Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Анализ Случайных Процессов

Файл:

Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

законе больших чисел). С помощью этого приближенного равенства мы можем

оценить число «пи» экспериментально. Т. к.	r	m	, то	r n	.
	a	n
				am

В 1850 году математик Вольф 5000 раз бросал иглу и получил 3,1596. Лаззерини в 1901 году 3408 раз бросал иглу. Его оценка - 3,14159 . Гриджеман в 1960 году бросил иглу 2 раза и получил 3,143.

Схема испытаний Бернулли

Пусть у нас имеется случайный эксперимент ,A, .

1 , 2 , A P .

1 p,0 p 1, 2 1 p q.

Обозначим 1 через 1 и назовем успехом, а 2 через 0 и назовем неудачей

(неудачей).

Более сложный случайный эксперимент заключается в повторении этого


случайного эксперимента.							раза): 2,A2, 2
Рассмотрим n 2 (повторяем 2							раза): 2,A2, 2
2	0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ,			A P 2 ,
2	0,0 0 0 q2		0
2	0,1 0 1 qp 0
2	0,1 0 1 qp 0				q	2	pq qp p	2	1
2	1,0 1 0 pq 0				q		pq qp p		1
2	1,0 1 0 pq 0
2 1,1 1 1 p		2	0
2 1,1 1 1 p			0

2,A2, 2 -вероятностная (математическая) модель сложного случайного

эксперимента, состоящего в двух простых повторениях исходного эксперимента.

Повторим эксперимент n-раз:

n	1... n : i 0,1 ,			где i - результат i-го повторения исходного
эксперимента.
... n , A		n	P( ),
n				n

n раз

Рассмотрим элементарное событие ( 1... n) . Обозначим через m число

единиц в : m k .

k 1

Тогда пусть n( ) ( n) pmqn m .

1)n( ) 0 для всех n

2)n( 1... n) 1

( 1... n )

Докажем последнее равенство:

1.. n

m 0

1.. n : i m

Cnm pmqn m p q n 1. m 0

Мы получили вероятностное пространство n,An,Pn -математическую

(вероятностную) модель случайного эксперимента, состоящего в n -кратном повторении исходного эксперимента.

Эту модель и называют схемой независимых испытаний Бернулли или

биноминальной схемой.
Рассмотрим	задачу:	пусть проведено		n испытаний			по схеме	Бернулли.
Буквой обозначим число успехов в n			испытаний. Какова вероятность того,
что m?
P m		pmqn m Cnm pmqn m ,	где m			.
P m		pmqn m Cnm pmqn m ,	где m		0,n	.
1.. n : i m
Равенство P m Cnm pmqn m называется формулой Бернулли.
Примеры: 1.	Пусть	100 раз бросают		правильный			тетраэдр,	{1,2,3,4},

P i 1 , где i 1,4. n

Пусть успех – выпадение грани «3», тогда неудача – выпадение граней «1», «2», «4».

p P 3 1 , 4

q P 1,2,4 P 1 P 2 P 4 1 p 3 . 4

Имеем схему Бернулли. Какова вероятность того, что «3» выпадет 15 раз?

	1		15	3		85	385
P m 15 C15						C15			.

100		4			4	100	2	200

2. По каналу связи передают 500 знаков. вероятность искажения одного знака равно 0,01. Какова вероятность того, что в телеграмме 7 искаженных знаков?

P 7 C7		1	7	x		99	493	C7		99493	.
									1000
500	100				100			500
									10

Какова вероятность того, что число успехов заключено в фиксированных пределах? По формуле Бернулли

			m2					m2
	P m1 m2 P k Cnk pkqn k .
			k m1					k m1
Теперь		обозначим		C		m Cm pmqn m P m . Пусть n – фиксировано.
					n			n
Рассмотрим отношение вероятностей
	C m 1		Cm 1pm 1qn m 1				Cm 1	p
	n		n				n
	C m		Cm pmqn m				Cm
	C m		Cm pmqn m				Cm	q
	n		n				n

m 1 ! n m 1 ! p n m p . n! qq m 1

m! n m !

Нужно найти, когда предыдущая вероятность больше последующей, т.е.

