Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

Теорема (принцип первого момента). Пусть

- случайная

величина,

заданная на вероятностном пространстве ,A,P . Тогда для любого

фиксированного x верно:

1. если E x, то P x 0; в частности, если

0 и

E 1, то

P 0 0;

Предположим,

P x 0. Тогда P x 1, то есть x 0 с вероятностью 1.

Но тогда по свойствам математического ожидания E x 0

и E x.

Второе

утверждение

доказывается

тем же методом. Предположим.

P x 0. Тогда, по теореме о непрерывности меры,

1 P x limP An ,

n

1

где n

- неубывающая

последовательность

событий. Тогда

для

A

x

n

некоторого

n

имеем

P A 0.

Если

обозначить

B

x x

1

,

то

n

n

P An P Bn 1,

и I An I Bn

n

всюду за исключением множества точек

меньше x

1

I A

, a второе не меньше xI B

. Отсюда

n

n

n

E

x

1

P A

xP B

x

1

P A

x ,

n

n

n

n

n

что противоречит условию предположения.

Теорема доказана.

Самостоятельно

докажите,

рассматривая случайную величину ,

следующее

Следствие.

Пусть

-

случайная величина, заданная на вероятностном

первого момента заключается в следующем.

Пусть - дискретное (обычно конечное) множество всех объектов,

A -

множество объектов с заданным свойством.

Зададим на равномерную или

классическую вероятностную меру P, и докажем, что вероятность дополнения

меньше

1. Тогда

P A 0 и

A непусто.

Если

является

объединением

A

A

некоторых события Ci , то

P

EI

EI Ci P Ci .

A

A

i

i

Рассмотрим пример применения метода первого момента.

Обозначим через

Bnm g x f1 x ,

f2 x ,..., fm x :Vn Vm

множество

всех

m -мерных

двоичных

функций

от

n

переменных,

x x1,...,xn Vn , Vn

-

множество всех двоичных векторов длины n .

Каждой

булевой функции

f

f

:V

0,1 из B1 однозначно

соответствует

таблица

i

n

n

f

,...,

f

значений, которую можно рассматривать как двоичный вектор

0

1

длины 2n при заданном порядке векторов-аргументов

.

0,...,1

Определение. Функция

f Bn1

зависит существенно от переменной xk ,

если

существуют такие значения 1,..., k 1, k 1,..., n переменных

x1,...,xk 1 ,

xk 1,...,xn ,

что

f 1,..., k 1,0, k 1,..., n f

1,..., k 1,1, k 1,..., n .

Известно,

что вероятностная мера P равномерна на B1 тогда и только тогда,

n

когда случайные величины f , Vn независимы и сбалансированы,

т.е.

принимают значения 0 и 1 на одинаковом числе аргументов.

Теорема.

Для любого n существует функция

f Bn1 , все переменные

которой существенны.

n

Доказательство. Пусть P - равномерная мера

на

Bn1 ,

Ek ,

где

A

k 1

E

k

B1

- события, состоящие из всех f B1 , таких,

что для них переменная x

n

n

k

является фиктивной. Очевидно, что

E1 f 0,x2,...,xn f 1,x2,...,xn x2,...,xn Vn 1

f 0,x2,...,xn f 1,x2,...,xn ,

x2 ,...,xn Vn 1

и в силу независимости случайных величин f , Vn

имеем

P Ek 2 2n 1

для всех k

.

1,n

n

переменных случайно равновероятно выбранной функции f B1

. Обозначим

n

n

2

an E f P Ek

.

2

2n 1

k 1

2.

Биномиальным моментом k-го порядка случайной величины , где

k ,

называется

математическое

ожидание

случайной

величины

СВ

1

( 1)... k 1 , если оно определено:

k!

1

E

k

E

E

( 1)... k 1

.

k!

k

k!

Следует ли отсюда, что

D

n

? В общем случае это не так, но для

n

случая

последовательности

сумм

индикаторов

и

пуассоновского

распределения, т.е. если дана случайная величина ,

такое утверждение

имеет место.

S

D

.

n

n

индикаторов полезна следующая

Лемма. Если x x1

... xn , где xi 0,1 , то верно равенство:

x

xi1...xik .

k

1

k

i

,...,i

1,n

Доказательство. Пусть среди слагаемых

x1,...,xn

ровно т единиц. Обозначим

множество

номеров

единичных слагаемых через J .

Тогда правую часть

равенства можно представить как

J

m

x

1

xi1...xik

.

k

k

k

k

i

,...,i J

n

Лемма доказана.

Следствие (о биномиальном моменте). Если

Sn I Ai , то

i 1

S

n

P Ai1 ...Aik

.

E

k

1

k

i ,...,i

1,n

Из леммы можно вывести, что E Sn k

n k pk

для

Sn Bi n, p , и доказать

фиксированной дробинки в

i-й ящик равна

1

для всех

i

. Обозначим

1,n

N

0

n,N число пустых ящиков

Теорема (Мизес, 1939 г.).

