Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Анализ Случайных Процессов

Файл:

Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

При а 0

x в

х в

dF y

p x

x в

х в

Пусть a 0. Тогда

x в

F x P a x в P

1 P

x в

х в

1 P

1 F

х в

1 P

х в

dF x

p x

x в

х в

Объединяя оба этих случая, получаем, что при а 0

p	x	1	p	х в	.

		a		а

получаем, что b. В этом случае случайная величина не имеет плотности распределения, а график её функции распределения имеет вид

0,	x b	.
F x	x b	.
1,	x b

Формула свертки

Нахождение распределения результатов n-арных операций над случайными величинами значительно усложняется с ростом n.

Рассмотрим случай, когда n 2, и простейшую операцию - операцию сложения.

Пусть у нас имеется случайный вектор

1, 2

сплотностью распределения p x1,x2 . Рассмотрим случайную величину

1, 2 1 2

и найдем плотность p y .

Обозначим через

F y P y

функцию распределения случайной величины . Согласно сформулированному нами в начале предыдущей подтемы утверждению

F y		p	x1x2 dx1dx2 .

	Dy x1,x2 2:х1 х2 y

Согласно рисунку, который приведен ниже, видно, что можно перейти от интеграла по области к двойному интегралу следующим образом:

Dy x1,x2 2 :х1 х2 y

x1,x2 2 : х1 ,х2 y x1 .

y x1

1 2

Следовательно, F

x x

Если сделать замену x2

z x1 , то

y x1

F y dx1

x1,z x1 dz

p x1,z x1 dx1 dz.

Обозначим z	p	x1,z x1 dx1 .

Нам известно, что случайная величина имеет плотность p x , если

F x p z dz, и при этом p z 0.

У нас F x z dz. Следовательно, z есть искомая плотность, так как

по свойствам интеграла от непрерывной функции для любого z выполняется, что z 0 .

Формула

p 1 2 y p 1, 2 x1, y x1 dx1

называется формулой свёртки.

Аналогично доказывается, что

p 1 2 y p y x2,x2 dx2 .

Это также формула свёртки.

Проводя похожие рассуждения в дискретном случае, получаем

P y P 1 2 y

P 1 x1; 2 x2

x ,x

x1 x2 y

1 x1, 1 x2

P 1 x1; 2 y x1

P 1 y x2; 2 x2 .

x1: 1 x1

x2: 2 x2

Эти равенства называются формулами свертки для дискретных случайных

величин.

Независимость случайных величин

Определение. Пусть даны случайные величины 1... n , заданные на одном

вероятностном пространстве ,A,P . Они называются независимыми (в

совокупности), если для любых m

и 1 i1

... im ,

для любых событий

2,n

A, j

, выполняется следующее свойство

1,m

P i1

1, i2

2,..., im m

P i1 1 P i2

2 ...P im m .

Так как 1... n

заданы на одном вероятностном пространстве, то мы можем

рассмотреть их как случайный вектор

1... n

с функцией распределения

x1...xn .

Теорема (критерий независимости случайных величин – без

доказательства). Случайные величины

1... n , из которых можно составить

1... n : n ,

независимы тогда и только тогда, когда

случайный вектор

для всех x1...xn n выполняется равенство

x1...xn F1

x1 F2 x2 ...Fn

xn .

Докажите

самостоятельно

необходимость

условия

x1...xn F1

x1 F2

x2 ...Fn

xn .

Теорема. Пусть случайные величины j

имеют плотности распределения

p j

x при

всех

случайный вектор

1... n

имеет

совместную

1,n

плотность

x1...xn .

Тогда

1... n -

независимые случайные величины

тогда и только тогда, когда

x1...xn p 1

x1 ...p n

xn .

Доказательство. Согласно предыдущей теореме получаем, что

z1...zn ...

x1...xn dx1...dx2

z1 ...F

x dx

p x

...

p x ...p

dx ...dx

...

			n
т. е. верно, что p			x1...xn p i	xi	тогда	и только	тогда,	когда
			i 1
F	x1...xn F` x1 F 2 x2 ...Fn xn , если			1... n	имеют	плотности	p 1 ,..., p n ,
								и
								и
имеет плотность p		.

Теорема доказана.

Последняя теорема – это критерий независимости для абсолютно непрерывных случайных величин.

Следствие (формулы свертки для независимых случайных величин). Если

1, 2 - независимые абсолютно непрерывные случайные величины, то

1 2		1 1 2	1	1
	y
p		p x p	y x dx .

Если 1 , 2 - независимые дискретные случайные величины, то

1 2 y 1 x1 2 y x1 .

Примеры. 1). Пусть независимые случайные величины 1 и 2 распределены по закону Пуассона с параметрами 1 и 2 соответственно. Найдем распределение их суммы:

1 2 k 1 i 2 k i .

i 0

Т.к. для любых i k верно, что 2 k i 0, то

1 2 k 1 i 2 k i

				i 0
	i			k i
	1	e	1	2	e	2
	i!	e	1	k i !	e	2
i 0	i!			k i !