когда	Cn m 1	n m	p	1.
	Cn m	m 1
			q

Легко провести преобразования:

n m p m 1 q 0,

np mp mq q 0, np m p q q 0,

np m q 0.

Если np q m, то следующая вероятность больше предыдущей.

Если np q не целое число, тогда наиболее вероятным числом успехов является число m np q 1. Если np q - целое, то максимума Cn m достигает при m np q и при m np q 1

Пример: Пусть мы 100 раз бросаем несимметричный тетраэдр.

1,2,3,4 ,

P 1 1 , P 2 2 , P 3 3 , P 4 4 . 10 10 10 10

Пусть выпадение грани «3» - успех. Какое количество раз она выпадет с наибольшей вероятностью?

p	3	, q	7	, np q 100		2		7	30 0,7 29,3 .
10		10			10		10
Cn m		максимально при m np q 1 30.

Полиномиальная схема

Имеется случайный эксперимент ,A, .

1, 2,.. r ,

A P ,

k pk 0, k 1,r , pk 1.

k 1

Пусть эксперимент независимо повторяется n – раз. Получаем вероятностное пространство n,An, n , где

n .. n i1.. in ,

An P n ,

i1.. in ik .

k 1

1) i1.. in ik 0,

k 1

2) i1.. in 1.

1.. n

Докажем последнее равенство. Для этого рассмотрим множество из векторовi1.. in таких, что событие 1 повторяется в них m1 раз; 2 m2 и так далее.

Таких цепочек (их число мы считали в полиномиальной теореме)

m1!m2 !..m2 !

i1 .. in

1.. n

m1,m2 ,..,mr 0

повторяется m1 раз

повторяется m раз

mi n

...

i 1

повторяется mr

раз

p1m1 p2m2 ..prmr 1.

mi 0

!m2 !..mr !

m1 .. mr n

Последнее равенство следует из полиномиальной теоремы.

n,An, n

Мы

получили новое вероятностное

пространство

математическую (вероятностностную) модель n – кратного повторения случайного эксперимента с r исходами в каждом при неизменных условиях. Эта модель называется полиномиальной схемой. При r 2 мы получаем биномиальную схему.

Пусть 1 - число исходов 1 в случайном исходе полиномиальной схемы2 - число исходов 2 в случайном исходе полиномиальной схемы

…

r - число исходов r в случайном исходе полиномиальной схемы

1.. r - полиномиальный вектор.

r
Очевидно, что k	n.
k 1
											r
Какова вероятность того, что 1				k1; 2				k2;...; r			kr , если ki n?
		n!									i 1
1 k1; 2 k2;...; r kr		n!				k		k	k	r .
						p 1	p		2 ..p
		k !k	!..k		!	p 1	p		2 ..p
	1 2			r

Данное равенство носит название полиномиальной формулы, частный ее случай – формула Бернулли:

1 k1, 2 k2 n k1

n!	pk1 1 p n k1	Ck1	pk1 qn k1 .
k1! n k1 !	pk1 1 p n k1	Ck1	pk1 qn k1 .
		n

Пример: 24 раза бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что каждая сторона выпадет по 4 раза?

1,2,..6 ,						r=6,			p i		1	для всех i								,
											1								1,6
																			1,6
									i	6
	24 ,									6
	24 ,
24
		4;		4;...;					4	24!		1 4		1 4		..	1 4
		4;	2	4;...;				6	4							..
1			2					6		4!4!..4!
										4!4!..4!			6		6			6
			24! 1 24
							.
			4!		6		.
			4!			6

P m

Теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона

Рассмотрим биноминальную схему с вероятностью успеха p , где 0 p 1. Пусть m - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях успех появился ровно m раз.

Если n и m небольшие, то вычислить P m по формуле Бернулли довольно

просто. Но при больших n вычисление будет крайне трудоемким. Поэтому в таких случаях следует для оценки использовать приближенные

формулы, к которым и относят формулы, следующие из предельных теорем Муавра-Лапласа и Пуассона.

Сформулируем без доказательства полезную формулу.

Утверждение (формула Стерлинга - без доказательства). Для любого

			n		n			n
		n					n
		n					n
натурального n верно, что n!	2 n			e12n , где 0 n 1, или n!		2 n		.
натурального n верно, что n!	2 n			e12n , где 0 n 1, или n!		2 n		.
		e					e

Теперь сформулируем первую предельную теорему.

Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Дана биноминальная схема с вероятностью успеха р такой, что 0 p 1. Пусть m m n - целое число,

зависящее от n, такое, что последовательность

x n

m n

ограниченна

npq

(т. е. существует

c 0:

x n

c для всех

n ).

Рассмотрим событие m ,

заключающееся в том, что произошло ровно m исходов.

Тогда при n стремящемся к бесконечности

P m Cnm pmqn m

x2 n

npq

Доказательство. По формуле Стирлинга

P m

pmqn m

m! n m !

n n

n m

2 n

n m

2 m

n m

np m

2 n

n m

q .

Из определения последовательности x n :

n m

nq x

npq

q, так как

m np x n

npq

np x n

npq

p, так как

n m n np x n npq nq x n npq .

Используя формулу Тейлора

ln 1 x x x2 O x3 ,

получаем

np m

nq n m

n m ln

n m

exp mln

m n

x(n)

exp

np x(n)

npq

x(n)

nq x(n

nqp)ln 1

1 x2 n

exp

np x(n)

npq

3/2

n p 2 n

x n

1 x2 n p

nq x(n nqp)

3/2

q 2 n q

exp p n x n

n q x2 n q

n 1/2

1/2

q n x n

n p x

n p n

x2 n (p q) n 1/2

exp

n x n p

exp 1 x2 n .

Отсюда получаем, что при n , и x n c:

P m

npq

n m

2 n

Теорема доказана.

Получается, что оценка вероятности

P m

верна при

x n

c, т. е. при

m n

b, где a

и b

– некоторые константы.

npq

Отсюда из локальной теоремы (вероятность в точке) мы можем получить интегральную теорему (вероятность промежутка). Для этого рассмотрим

m 1 np x n npq ,

x n m 1 np , npq

x n x n x n 1 , npq

тогда P m

x2 n

x n 1 n 1/2

Сумма вероятностей

x2 n

P m

x n 1 n 1/2

m:a

npq

с точностью до множителя 1 n 1/2 является интегральной суммой для

b	1	e	x2
интеграла				dx.
			2

	2
а

В силу определения определенного интеграла получаем

lim

dx,

m:a

m np

npq

где A m B ;

;

npq

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема (интегральная теорема Муавра – Лапласа). В условиях предыдущей теоремы для любых натуральных и таких, что верно

	B			1	b		x2
lim		P				e		dx,
			m				2
							2
n				2
	m A			2	а

где a np ,b np . npq npq

Еще раз подчеркнем, что интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа предназначаются для приближенного вычисления биноминальных вероятностей, либо их сумм.

Пример. Правильная кость подбрасывается 12000 раз. Какова вероятность того, что выпадение числа «6» будет лежать в пределах от 1800 до 2100?

2100			k		12000 k
	1		5
k
Искомая вероятность равна C12000
		6		10
k 1800

Понятно, что вычисление этой суммы крайне трудоёмко. Если мы воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа, то найдем, что интересующая нас вероятность приближенно вычисляется следующим образом:

n 12000, p 1 , 18000, 2100;

a	1800 2000									2					4,898,
	1800 2000													6

		12000			1			5
					1			5
					6
					6	6
b	2100 2000												2,449,
	2100 2000											6

		12000		1			5
				1			5

					6	6
2100			1			k			5		12000 k					1	2,449		x2
		k	1						5							1
C12000																		e 2 dx .

									10							2 4,898
k 1800			6						10							2 4,898

					1	x	y2
Рассмотрим функцию x						e		dy , тогда
							2

					2
					2
2100			k	12000 k
2100	1		5
k	1		5
C12000
C12000		6
k 1800		6	10

2,449 4,998 0,992.

Численные значения x берутся из таблицы значений этой функции

(функции распределения стандартного нормального закона, с которой мы познакомимся позднее более подробно).

Процесс приближенного вычисления одной функции с помощью другой можно назвать аппроксимацией. Аппроксимация суммы биноминальных вероятностей с помощью функции x , то есть теоремы Муавра-Лапласа, при

значениях р, близких к нулю или единице, может быть «плохой» (то есть дающей большую погрешность) даже при больших значениях n. При этих, «малых» значениях р «хорошую» аппроксимацию для нашей суммы дает так называемая теорема Пуассона.

