ИФПМ (ПРИТ) / Учебник
.pdf
Предложение 3. Класс M замкнут.
Доказательство. Заметим, что xi M . Пусть
f (x1,..., xn ), g1(x1,..., xn ),..., gn (x1,..., xn ) M .
Подставим функцию gi (x1,..., xn ) в |
f (x1,..., xn ) |
вместо переменной |
xi . Возьмѐм на- |
||||||||||
боры ( ,..., |
n |
) ( ,..., ) . Пусть |
g ( |
,..., |
n |
) , |
g ( ,..., ) . Тогда |
и |
|||||
1 |
1 |
n |
i i 1 |
|
i |
i |
1 |
n |
|
i i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f g1( 1,..., n ),..., gn ( 1,..., n ) f ( 1,..., n ) f ( 1,..., n ) |
|
|||||||||
f g1( 1,..., n ),..., gn ( 1,..., n ) ,
что и означает замкнутость M .
Предложение доказано.
Определение 8. Булеву функцию n переменных будем называть линейной, если
она имеет вид
1x1 2 x2 ... n xn 0 , где i B {0,1}.
Предложение 4. Класс L всех линейных функций замкнут.
Доказательство. |
Если |
f (x1,..., xn ) 1x1 ... n xn 0 |
и |
gi (x1,..., xn ) i1x1 ... in xn i0 , то, подставляя в |
f (x1,..., xn ) эти выражения, получаем сно- |
||
ва линейную функцию.
Предложение доказано.
Предложение 5. Классы T0 ,T1, S, M , L различны.
Доказательство. Составим таблицу принадлежности функций 0, 1, x этим классам
(принадлежность обозначается +):
|
T0 |
T1 |
S |
M |
L |
0 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
1 |
– |
+ |
– |
+ |
+ |
x |
– |
– |
+ |
– |
+ |
Так как все столбцы различны, то все классы разные.
Предложение доказано.
Заметим также, что каждый из классов T0 ,T1, S, M , L не совпадает с множеством всех булевых функций.
101
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Критерий Поста |
|
|
|
|||
|
Лемма 1. Если функция |
f (x1,..., xn ) S |
и P { f , x}, то 0, 1 P . |
|
|
|
|||||||||
|
Доказательство. Пусть |
|
f (x1,..., xn ) S . Тогда найдѐтся набор ( 1,..., n ) такой, что |
||||||||||||
f ( ,..., |
n |
) f ( ,..., |
n |
) . Пусть |
|
(x) x i . |
Рассмотрим (x) f (x),..., (x) . Заметим, |
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
i |
1 |
n |
|||||||
что (1) 1 i |
, |
(0) 0 i |
|
. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) f 1(0),..., n (0) f 1,..., n , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) f 1(1),..., n (1) f 1,..., n . |
|
|
|
||||
|
Таким образом, (0) (1) . Значит, |
(x) – константа. Имея x , |
можно получить |
||||||||||||
другую константу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Лемма 2. Если функция |
f (x1,..., xn ) M и P { f ,0,1}, то x P . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
f (x1,..., xn ) M , то можно найти наборы |
|
|||||||||||
|
Доказательство. Если |
|
|
|
, отличаю- |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
щиеся лишь одним символом, |
|
такие, что |
f ( ) f ( |
|
) . Пусть ( 1,..., i 1,0, i 1,..., n ) , |
||||||||||
( 1,..., i 1,1, i 1,..., n ) .
Рассмотрим функцию (x) f ( 1,..., i 1, x, i 1,..., n ) . Тогда (0) (1) . Это означает, что (x) x .
Лемма доказана.
Лемма 3. Если функция f (x1,..., xn ) L и P { f , x, 0,1} , то x1 x2 
P
.
Доказательство. Запишем f (x1,..., xn ) в виде многочлена Жегалкина
f (x1,..., xn ) ai1...in xi1 ... xin .
Можно считать, что один из одночленов содержит x1 x2 (иначе перенумеруем пере-
менные). Тогда функцию f можно представить в виде
f x1 x2 g(x3,..., xn ) x1 h(x3,..., xn ) x2 u(x3,..., xn ) v(x3,..., xn ) .
Поскольку многочлен g(x3,..., xn ) 0 , то он представляет ненулевую функцию в си-
лу однозначности соответствия между многочленами Жегалкина и булевыми функциями.
Поэтому найдѐтся набор ( 3,..., n ) такой, что g(x3,..., xn ) 1. Рассмотрим функцию
(x1, x2 ) f (x1, x2 , 3,..., n ) x1 x2 x1 x2 .
Поскольку x x 1, x x 0 , то к переменным можно добавлять константы. Тогда
(x1, x2 ) (x1 , x2 ) (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) x1x2 x1 x2ax1 x2 x1x2 .
102
Лемма доказана.
