ИФПМ (ПРИТ) / Учебник

своих примарных компонент. Поскольку 360 23 32 5 , то

360 8 9 5 .

Для того чтобы разложить абелеву группу

n1 ... nm

впрямую сумму примарных циклических групп, нужно разложить каждое слагае-

мое этой группы.

Пример 3. Разложим группу

756 2250 105

в прямую сумму примарных циклических групп. Поскольку 756 22 33 7 ,

2250 2 32 53 , 105 3 5 7 , то

756 4 27 7 ,

2250 2 9 125 ,

105 3 5 7 .

Поэтому

756 2250 105 2 3 4 5 7 7 9 27 125 .

Пример 4. Определим, изоморфны ли группы 15 225 и 75 45 . Поскольку 15 3 5 , 225 9 25 , то

15 225 3 5 9 25 .

Далее, 75 3 25 , 45 5 9 . Поэтому

75 45 3 25 5 9 .

Поскольку разложения совпадают с точностью до перестановки слагаемых, группы изоморфны.

Пример 5. Определим, изоморфны ли группы 9 225 и 15 135 . Находим разложение каждой группы в прямую сумму примарных циклических групп:

9 225 9 9 25 ,15 135 3 5 5 27 .

Примарные циклические группы не совпадают, группы неизоморфны.

Число неизоморфных абелевых групп порядка pn равно числу p(n) разбиений чис-

ла n в сумму нескольких (возможно, одного) натуральных чисел

n n1 n2 ... nr , где 1 n1 n2 ... nr , 1 r n .

31

2 2 2 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1, то p(6) 11. Поэтому сущест-

вует 11 неизоморфных абелевых групп порядка 64.

Пример 7. Найдѐм число неизоморфных абелевых групп порядка 864. 864 33 25 .

Так как p(3) 3, p(5) 7 , то абелевых групп порядка 864 существует 3 7 21.

Задачи

Разложите в прямую сумму примарных циклических групп следующие группы:

1.6 .

2.12 .

3.60 .

Сколько существует неизоморфных абелевых групп порядка:

4.36?

5.100?

6.64?

Выясните, изоморфны ли следующие группы:

7.6 36 и 12 18 ?

8.6 36 и 9 24 ?

9.6 10 10 и 60 10 ?

1.8.Конечные группы до 10-го порядка

Перечислим все конечные группы до 10-го порядка включительно с точностью до изоморфизма.

G 1. Существует одна группа порядка 1, состоящая из одной единицы e . Есте-

ственно, она абелева.

G 2 . Существует одна абелева группа порядка 2 – это 2 .

32

G 3. Существует одна абелева группа порядка 3 – это 3 .

G 4 . Здесь существуют две группы – это 4 и 2 2 . Обе они абелевы.

G 5 . Существует одна абелева группа порядка 5 – это 5 .

G 6 . Здесь существуют две группы, одна из них абелева – это 6 , другая – не-

G10 . Существуют две группы порядка 10. Одна из них абелева. Это 10 . Другая

–неабелева. Это D5 – группа движений правильного пятиугольника.

Задачи

1.Докажите, что всякая циклическая группа является абелевой.

2.Докажите, что любая конечная группа простого порядка p изоморфна p –

группе вычетов по модулю p .

3.Докажите, что если в конечной группе каждый элемент, кроме единицы, имеет порядок 2, то эта группа абелева.

4.Докажите, что любая группа порядка 4 изоморфна либо 4 , либо группе движе-

ний ромба.

5. Докажите, что в неабелевой группе порядка 6 должен существовать элемент по-

рядка 3.

6. Пусть G – неабелева группа порядка 6, a G – элемент порядка 3 и b G \ a, a2 ,e . Докажите, что тогда все элементы a, a2 ,e, ab, a2b,b разные и b имеет поря-

док 2.

7.Докажите, что в обозначениях предыдущей задачи ba ab2 .

8.Докажите, что всякая неабелева группа порядка 6 изоморфна S3 .

33

1.9. Кольцо, тело, поле

Определение 1. Множество A с двумя бинарными операциями ( ) и ( ) называ-

ется ассоциативным кольцом, если

1)относительно операции ( ) множество A является абелевой группой;

2)a,b,c A (ab)c a(bc) ;

3)a,b,c A a(b c) ab ac, (b c)a ba bc .

В случае, если

4) a,b A ab ba , кольцо A называется коммутативным.

В случае, когда

5) 1 A: a A 1 a a 1 a , говорят, что кольцо A имеет единицу.

Неассоциативных колец рассматривать не будем, поэтому в дальнейшем слово

«кольцо» будет обозначать ассоциативное кольцо.

Пример 1. Множество с обычными операциями ( ) и ( ) является коммутатив-

ным кольцом с 1.