Рассмотрим биноминальную схему испытаний при n испытаниях. Будем

менять n так, чтобы

n ,

вероятность успеха p p n

будем считать

функцией параметра n.

Теорема (Пуассона).

Пусть в биномиальной схеме при n

стремящемся

к бесконечности

p p n

0; при этом n p n , где 0.

Тогда для любого фиксированного m 0,1,2,...

limP

limCm pm

1 p

n m

e .

Доказательство. Очевидно, что

P m Cnm pm n 1 p n n m

n n 1 .. n m 1

p n

1 p n

1 p

np n n

m 1

... 1

np n

1 p n

Устремим n

к бесконечности:

m 1

lim

... 1

lim

m ,

n p n

lim 1 p n

lim

p n

1 p n

lim

n 1 p n m

Из полученных равенств следует, что

limCnm pm n 1 p n n m		1	m e .

n		m!
			Теорема доказана.
Теорему Пуассона	используют для приближенного вычисления

биноминальных вероятностей, когда значения р малы, а число испытаний n

велико. Обычно, если p n 10,				то для аппроксимации биноминальных
вероятностей		используют	теорему	Пуассона, а	если p n 10, то	теоремы
Муавра – Лапласа.
Обратим		внимание,	что в	предыдущем	рассмотренном	примере
p n 12000	1	2000 10.
p n 12000		2000 10.
6

Пример. Пусть на Московский рынок завезли партию цыплят из 10000 тушек. Известно, что их завезли из области, где 0,05 процентов поголовья больны птичьим гриппом. Найти вероятность того, что в поставке было не более одной опасной для здоровья тушки.

Имеем

n 10000 104 , p 0,05 5 10 4 ,

100

np 5 10.

Следовательно, нужно использовать теорему Пуассона.

P 1 P 0 P 1 50 e 5 51 e 5 0! 1!

6e 5 0,04.

w : w x

w : ,

,A, . Введем

Тема №5 Случайные величины и случайные векторы

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство

понятие, призванное формально определить величины, подлежащие «измерению» в случайных экспериментах.

Определение. Случайной величиной называется функция

заданная на пространстве элементарных событий , принимающая значения ви удовлетворяющая условию, что для любого вещественного х множество

является событием, т.е.

w : w x A.

Пример: Пусть случайный эксперимент состоит в двукратном

подбрасывании монеты: 00,10,01,11 .
Определим случайную величину				с помощью таблицы
		00		10		01	11
Здесь число		0		1		1	2
Здесь число	означает	число	гербов в элементарном исходе.
Другим простейшим		примером			случайной		величиной является
индикатор наступления некоторого				события А A: I A , где

1, .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция F x : , равная

F x P : x P x .

Теорема (о свойствах функции распределения). Для любой случайной величины верно:

1.0 F x 1 для любых x ;

2.F x - неубывающая функция на ;

lim F x 0,

lim F x 1;

x0 непрерывна слева в любой точке x0

, т. е.

lim

F x F x

или

x x 0

0 0: x x0 ,x0

F x F x0

Доказательство:

Свойство 1 следует из определения F x

и свойств вероятностной меры.

Пункт

следует

из

того,

что

если

x1 x2 ,

то

: x1 : x2 и,

следовательно, P x1 P x2 .

Так как F x

неубывающая

и ограниченная функция, то существуют

пределы: lim F

x b,

и lim F x а. Требуется доказать, что b 1

и а 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.202280.71 Кб143tasks_done_v2.docx
#
28.01.2022280.74 Кб255tasks_done_v2.pdf
#
28.01.2022159.38 Кб33Вопросы к экзамену по АСП 2021.pdf
#
28.01.20221.34 Mб205Панков Пособие по АСП.pdf
#
28.01.20221.04 Mб72Панков Пособие по ТВиМС часть 1.pdf
#
28.01.2022730.29 Кб39Панков Пособие по ТВиМС часть 2.pdf
#
28.01.2022668.14 Кб204Панков Практикум по АСП 21.05.pdf