по

определению

плотность распределения

вероятностей вектора

Определение. Пусть

Утверждение доказано.

- произвольный вектор с плотностью распределения

x1..xn . Обозначим

1.. m

m 1.. n . Тогда:

x x ..x

условная плотность распределения подвектора 1 при

условии, что

принимает значение

, где

ym 1..yn

По определению будем считать, что

x ..x

x1..xm ym 1..yn

2 y2

..y

Операции над случайными величинами

Утверждение (без доказательства).

Пусть

1.. n -

случайный

n ,

вектор

плотностью

p x1..xn ,

дана

непрерывная

функция

x1..xn :

n . Тогда 1.. n будет случайной величиной и

P 1.. n x p x1..xn dx1..dxn ,

где Dx x1..xn n : x1..xn x

Аналогично, в дискретном случае:


P 1.. n y		P			x	.
		n:		y
	x	n:	x	y

Более подробно рассмотрим случай, когда n 1; т. е. рассмотрим случай преобразования одной случайной величины с функцией распределения F x

и плотностью p x
Утверждение. Пусть ;	где x -	строго возрастающая
непрерывная функция : ,	- произвольная	случайная величина с

функцией распределения F x . Тогда F x F 1 x .

Доказательство. Очевидна следующая цепочка равенств:

F x P x P x

P 1 x F 1 x .

Утверждение. Пусть						Утверждение доказано.
		-	случайная величина, плотность распределения
которой p x ,	: -	строго возрастающая и непрерывная функция с
положительной	производной			d x	0 для	любого x . Тогда случайная
				dx

величина также имеет плотность						p x и справедливо равенство

d 1 x p x p 1 x dx .

Доказательство. Из предыдущего утверждения получаем

F x F 1 x	1 x	p t dt.
F x F 1 x		p t dt.

Сделаем замену переменной в этом интеграле: z t .

Имеем t 1 z . Тогда

x	d	1	z
F x p 1 z	d		z	dz .
F x p 1 z		dz		dz .
		dz
						d	1 z
Отсюда получаем,	что		функция p z p 1		z			является
Отсюда получаем,	что		функция p z p 1		z		dz	является

плотностью распределения случайной вероятности .

Утверждение доказано. Пример. Линейное преобразование случайной величины.

Рассмотрим случайную величину a b, где a и b - некоторые вещественные константы, а - случайная величина с функцией распределения F x и плотностью p x .

F x P x P а b x P a x b .

Пусть a 0. Тогда

F	x P a x в P	x в	F	x в

		a			a

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.202280.71 Кб143tasks_done_v2.docx
#
28.01.2022280.74 Кб254tasks_done_v2.pdf
#
28.01.2022159.38 Кб33Вопросы к экзамену по АСП 2021.pdf
#
28.01.20221.34 Mб202Панков Пособие по АСП.pdf
#
28.01.20221.04 Mб66Панков Пособие по ТВиМС часть 1.pdf
#
28.01.2022730.29 Кб38Панков Пособие по ТВиМС часть 2.pdf
#
28.01.2022668.14 Кб202Панков Практикум по АСП 21.05.pdf