Пример 2. Множества , , с обычными операциями ( ) и ( ) являются комму-

тативными кольцами с 1.

Пример 3. Множество n 0,1, 2,..., n 1, операции ( ) и ( ) в котором определя-

ются как остатки от деления на n результатов обычных операций сложения и умножения,

является кольцом. Например, в кольце 9 6 7 5, 6 7 2 .

n – всегда коммутативное кольцо с 1.

Пример 4. Кольцо матриц Mn ( ) размера n n с коэффициентами из и с опе-

рациями сложения и умножения матриц, Mn ( ) является уже некоммутативным кольцом с 1.

Пример 5. Множество C a,b всех непрерывных функций на отрезке a,b с опе-

рациями «поточечного» сложения и умножения функций. Это коммутативное кольцо с 1.

Пример 6. Кольцо многочленов [x] от одной переменной с действительными коэффициентами и с обычными операциями сложения и умножения многочленов. Это также коммутативное кольцо с единицей.

Определение 2. Кольцо с единицей называется телом, если каждый ненулевой элемент имеет обратный.

Определение 3. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненуле-

вой элемент имеет обратный, называется полем.

34

Оказывается, всякое конечное тело является полем. Эта теорема была доказана

Веддербарном в 1905 году.

Определение 4. Пусть B – подмножество в кольце A . Если относительно су-

ществующих в кольце A операций «сложения» и «умножения» B также является коль-

цом, то B называется подкольцом кольца A .

Определение 5. Подкольцо I кольца A называется идеалом, если a A и x I

элементы ax и xa принадлежат I .

Пример 7. Множество n для фиксированного натурального n является идеалом

кольца .

Определение 6. Пусть I – идеал кольца A . Рассмотрим множество смежных классов кольца A по идеалу I , рассматриваемое пока как абелева группа. Смежными классами будут являться подмножества кольца A вида a I , которые будем обозначать

a .

В фактор-группе A / I имеется операция сложения, определѐнная формулой Определим операцию умножения равенством

a b ab .

В силу того что I – идеал, это определение корректно.

Рассмотренное множество смежных классов с определѐнными на нѐм операциями

( ) и ( ) образуют кольцо, которое называется фактор-кольцом кольца A по идеалу I и

обозначается A / I .

Пример 8. / n n .

Определение 7. Пусть A и B – кольца. Отображение f : A B называется го-

моморфизмом колец, если x, y A

f (x y) f (x) f ( y), f (xy) f (x) f ( y) .

Если к тому же f – взаимно однозначное отображение, то f называется изо-

морфизмом.

Среди рассмотренных примеров 1 – 6 примерами полей являются , , . Если же

n p – простое число, то кольцо p вычетов по модулю p также является полем.

Пример 9. Пусть A – кольцо (2 2) -матриц вида

является изоморфизмом, т.е. кольцо A изоморфно полю комплексных чисел.

Пример 10. Рассмотрим кольцо многочленов A x и идеал I , состоящий из всех многочленов, делящихся на x2 1 . В этом случае говорят, что I порождѐн многочле-

ном x2 1. Можно записать I (x2 1) x . В каждом смежном классе можно выбрать представитель в виде многочлена степени не выше первой. Поэтому элементы этого фак-

тор-кольца можно записывать в виде a bx, a,b . Отображение a bx a bi является изоморфизмом, т.е. опять A / I .

Пример 11. Примером тела, не являющегося полем, может служить «тело кватер-

нионов».

Пусть i, j, k – символы, перемножающиеся по правилу

i2 j2 k2 1, ij k ji, jk i k, ki j ik . (1.1)

Множество выражений ai bj ck d , где a,b,c, d , с операцией покомпонентно-

го сложения и умножения, определѐнного с помощью формул (1.1) и закона дистрибутив-

ности, образует тело, называемое телом кватернионов.

Задачи

1.В кольце вычетов 12 найдите все обратимые элементы.

2.Найдите все нетривиальные идеалы в кольце вычетов 12 .

3.Пусть V – множество всех векторов в пространстве. В качестве операции ( )

рассмотрим обычное сложение векторов, а в качестве операции ( ) рассмотрим векторное произведение. Будет ли V с двумя этими операциями ассоциативным кольцом?

1.10. Строение конечных полей

Определение 1. Пусть F – поле. Наименьшее натуральное n , при котором

1 1 ... 1 0 , называется характеристикой поля F и обозначается char F . Если такого

n

n не существует, то считается, что char F 0 .

Теорема 1. Характеристика конечного поля – простое число.

Доказательство. Если бы char F n k m , где k, m 1, то в поле F произведение двух ненулевых элементов k и m равнялось бы 0. Это невозможно. Действительно, ра-

венство k m 0 можно было бы умножить на m 1 и тогда k 0 . Противоречие.