	(	)		1	k!	i	k i	1	2	k
e	1 2					1	2				e	1 2	.
e	1 2			k!	k! k i !	1	2		k!		e	1 2	.
			i 0	k!	k! k i !				k!

Это равенство верно	для любых k 0.
Мы получили, что 1	2 1 2 .
2). Пусть 1, 2 -	независимы, 1 Exp( 1),	2 Exp( 2). Это абсолютно

непрерывные случайные величины. Найдем плотность распределения их суммы:

1	2						1	1	2			1	1
1	2	y					1	1	2			1	1
p		y				p x p						y x dx .
												p x1	0								y x1 0, то
Т.к. для любых x1 0												p x1	0			и для любых x1 y				верно, что p	y x1 0, то
												1									2
	2				y				2						y			2 y x1 dx
p		y					x				y x dx					e 1x1 e		2 y x1 dx
1							1 1					1	1			1	2	1
					0										0
									y
					1 2e 2y ex1 2 1 dx1
Если 2			1 , то						0
Если 2			1 , то
	p			y 1 2e 2y						ey 2 1 1				1 2			e 1y e 2y		.
	p			y 1 2e 2y										1 2					.
	1		2									2 1					2 1
	1		2
Если 2 1						, то
																	54

p 1 2 y 1 2e 2 y dy y 2e y .

Примеры показывают нам, что при свертке двух однотипных распределений можно получить как распределение того же типа (как в примере 1), так и распределение другого типа (как в примере 2).

Тема №6 Числовые характеристики случайных величин

Определение. Если -				случайная величина дискретного типа с таблицей
распределения		xi	,i	, то математическим ожиданием случайной
распределения	P x		,i	, то математическим ожиданием случайной
		i

величины называется число

E xi P xi xi P xi .

i 1 i 1

(т.е. сумма значений случайной величины, умноженных на их вероятности).

Здесь предполагается, что ряд абсолютно сходится, т.е. xi P xi .

i 1

Если - случайная величина абсолютно непрерывного типа, то её математическим ожиданием называется значение интеграла

E xp x dx,

при условии, что он абсолютно сходится, т.е. сходится интеграл | x | p x dx.

Обычно используются два основных обозначения для математического ожидания: E и M .

Теорема (о свойствах математического ожидания с доказательством для дискретного пространства элементарных событий).

1.Если пространство элементарных событий Ω конечно, либо счетно, то E P , где P( - вероятность элементарного исхода .

Ω

2.(Свойство линейности). Для любых вещественных a и b , для любых случайных величин и , имеющих математические ожидания E и E соответственно, верно равенство E a b aE bE .

3.Если a b, то a E b.

4.Если - независимы и существуют E и Ey, то E y E Ey.

Доказательство. Докажем свойства по порядку:


1. P(		xi P
Ω	i 1 ( xi

xi	P xi P xi E .
i 1	( xi	i 1

Докажем второе и третье свойства для случая, когда пространство элементарных событий конечно, либо счетно:

2. E a b a b P

a P b P	a P b P aE bE y.

3.Пусть для любого верно, что a b. Тогда

a P P b P ,

Ω

a P P b P ,

Ω Ω Ω

a E b,

так как P 1.

Ω

4. Пусть

даны

дискретные

случайные

величины

таблицами

распределения

i ,i

j ,

соответственно.

Тогда

тоже

P xi

P y j

дискретная случайная величина и

. Имеем

E y zk P zk

P zk

zk P xi, yj

(k)

i,j :x

zk P xi P yj

k i, j :xi yj zk

xi yj P xi P yj

(k) (i,j):xi yj zk

xi yj P xi P y yj xi P xi

(i, j)

(i)

yi P yj E E .

( j)

Теорема доказана.

С помощью принципа математической индукции можно доказать, что свойства 2 и 4 верны для любого натурального количества случайных величин.

Докажите самостоятельно следующее

Следствие.

1.Если , то E .

2.Если , то E E .

3.|E | E| .

Утверждение (неравенство Коши – Буняковского). Для любых случайных величин и , для которых определены математические ожидания, верно неравенство

E 2 E( 2) E( 2)

Доказательство. Докажем для случая дискретных случайных величин. Пусть

	x				и		yj	, j
	i		,i		и			, j	.
P xi
P xi						P yj
Тогда 2			x2				y2j
Тогда 2			i	,i		, а 2			, j .
		P xi
		P xi					P yj

Пусть E 2					0,			E 2 0. Рассмотрим новые случайные величины 1							и


														E
1			. Легко видеть, что


	E
E( )2		E							1	E 1.
									1

	1								E
				E					E
Аналогично показывается, что E 1 2 1.
Так как(							2		0,	то E(			2 0. Рассмотрим
Так как(							2		0,	то E(			2 0. Рассмотрим
				1		1					1	1

E( 1 1 2 E( 1 2 2 1 1 1 2)

E 1 2 E 1 2 2E 1 1 0.

