Экзамен 2021 / tasks_done_v2
.docxСвойства (для работы №1)
; - неслучайная величина
Используемые распределения: нормальное, равномерное дискретное, пуассоновское, экспоненциальное, биномиальное
Название
Обозначение
Плотность
Мат. ожидание
Дисперсия
Нормальное
Равномерное дискретное
Пуассоновское
Экспоненциальное
Биномиальное
Для равномерного распределения:
Свойства (для работы №2)
Для пуассоновского потока
Для пуассоновского потока наиболее вероятное k находится с помощью отношения ; отношение сравнивается с 1
Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим ожиданием :
Плотность распределения:
Функция распределения потока Эрланга k-го порядка: ; при ; при
№ 1.11
Рассматривается случайная функция , где U - случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону , - константа. Найти математическое ожидание , дисперсию и корреляционную функцию .
№ 1.12
Рассматривается случайная функция , где U - случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону . Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание , дисперсию , и корреляционную функцию .
при ; при
при ; при
№ 1.13
Рассматривается случайная функция , где U - случайная величина, распределённая по равномерному закону . Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание , дисперсию , и корреляционную функцию .
при ; при
при ; при ; иначе 1
№ 1.14
Рассматривается случайная функция , где U - случайная величина, распределённая по закону . Найти закон распределения сечения этой случайной функции , её математическое ожидание , дисперсию , и корреляционную функцию .
при ; при
при
при
при
№ 1.15
Рассматривается случайная функция , где U - случайная величина, распределённая по равномерному закону . Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание , дисперсию , и корреляционную функцию .
при ; при
при
при
при
№ 1.17 (задание)
Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию случайного процесса . U, V - некоррелированные случайные величины для следующих случаев.
№ 1.17a
,
№ 1.17b
,
№ 1.17c
,
№ 1.17d
,
№ 1.17e
,
№ 1.17f
,
№ 1.17g
,
№ 1.18 (задание)
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса , зависящего от Y и Z, где Y и Z - случайные величины, характеризуемые следующими числовыми характеристиками.
№ 1.18a
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 1.18b
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 1.18c
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 1.18d
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 1.18e
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 1.18f
, , ,
Корреляция между Y и Z равна 0
№ 3.44
В аэропорт прибывает 2 простейших потока самолётов с интенсивностями в среднем 3 и 2.5 самолёта в час. Найти вероятность того, что за полчаса прибудет не более 4-х самолётов объединённого потока. Найти наиболее вероятное число прибывающих самолётов объединённого потока за 3 часа.
;
Наиболее вероятное и
№ 3.45
Устройство состоит из 3 узлов, причём 1 узел в среднем отказывает 1 раз в месяц, 2 узел - 1 раз в полтора месяца, а 3 узел - 1 раз в 2 месяца. Потоки отказов узлов простейшие. Найти вероятности того, что за 1 месяц устройство: а) откажет ровно 1 раз; б) откажет хотя бы 2 раза. Найти наиболее вероятное число отказов за 3 месяца.
; ;
;
а)
б)
Наиболее вероятное и
№ 3.49
Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 5-го порядка с параметром авт/мин. Найти интенсивность данного потока, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке.
Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим ожиданием :
Плотность распределения:
Функция распределения потока Эрланга k-го порядка:
; при
; при
№ 3.50
По шоссе в одном направлении движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями (авт/мин) и (авт/мин). Найти наиболее вероятное число автомобилей объединённого потока за 5 минут, а также вероятность этого числа. Найти вероятность того, что за 6 минут проедет нечётное число автомобилей объединённого потока.
;
Наиболее вероятное и
№ 3.52
Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0.1 отказа в минуту. Найти вероятность того, что: а) за 1 час работы наступит более одного отказа; б) за 2 часа работы не будет ни одного отказа; в) за полчаса будет чётное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов.
а)
б)
в)
Наиболее вероятное и
№ 3.58
Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является простейшим потоком с интенсивностью авт/мин. Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала T* между автомобилями, на который попадает инспектор, его математическое ожидание и дисперсию.
№ 3.64
В аэропорт прибывает простейший поток самолётов, в среднем 2 самолёта за 5 минут. Найти вероятность того, что а) за 10 минут прибудет не менее 3 самолётов; б) за 20 минут прибудет не более 5 самолётов; в) за 5 минут прибудет нечётное число самолётов.
а) ;
б) ;
в) ; (больше 30, уже нет различий)
№ 3.66
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придёт ни одного вызова; б) придёт хотя бы 1 вызов; в) придёт чётное число вызовов.
; ;
а)
б)
в) (больше 30, уже нет различий)
№ 3.73
По шоссе в одном направлении движутся 2 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2,5 и 3,5 машины в минуту соответственно. Найти вероятность того, что за время минут: а) не проедет ни одного автомобиля; б) проедет ровно 6 автомобилей; в) проедет менее 4 автомобилей; г) проедет чётное число автомобилей.