Теорема 1. Для того чтобы система функций P была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов
T0 ,T1, S, M , L .
Доказательство. Необходимость. Если бы для какого-то из классов T0 ,T1, S, M , L
система P не содержала бы функции, этому классу не принадлежащей, то 
P
содержа-
лась бы в этом классе. Но тогда система P не была бы полной, так как ни один из классов T0 ,T1, S, M , L не совпадает с множеством всех булевых функций.
Достаточность. Пусть система P содержит функции f0 f1, f2 , f3 , f4 , не принадлежа-
щие классам T0 ,T1, S, M , L соответственно.
Покажем, что 0, 1, x 
P
.
Случай 1: |
f0 (1,..., 1) 1 и f1(0,..., 0) 0. Тогда (x) f0 (x,..., x) 1, (x) f1(x,..., x) 0 . |
||
Значит, 0, 1 P . Тогда в силу леммы 2 |
x P . |
|
|
Случай 2: |
f0 (1,...,1) 0 или |
f1(0,..., 0) 1. Тогда либо (x) f0 (x,..., x) x , либо |
|
(x) f1(x,..., x) x , т.е. x P . В силу леммы 1 одна из констант 0 или |
1 P , но тогда, |
||
имея x , можно получить и другую константу. Итак, 0, 1, x P . |
|
||
Далее, в силу леммы 3 x1 x2 P . Из наличия функций x и x1x2 |
следует полнота |
||
системы P . |
|
|
|
Теорема доказана.
Теорема 2. Из всякой полной системы булевых функций можно выделить полную
подсистему, содержащую не более четырѐх функций. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть |
функции |
f0 f1, f2 , f3 , f4 |
не |
принадлежат классам |
|||||||||||||||
T0 ,T1, S, M , L |
соответственно. Так |
как |
f0 T0 , |
то |
f0 (0,..., 0) 1 . |
Если |
f0 (1,..., 1) 1, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 , f1, f3 , f4 |
|
||||||||||
|
f0 (0,..., 0) f0 (1,...,1) 0 , т.е. f (x1,..., xn ) S |
и система |
является полной. Если |
|||||||||||||||||||||
же f0 (1,...,1) 0 , то |
f0 (x1,..., xn ) не монотонна и не принадлежит T1 . |
Поэтому система |
||||||||||||||||||||||
f0 , f2 , f4 будет полной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Замечание. Система функций |
f1 x1 x2 , |
f2 0, f3 1, |
f4 x1 x2 |
x3 |
является пол- |
|||||||||||||||
ной, так как |
f1 S, |
f1 L, |
f2 T1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
T1 |
|
S |
M |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
+ |
+ |
|
– |
+ |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
+ |
– |
|
– |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 |
– |
+ |
|
– |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4 |
+ |
+ |
|
+ |
– |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4 (x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 x1 1 x2 1 x3 1 1 x1 x2 x3 f4 (x1, x2 , x3 ) .
Однако удаление любой из функций приводит к неполной системе. Таким образом,
константу 4 в теореме 2 нельзя понизить.
В заключение приведѐм таблицу принадлежности булевых функций двух перемен-
ных классам T0 ,T1, S, M , L , а также их многочлены Жегалкина:
|
|
T0 |
T1 |
|
S |
|
M |
L |
Многочлен Жегалкина |
|
|
|
0 |
+ |
– |
|
– |
|
+ |
+ |
0 |
|
|
|
1 |
+ |
+ |
|
– |
|
+ |
– |
x1x2 |
|
|
|
2 |
+ |
– |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 x1 |
|
|
|
3 |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
+ |
x1 |
|
|
|
4 |
+ |
– |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 x2 |
|
|
|
5 |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
+ |
x2 |
|
|
|
6 |
+ |
– |
|
– |
|
– |
+ |
x1 x2 |
|
|
|
7 |
+ |
+ |
|
– |
|
+ |
– |
x1x2 x1 x2 |
|
|
|
8 |
– |
– |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 x1 x2 1 |
|
|
|
9 |
– |
+ |
|
– |
|
– |
+ |
x1 x2 1 |
|
|
|
10 |
– |
– |
|
+ |
|
– |
+ |
x2 1 |
|
|
|
11 |
– |
+ |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 x2 1 |
|
|
|
12 |
– |
– |
|
+ |
|
– |
+ |
x1 1 |
|
|
|
13 |
– |
+ |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 x1 1 |
|
|
|
14 |
– |
– |
|
– |
|
– |
– |
x1x2 1 |
|
|
|
15 |
– |
+ |
|
– |
|
+ |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
1. Образуют ли |
системы |
|
булевых |
функций: а) 0 , 1, 15 ; |
б) 2 , 10 , 11 ; |
||||||
в) 6 , 7 , 9 базис?