36

Теорема доказана.

Если характеристика поля F равна p , то F содержит подполе из p элементов,

изоморфное p . Элементами этого подполя являются суммы 1 1 ... 1 k .

Теорема 2. Число элементов конечного поля характеристики p равно pn для не-

которого натурального n .

Доказательство. Поле F можно рассматривать как векторное пространство над подполем p . Как во всяком векторном пространстве, в F можно выбрать базис

над p . Этот базис конечен в силу конечности поля F . Каждый элемент поля F можно

единственным образом представить в виде 1e1 2e2 ... nen , p . Число таких выра-

жений равно pn .

Теорема доказана.

Теорема 3. Для каждого простого p и натурального n существует единствен-

ное с точностью до изоморфизма конечное поле из pn элементов.

Без доказательства.

Определение 2. Конечное поле из pn элементов обозначается GF ( pn ) и называ-

ется полем Галуа.

Определение 3. Если рассматривать все ненулевые элементы конечного поля,

то относительно операции умножения они образуют коммутативную группу. Эта груп-

па называется мультипликативной группой поля.

Имеет место следующий факт.

Теорема 4. Мультипликативная группа конечного поля циклическая.

Без доказательства.

Определение 4. Образующие мультипликативной циклической группы поля на-

Если F – конечное поле, то можно рассматривать кольцо многочленов F[x] над F .

Элементами этого кольца являются многочлены от переменной x с коэффициентами из F

его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньших степеней.

37

Пример 1. Найдѐм неприводимые многочлены над полем 2 степени 2. Всего существует 4 многочлена степени 2:

x2 , x2 1, x2 x, x2 x 1.

Неприводимым среди них является только x2 x 1, так как

x2 x x, x2 1 (x 1)(x 1), x2 x x(x 1) .

Многочлен x2 x 1 неприводим, так как 0 и 1 не являются его корнями, и поэтому

он не может быть разложен в произведение двух линейных многочленов.

Существуют два неприводимых многочлена 3-й степени: x3 x2 1, x3 x 1 .

Теорема 5. Для каждого простого p и натурального n в кольце p [x] сущест-

вуют неприводимые многочлены степени n .

Без доказательства.

Теорема 6. Пусть f (x) – неприводимый многочлен степени n над полем p .

Доказательство. Фактор-кольцо A / I коммутативно и имеет единицу. Если u (x) A / I , то в кольце A найдутся многочлены s(x) и t(x) такие, что u(x)s(x) f (x)t(x) 1

(это следует из алгоритма Евклида). Тогда u (x) s (x) 1 в кольце A / I , т.е. каждый ненуле-

вой элемент кольца A / I обратим. Значит A / I – поле.

Пример 2. Рассмотрим поле F22 . Его можно представлять как фактор-кольцо A / I

, где A 2 ( ), I ( 2 1) 2[ ] (будет удобнее здесь писать вместо x ). В каждом смежном классе можно выбрать в качестве представителя многочлен степени не выше первой:

a b . Таблица умножений элементов этого поля выглядит так:

p

водимых многочленов:

38

x pn 1 1 p1(x) p2 (x) ... pk (x) .

Тогда каждый ненулевой элемент поля является корнем одного из них.

Определение 6. Пусть элемент конечного поля F из pn элементов является корнем многочлена pi (x) – одного из неприводимых многочленов в разложении x pn 1 1 .

Тогда этот многочлен называется минимальным многочленом для .

Среди всех многочленов, одним из корней которых является , этот многочлен имеет наименьшую степень. Каждый элемент поля имеет свой минимальный многочлен.

Пример 2 (продолжение). Минимальным многочленом для 1 является x 1. Ми-

нимальным многочленом для элементов и 1 является многочлен x2 x 1. Разложе-

нием многочлена x22 1 1 в произведении неприводимых в данном случае является

x3 1 (x 1)(x2 x 1)

(в поле 2 имеет место равенство 1 1).

Задачи

Все рассматриваемые многочлены предполагаются принадлежащими кольцу 2[x] .

f (x) u(x) g(x) v(x) d(x) .

3. Найдите все неприводимые многочлены 3, 4 и 5-й степеней в кольце 2[x] .

Разложите следующие многочлены в произведение неприводимых многочленов.

4.x7 1.

5.x15 1.

6.x31 1.

Через f (x) будем обозначать идеал, порождѐнный многочленом f (x) . Этот идеал состоит из всех многочленов, делящихся на f (x) .

7. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца 2[x] / (x2 1) . Бу-

дет ли это кольцо полем?

Найдите наименьший идеал, содержащий многочлены f (x) и g(x) .

39

8.f (x) x2 1, g(x) x3 x2 x 1 .

9.f (x) x2 1, g(x) x3 1.

40