Если при n в схеме серий

N N n так,

что Ne

n

0, то

N

D

0

n,N .

n

Доказательство. Заметим, что lnN

n

ln 0 1 , откуда

n N lnN ln 0 1 NlnN o N2 .

N

N

, где Ai -

Так как 0 n,N I Ai

события,

состоящие в том, что i-я ячейка

i 1

пустая, то по доказанной лемме имеем

E 0 n,N

P Ai1

...Aik

N

N k n

k

k

N

i ,...,i

1,n

1

k

k

N

kn

k

N

n

k

K

k

.

N

1

Ne N

N

Теорема доказана.

Оценка числа (n,2,k) – устойчивых функций

В различных практических приложениях большую роль играют m -мерные

двоичные

(вектор) функции от

n

переменных g f1, f2,..., fm Bnm , где

fi

:Vn

0,1

называются

i–ми

координатными

функциями

для всех i

.

1,m

FIJ

g

1

1 fj1 x ... fj

J

x xi1 ... xi

I

2 x V

n

где I i1

,...,i

, J j1,..., j

,

x x1,...,xn Vn .

I

1,n

J

1,m

k , если

для любых I i1,...,i

таких,

что 1

I

k для всех

I

1,n

J j1,..., j

выполняется FIJ g 0.

J

1,m

Если при этом FJ g 0

для всех J

,

то корреляционно-иммунная

1,m

порядка k

функция

g Bm

называется n,m,k -устойчивой.

n

m m

k n

k n

N n,m,k

2m 1 .

s 1

s i 0 i

i 0 i

Пусть функция

f выбирается случайно и равновероятно из множества B2

n

всех двумерных двоичных

функций от n переменных.

Это эквивалентно

независимому равновероятному выбору ее значений f

из множества V2

значение

функции f как вектор длины 2,

компонентами которого являются

значения

ее координатных двоичных функций

от n переменных.

Тогда

выполняется следующая теорема

k n o

, k 2.

Теорема

(без доказательства). Пусть

n ,

Тогда

n

равномерно

относительно векторов

aIJ ,0

I

k,I

, J

длины

a

1,n

1,2

exp

n 1

J

2

O n

3k 3

2

3m n/2

2

aI

I 1,n,

.

J 1,m

3 n k n

N n,2,k log

/2 N n,1,k

exp ln2

2

2

k

Множество функций,

являющихся

n,2,k -устойчивыми (или эластичными

R n,2,k

P g R n,m,k

Bm

n

k FIJ g 0 P

.

P J,I :0

I

F

0

R n,2,k

n 1

3 n k n

exp ln2

2

2

k

Начертание

Произношение

;

альфа

;

бета

;

гамма

;

дельта

;

эпсилон

;

дзета

;

эта

; ,

тэта

;

йота

;

каппа

;

лямбда

;

мю

;

ню

;

кси

;

омикрон

;

пи

;

ро

;

сигма

;

тау

;

ипсилон

; ,

фи

;

хи

;

пси

;

омега

Оглавление

Введение ............................................................................................................

2

Тема № 1 Элементы теории множеств, комбинаторики и теории меры........

4

Теория множеств............................................................................................

4

Элементы комбинаторики.............................................................................

9

Мера Жордана..............................................................................................

14

Тема № 2 Аксиоматика теории вероятностей и вероятностное

пространство....................................................................................................

17

Тема № 3 Условная вероятность и независимость событий.........................

23

Тема № 4 Классические вероятностные схемы и предельные теоремы ......

28

Геометрическая вероятность.......................................................................

28

Схема испытаний Бернулли ........................................................................

31

Полиномиальная схема................................................................................

33

Теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона .....................................................

35

Тема №5 Случайные величины и случайные векторы..................................

40

Случайные величины дискретного типа.....................................................

42

Абсолютно непрерывные распределения...................................................

43

Случайные векторы и их распределения....................................................

46

Операции над случайными величинами.....................................................

49

Формула свертки..........................................................................................

51

Независимость случайных величин............................................................

53

Тема №6 Числовые характеристики случайных величин.............................

56

Математическое ожидание функций от случайных величин....................

58

Моменты и дисперсия случайных величин................................................

59

Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин..........

64

Тема №7 Характеристические функции случайных величин.......................

67

Формула обращения и теорема непрерывности.........................................

69

Характеристическая функция случайного вектора....................................

71

Тема №8 Двумерное нормальное распределение..........................................

72

Тема №9 Предельные теоремы.......................................................................

74

Виды сходимости.........................................................................................

74

Закон больших чисел...................................................................................

75

Центральная предельная теорема................................................................

76

Локальная предельная теорема для решетчатых распределений..............

78

Тема № 10 Вероятностный метод в приложении к задачам комбинаторики и

теории двоичных функций..............................................................................

81

Метод первого момента...............................................................................

81

Метод моментов...........................................................................................

83

Оценка числа (n,2,k) – устойчивых функций .............................................

85

Литература к I части........................................................................................

87

Приложение - греческий алфавит...................................................................

88

Оглавление.......................................................................................................

89