Получаем, что 2E| 1 1 | E 1 2 E 1 2 2. Следовательно, E| 1 1 | 1.

Из того,

что

получаем,

что

E| y|

, или

E E y2

E| y | 2 E E y2 .

Пусть теперь

E 2

или

xi2

P( 2 xi2) 0,

тогда среди

значений,

(i)

принимаемых

случайной

величиной

есть ноль,

P({ }) 1.

Поэтому, если E

то E | y | 0, и неравенство выполняется.

Доказательство проводится аналогично, если E 2 0.

Утверждение доказано.

Математическое ожидание функций от случайных величин

Рассмотрим

некоторую

случайную

величину

случайную

величину

, где x : - некоторая функция.

Требуется вычислить математическое ожидание случайной величины , если известно распределение случайной величины .

Утверждение. Пусть		xi		- случайная	величина дискретного
	P x		,i
		i		E , x -
типа с математическим ожиданием					произвольная функция,

x : . Тогда E xi P xi .

(i)

Доказательство. Ясно, что будет дискретной случайной величиной с распределением

, j .

P yjy

Имеем

E yj P yj yj		P xk
( j)	( j)	{xk: (xk ) yj}

относительно a

(xk )P( xk ).

(k)

Утверждение. Пусть

Утверждение доказано.

- случайная величина абсолютно непрерывного типа

с плотностью

p (x),

x :

- функция, имеющая положительную

производную

d x

0 для всех вещественных x . Тогда

E x p x dx .

d 1 z

Доказательство. Мы уже ранее доказывали, что p ( ) z p 1 z

. Следовательно,

d 1 z

E zp z dz zp

zp 1 z d 1 z .

тогда 1 z 1 x x,

d 1 z dx, и пределы

Делаем замену

z x ,

интегрирования не изменяются. Значит, E x p x dx .

Утверждение доказано.

Моменты и дисперсия случайных величин

Определение. Моментом k-го порядка случайной величины относительно

a называется математическое ожидание случайной величины			a k , если
оно определено.
Если a 0, то момент называется начальным: k E k .
Если a E , то момент называется центральным: k		E E k .
Центральный и начальный моменты однозначно определяют друг друга:
	k
k E E k E Ckm m 1 k m E k m
	m 0
k	k

1 k m Ckm E k m E m 1 k m Ckm 1 k m m .

m 0

Аналогично,

k E k E E E k E Ckm E m E k m

m 0

Ckm E k m E E m Ckm E k m m .

m 0

Определение. Абсолютным моментом k -го порядка случайной величины

называется математическое ожидание случайной величиныak , если оно определено.

Если a 0, то это начальный абсолютный момент: k E| |k .

Если a E , то это центральный абсолютный момент: k E| E |k .

Определение. Дисперсией случайной величины называют её центральный момент второго порядка (или центральный абсолютный момент второго порядка):

D E E 2 E| E |2 2 2 .

Если математическое ожидание, иногда называемое средним значением, характеризует среднее значение случайной величины, полученное в результате случайного эксперимента, то дисперсия характеризует степень «разброса» значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Вычислительные формулы для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин выглядят следующим образом:

D xi E 2 P xi xi2 P xi E 2 ;

(i)	(i)

D x E 2 p x dx x2 p x dx E 2 .

Теорема (о свойствах дисперсии). Пусть - случайная величина, обладающая дисперсией. Тогда

1.D 0.

2.Для любой вещественной константы c верно, что Dc 0.

3.D E 2 E 2 .

4.	Для любой вещественной константы c верно, что D c c2 D ,
D c D .
5.	Если 1 ,	2	- независимые случайные величины с дисперсиями D 1 , D 2 , то

D 1 2 D 1 D 2 .

Доказательство. Первое свойство следует из свойств математического ожидания.

Для доказательства второго достаточно заметить, что Ec c. Тогда

Dc E c Ec 2 E c c 2 E0 0.

Третье свойство получается после очевидных преобразований:

D E E 2 E 2 2 E E 2

E 2 2 E E E 2 E 2 E 2 .

Аналогично доказываем четвертое свойство:

D c E c E c 2 E c cE 2

Ec2 E 2 c2 E E 2 c2 D ;

D c E c E c 2 E c E c 2

E E 2 D .

При доказательстве пятого свойства используем свойства математического ожидания независимых случайных величин:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.202280.71 Кб143tasks_done_v2.docx
#
28.01.2022280.74 Кб254tasks_done_v2.pdf
#
28.01.2022159.38 Кб33Вопросы к экзамену по АСП 2021.pdf
#
28.01.20221.34 Mб202Панков Пособие по АСП.pdf
#
28.01.20221.04 Mб66Панков Пособие по ТВиМС часть 1.pdf
#
28.01.2022730.29 Кб38Панков Пособие по ТВиМС часть 2.pdf
#
28.01.2022668.14 Кб202Панков Практикум по АСП 21.05.pdf