Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

Рассмотрим набор событий Ak , состоящих в том, что при k -м извлечении будет извлечен шар с номером k .

зафиксирован элемент «1», а на оставшихся n 1 местах могут стоять оставшиеся числа в любом порядке.

Для вычисления P A1A2 рассмотрим перестановку, где на первом и втором

месте зафиксированы элементы «1» и «2» соответственно, а на оставшихся n 2 местах могут стоять оставшиеся числа в любом порядке.

Аналогично доказывается, что для любого k 1,n

Рассмотрим разложение по формуле Тейлора функции экспонента:

Следовательно, P A 1 e 1 o 1 0,63;

P A 1 e 1 .

n

Теперь докажем следующую важную теорему, которая понадобится нам в дальнейшем.

Теорема (непрерывности).

21

возрастающая последовательность множеств (докажите это самостоятельно).

Отсюда получаем:

Теорема доказана.

Следствия.

1. ПустьAi A, Ai Ai 1, для всех i , An . Тогда limP An 1.

n 1

n

применить теорему непрерывности.

Отметим, что последовательности An и Bn из формулировки теоремы

вместе называются монотонными, а по отдельности монотонно-возрастающей и монотонно-убывающей соответственно.

22

Тема № 3 Условная вероятность и независимость событий

Рассмотрим случайный эксперимент, состоящий в бросании двух игральных

Рассмотрим события A, заключающееся в том, что на первом кубике выпала

P AB

событие B наступило, называется дробь: P A|B P B .

Условная вероятность обозначается и так: P A/ B .

Ранее упоминалось, что формула включения-исключения называется еще и теоремой о сложении вероятностей. Рассмотрим два равенства.

P P P B | A .

Эти две итоговые формулы часто называют теоремами умножения вероятностей при условии, что P 0 и P 0.

Теорема (об умножении вероятностей). Пусть дано произвольное

P 3 | 1 2 ... P n | 1 2.. n 1 .

Докажите эту теорему самостоятельно.

23

Теперь рассмотрим теорему полной вероятности.

Определение. Пусть ,A,P - произвольное вероятностное пространство,

1... k - случайные события. Если выполнены условия:

1.P i 0 для любых i 1,k ,

2.i j для любых i j,

3.k i

i1

то набор 1... k называют полной группой событий или разбиением пространства элементарных событий .

Теорема (формула полной вероятности). Если 1... k - полная группа событий, то для любого события A верно равенство

k

P P i P A| i .

i 1

Доказательство. Рассмотрим цепочку равенств

Теорема доказана.

Определение полной группы событий и формулу полной вероятности можно легко обобщить для случая, когда событий 1... n...счетное число.

Таким образом,

Равенство

P m | Pk m P | mP i P | i

i 1

называется формулой Байеса.

Пример. Пусть имеются три урны, в первой из которых 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 5 белых и 5 черных, а в третьей – 3 белых и 7 черных. Наудачу выбираем урну, а затем достаем из урны шар – при этом он оказался черным. Какова вероятность того, что этот шар взят из 1,2,3 урны?

Рассмотрим набор из трех событий i , заключающихся в том, что шар

Следовательно, они образуют полную группу событий.

Пусть событие А заключается в том, что был извлечен черный шар. Найдем

1 , 2 и 3 .

1 | 1 2 | 23 | 3 .

Очевидно, что

вероятностями (вероятностями событий из полной группы до проведения эксперимента),

25

вероятностями (вероятностями событий из полной группы после проведения эксперимента)

Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если, т.е. вероятность пересечения событий равна произведению

вероятностей событий.

По теореме о произведении вероятностей

,

если 0 и 0.

Если события А и В – независимы, то и

,

т.е. безусловная вероятность совпадает с условной. Аналогично показывается, что .

1 2.. n 1 2 .. n .

Из независимости в совокупности следует попарная независимость, но обратное утверждение не верно.

Пример (пример Бернштейна). Рассмотрим в качестве эксперимента бросание на плоскость симметричного и однородного тетраэдра (треугольной пирамиды с четырьмя гранями).

Все грани раскрашены: первая грань - в красный, вторая - в зеленый, третья - в желтый цвет, а на четвертой есть все три цвета. Рассмотрим события к заключающееся в том, что выпала грань, содержащая красный цвет, з - содержащая зеленый цвет, ж - содержащая желтый цвет.

Пусть к, з, ж, кжз . Тогда

к к , кжз , ж ж, кжз , з з, кжз .

26

Утверждение. Если события А и В – независимы, то независимы и события

А и В.

Доказательство. \ \

27

Тема № 4 Классические вероятностные схемы и предельные теоремы

Геометрическая вероятность

Еще в самом начале развития теории вероятности была замечена недостаточность классического определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслится бесконечное число исходов.

Общая задача, которая привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим образом:

Пусть имеется, к примеру, на плоскости некоторая область , и в ней содержится другая область . В область наудачу бросается точка, и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область . При этом выражение «точка бросается наудачу в область » употребляется в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области , а вероятность попасть в какую либо часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы. Теперь сформируем более строго.

Пусть n - множество, измеримое по Жордану, т.е. -

мера Жордана множества . При этом 0 mesn .

Нас будут интересовать чаще всего случаи, когда n 1,2,3.

Пусть F (эф готическое) - множество всех подмножеств для которых

что данная функция будет обладать следующими свойствами:

1.0 для всех F;

2.1;

3. (свойство аддитивности) любых

непересекающихся A,B F .

Функция, обладающая этими тремя свойствами, называется конечно-

аддитивной вероятностной мерой, а тройка ,F,P , состоящая из пространства элементарных событий , алгебры F и конечно-аддитивной вероятностной меры P , называется вероятностным пространством в широком смысле.

Самостоятельно докажите, что любая счетно-аддитивная вероятностная функция будет конечно-аддитивной.

28

В зависимости от контекста под словом вероятность может пониматься как конечно-, так и счетно-аддитивная вероятностная меры. Мы рассмотрим конкретные примеры вычисления геометрической вероятности.

Примеры. 1. Два друга договорились о встрече с 12 часов до 13 часов дня. Пришедший первым на место встречи ждет другого в течение 20 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Для решения данной задачи обозначим через х – момент прихода первого друга, а через у – момент прихода второго. Станем изображать х и у как декартовые координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем час. Возможные исходы изобразим точками квадрата со сторонами 1. Тогда

0,1 0,1 .

Для того, что бы встреча состоялась необходимо и достаточно что бы

Пусть A F заключается в том, что встреча состоялась. На рисунке ниже это событие изображено темным цветом.

2. Задача Бюффона.

Пусть плоскость разлинована параллельными прямыми, отстоящими на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длиной 2l (l 0). Нужно найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую.

29

Обозначим через x расстояние от центра иглы до ближайшей параллели и через угол, составляющий иглой с этой параллелью. Величины x и полностью определяют положение иглы.

В этом случае

x, :0 x a,0 0;a 0; .

Получаем, что x и - декартовы координаты на плоскости.

Из геометрических соображений очевидно, что для того, чтобы игла пересекла прямую нужно, чтобы выполнялось условие x l sin .

Пусть А – событие, заключающееся в том, что игла пересекла препятствие:

A x l sin .

2l .

a

Врезультате проведения некоторого эксперимента может наступить или не

наступить некоторое события А. Эксперимент повторим n раз. Через m

обозначим число наступления (m n ). Величина

события или относительной частотой наступления события .

В примере 2 у нас есть вероятность события и m (в силу n

некоторых вероятностных соображений, которые мы рассмотрим позднее в

30