ИФПМ (ПРИТ) / Учебник

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

А.В. Клюшин

Введение в дискретную математику

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Москва 2014

УДК 519.7(075.8) К52

Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. И.Б. Кожухов; канд. техн. наук П.П. Усов

Клюшин А.В.

К52 Введение в дискретную математику: учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: МИЭТ, 2014.

– 136 с.: ил.

ISBN 978-5-7256-0763-5

Изложены основные понятия и вопросы, относящиеся к дискретной математике:

множества и отображения, бинарные отношения, группы и поля, линейные коды, графы и алгоритмы, начальные понятия математической логики. После большинства параграфов даны задачи, позволяющие углубить понимание предмета.

Для студентов, изучающих дискретную математику.

2

Учебное пособие

Клюшин Александр Викторович

Введение в дискретную математику

Редактор А.В. Тихонова. Технический редактор Л.Г. Лосякова. Корректор Л.Г. Лосякова. Верстка автора.

Подписано в печать с оригинал-макета 10.10.2014. Формат 60 84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 7,89.

Уч.-изд. л. 6,8. Тираж 500 экз. Заказ 52.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

3

Предисловие

Дискретная математика представляет собой область математики, в которой изуча-

ются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предпола-

гающих отделимость составляющих элементов. В отличие от дискретной математики классическая математика занимается преимущественно изучением свойств структур не-

прерывного характера. Эта особенность вытекает из топологии множества действитель-

ных чисел, в котором каждое число обладает системой окрестностей. С помощью тополо-

гии можно определить понятие предела, производной, интеграла и т.д. В дискретной математике топология дискретна, каждая точка обладает окрестностью, состоящей только из этой точки. В этом состоит существенное отличие от непрерывной математики.

Развитие дискретной математики обусловлено развитием компьютерной техники,

необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представ-

ления различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами. Дискретная математика в последнее время стала обязательной составной ча-

стью технического образования. В МИЭТ дискретная математика читается на факультетах МПиТК, ЭКТ, ИТС, ПрИТ.

Настоящее учебное пособие отражает опыт чтения данного курса на факультетах ЭКТ и ИТС, однако его использование возможно и на других факультетах. Для более пол-

ного понимания излагаемого материала желательно, чтобы читатель был знаком с основа-

ми линейной алгебры.

Учебное пособие состоит из четырѐх глав. В главе «Алгебраические системы» рас-

смотрены бинарные отношения и их свойства, понятие группы. Большое внимание уделе-

но группам движений геометрических фигур на плоскости. Представлены группы авто-

морфизмов групп, приведѐн список групп до 10-го порядка. После общих определений кольца и поля описаны свойства конечных полей и способы их построения. Рассмотрено тело кватернионов.

Глава «Элементы теории кодирования» начинается с общих понятий линейных ал-

гебраических кодов, способов кодирования и декодирования. Далее даны коды Хэмминга,

циклические и БЧХ-коды.

В главе «Графы» после основных определений рассмотрены деревья, доказана тео-

рема о равносильных определениях дерева. Приведены некоторые алгоритмы на графах:

метод ветвей и границ и алгоритм Краскала. Изложены вопросы, связанные с фундамен-

тальными циклами и разрезами, использующимися в электротехнике, а также планарные графы, критерии планарности, алгоритм плоской укладки графа.

4

В главе «Элементы математической логики» описана техника, связанная с булевы-

ми функциями, доказан критерий Поста. Законы и свойства булевой алгебры разобраны вместе с примерами и приложениями.

В конце учебного пособия приведѐн список литературы, позволяющий заинтересо-

ванному читателю значительно выйти за пределы программы курса.

Автор выражает благодарность Булаховой Инге Витальевне за большую работу по подготовке рукописи к печати.

5

1.Алгебраические системы

1.1.Множества и отображения

Среди понятий дискретной математики базовыми являются понятия множества и отображения. Эти объекты обычно рассматриваются в начале первого семестра в курсе математического анализа. Однако имеет смысл рассмотреть их здесь более подробно.

«Наивное» определение множества заключается в том, что множество – это сово-

купность объектов произвольной природы. Сами объекты при этом называются элемента-

ми данного множества. Такое определение долгое время не имело никаких возражений.

Примерами множеств являются множество всех людей на планете, множество натураль-

ных чисел, множество студентов данной конкретной группы, множество групп на потоке и т.д. Последние два примера показывают, что само множество может служить элементом какого-то другого множества. Если никаких ограничений нет, то можно даже рассматри-

вать множества, которые являются элементами самих себя. Таким, например, должно быть множество всех множеств. Однако в начале этого века в математической печати ста-

ли появляться различные парадоксы, связанные с множествами и действиями над ними.

Один из наиболее известных – «парадокс Рассела». Он состоит в следующем.

Если допустимо рассматривать множества произвольной природы и, в частности,

такие, которые содержат сами себя в качестве элемента, разобьѐм все множества на два класса. К первому классу отнесѐм те множества, которые не содержат сами себя в качест-

ве элемента. Такие множества назовѐм собственными. К другому классу отнесѐм множе-

ства, которые содержат в качестве элемента сами себя. Их мы назовѐм несобственными.

Далее рассмотрим множество R всех собственных множеств. К какому классу относится само множество R ? Если оно собственное, то должно содержать само себя в качестве элемента, так как по своему определению оно содержит все собственные множества. Но тогда оно будет элементом самого себя, что противоречит определению первого класса собственных множеств. Допустим теперь, что множество R несобственное. Но оно со-

держит только собственные множества, поэтому множество R не является элементом са-

мого себя и, значит, его следует отнести к собственным множествам по определению пер-

вого класса. Опять противоречие.

Всѐ вышесказанное свидетельствует о том, что понятие множества далеко не такое простое, как это может показаться на первый взгляд. В частности, нельзя произвольно об-

разовывать множества, здесь нужны определѐнные правила. В дальнейшем такие правила были созданы, и соответствующая теория получила название теории классов. Мы будем

6

иметь дело в основном с конечными множествами. Несобственных множеств рассматри-

вать не будем, поэтому понятия множества как совокупность объектов для целей нашего курса будет достаточно.

Для числовых множеств будем использовать следующие общепринятые обозначе-

ния:

– множество всех натуральных чисел;

– множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

– множество всех действительных чисел;

– множество всех комплексных чисел.

Будем обозначать множества большими латинскими буквами A, B,..., Z . Элементы этих множеств будем, как правило, обозначать маленькими латинскими буквами a, b,..., z .

Тот факт, что a есть элемент множества A будем записывать с помощью следующего обозначения:

a A .

Задать множество означает описать, из каких элементов оно состоит. Если множе-

ство состоит из конечного, причѐм, небольшого числа элементов, то его часто задают

«списком». Например, запись A 1; 3; 5 означает, что множество A состоит из трѐх эле-

ментов 1, 3 и 5. Иногда для задания множества используется запись типа

A (x, y) 2 x2 y2 1 .

Она означает следующее: запись в фигурной скобке до вертикальной черты указы-

вает, откуда берутся элементы данного множества, а запись после вертикальной черты – какому свойству эти элементы удовлетворяют, т.е. берутся только те элементы, для кото-

рых высказывание после вертикальной черты оказывается верным. В данном примере множество A образуют все точки плоскости ( 2 обозначает множество всех точек плос-

кости), которые удовлетворяют уравнению x2 y2 1 . Другими словами, A – это окруж-

ность единичного радиуса с центром в начале координат. Иногда пишут просто

A (x, y) x2 y2 1 ,

если из контекста ясно, откуда берутся элементы (x, y) .

Определение 1. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству

B , то будем говорить, что множество A вложено в множество B и обозначать

A B .

7

Если A B , но A B , будем говорить, что A – строгое подмножество множест-

ва B .

Определение 2. Пусть имеются два множества A и B . Их объединением будем называть множество, элементами которого являются все элементы множества A и

множества B . Объединение множеств A и B обозначается символом A B .

Определение 3. Пересечением множеств A и B будем называть множество,

элементами которого являются все элементы, принадлежащие A и B одновременно.

Пересечение множеств обозначается символом A B .

Определение 4. Разностью множеств A и B будем называть множество, со-

стоящее из всех тех элементов множества A , которые не принадлежат B . Разность множеств обозначается символом A \ B .

Определение 5. Множество, в котором нет элементов, будем называть пус-

тым и обозначать символом . Считается, что пустое множество является подмно-

жеством любого множества.

Определение 6. В случае если множество A конечно, число его элементов будем обозначать символом A . В случае, когда множество A бесконечно, будем писать A

.

Определение 7. Пусть все рассматриваемые множества содержатся в неко-

тором одном множестве X , которое будем называть универсальным, и A X – одно из них. Тогда множество X \ A будем называть дополнением множества A и обозначать символом A .

Например, если рассматриваются множества на плоскости, то роль X будет играть вся плоскость, а множество A будет состоять из всех точек плоскости, не принадлежащих

A .

Определение 8. Пусть имеются два множества A и B . Их декартовым произ-

ведением будем называть множество A B , элементами которого являются пары (a, b) ,

где a A, b B . Если имеется n множеств A1, A2 ,..., An , то аналогично можно образовать их декартово произведение

A1 ... An (a1,..., an ) ai Ai ; i 1,..., n .

Если множества A и B конечны, то A B A B . Аналогично, если множества A1,..., An конечны, то A1 ... An A1 ... An .

Например, если множество A x, y , а множество B 1, 2, 3 , то множество A B

состоит из 6 элементов: (x;1) , (x; 2) , (x; 3) , ( y;1) , ( y; 2) , ( y; 3) .

8

Определение 9. Пусть имеются два множества A и B . Если каждому элемен-

ту a A поставлен в соответствие какой-то элемент b B , то говорят, что задано отображение f из множества A в множество B . Этот факт обозначается следую-

щим образом:

f : A B .

Если элементу a A поставлен в соответствие элемент b B , то b называют

образом элемента a и обозначают символом f (a) . Элемент a при этом называют про-

образом элемента b .

Каждый элемент при отображении f имеет ровно один образ, в то время как эле-

мент множества B может иметь несколько прообразов. Множество прообразов может

быть также и пустым.

Задать отображение означает, во-первых, указать множества A и B и, во-вторых,

каким-то образом определить элемент f (a) для каждого элемента a A .

Приведѐм некоторые примеры отображений.

9

Пример 3. f : A B, A a, b, c, d , B , , .

a

α

b

β

c

γ

d

Определение 10. Отображение f : A B называется взаимно однозначным, ес-

ли

1) образы различных элементов из множества A различны, т.е. если a1 a2 , то и

f(a1) f (a2 ) ;

2)для любого элемента b B найдѐтся элемент a A такой, что f (a) b .

Отображение f из примера 2 удовлетворяет условию 1), однако не удовлетворяет

условию 2). Отображение f из примера 3, напротив, удовлетворяет условию 2), но не

удовлетворяет условию 1).

Если множества A и B конечны и существует взаимно однозначное отображение f : A B, то отсюда, очевидно, следует, что количество элементов в множествах A и B

одно и то же. Для бесконечных множеств, однако, взаимно однозначное отображение

Отображение gf будем называть суперпозицией отображений f и g .

Как следует из определения, суперпозиция двух отображений всегда действует справа налево, т.е. чтобы найти (gf )(x) , нужно сначала к элементу x применить отобра-

жение f , а потом g .

10