2.Найдите все базисы, состоящие из двух булевых функций двух переменных.
3.Найдите все базисы, состоящие их трѐх булевых функций двух переменных.
4.Выразите все булевы функции двух переменных в базисе 8 .
5.Выразите функции 0 , 2 , 3 в базисе 1, 10 .
6.Выразите функции 2 , 3 , 4 в базисе 0 , 1, 9 .
7.Подземный бункер, в который ведут три подземных хода, освещается центральной лампой. На каждом из трѐх выходов имеется переключатель, который может находиться в двух положениях. Пусть значение булевой функции f (x, y, z) 1 , если свет включен, и 0 – ес-
ли выключен (здесь x, y, z – положение каждого из трѐх переключателей). Найдите такую
функцию f (x, y, z) , чтобы можно было включать и выключать свет каждым из трѐх переклю-
104
чателей. Разложите функцию f (x, y, z) в базисе 0 , 1, 9 . Нарисуйте схему соответствую-
щего устройства.
8. Сложение двух двоичных чисел связано с двумя булевыми функциями: функцией f (x, y, z) – сложением двух двоичных цифр x и y в i -м разряде с учѐтом значения z пере-
носа из предыдущего разряда и функцией g(x, y, z) от тех же аргументов, которая равна зна-
чению переноса в следующий разряд. Выразите функции f (x, y, z) и g(x, y, z) в базисе
1, 10 и нарисуйте схему устройства двоичного сумматора.
4.5. Булева алгебра
Определение 1. Множество A , на котором определены две бинарные операции и одна унарная ( , , ) , называется булевой алгеброй, если выполнены следующие аксио-
мы.
1. Ассоциативность.
1.1.(a b) c a (b c) ;
1.2.(a b) c a (b c) .
2.Коммутативность.
2.1.a b b a ;
2.2.a b b a .
3.Дистрибутивность.
3.1.a (b c) (a b) (a c) ;
3.2.a (b c) (a b) (a c) .
4.Существование 0 и 1.
4.1.0 A: a A a 0 0, a 0 a ;
4.2.1 A: a A a 1 a, a 1 1.
5.Существование дополнения.
5.1.a A a A: a a 0, a a 1.
Теорема 1. В булевой алгебре справедливы следующие свойства.
1.Законы поглощения.
1.1.a (a b) a ;
1.2.a (a b) a .
2.Законы идемпотентности.
2.1.a a a ;
105
2.2.a a a .
3.Единственность 0 и 1.
4.Единственность дополнения a .
5.Закон двойного отрицания a a .
6.0 1, 1 0 .
7.Законы де Моргана.
7.1.a b a b ;
7.2.a b a b .
8.Законы склеивания.
8.1.a (a b) a b ;
8.2.a (a b) a b .
9.Закон обобщѐнного склеивания.
9.1.(a c) (b c ) (a b) (a c) (b c ) ;
9.2.(a c) (b c ) (a b) (a c) (b c ) .
Доказательство.
(1.1) a (a b) (a 0) (a b) a (0 b) a 0 a .
Аналогично доказывается (1.2).
(2.1) a a a (a 1) a .
Аналогично доказывается (2.2).
(3) Допустим, существуют два элемента 0 и 0 , удовлетворяющие аксиоме 4.1. То-
гда 0 0 0 0 .
Аналогично доказывается единственность 1.
(4) Допустим, элемент a имеет два дополнения a и a . Тогда
a 1 a (a a) a a (a a)(a a) (a a)(a a) 0 a a.
a 1 a (a a) a a (a a)(a a ) (a a)(a a ) 0 a a .
Следовательно, a a .
(5) Равенства a a 0, a a 1 , рассматриваемые относительно элемента a , говорят о том, что a a в силу единственности дополнения.
(6)0 1 1, 0 1 0 . Следовательно, 0 1, 1 0 в силу единственности дополнения.
(7)Покажем, что a b является дополнением к элементу a b . Действительно,
(a b ) (a b) (a b a) (a b b) (0 b ) (a 0)0 0 0.
106
(a b ) (a b) (a b ) a b (a a) (a b ) b1 (a b ) b (a b ) b a (b b) a 1 1.
Значит, a b a b . Аналогично a b a b . (8.2) a (a b) (a a) (a b) 1 (a b) a b .
Аналогично доказывается (8.1).
(9.1) Поскольку
a b a b 1 a b (c c ) (a b c) (a b c ) ,
то
(a c) (b c ) (a b) (a c) (b c ) (a b c) (a b c )
(a c) (b c ).
Аналогично доказывается (9.2).
Теорема доказана.
Примерами булевых алгебр являются:
1)алгебра подмножеств некоторого множества, где в качестве операций , ,
рассматриваются операции пересечения, объединения и перехода к дополнению;
2)алгебра высказываний с операциями дизъюнкции, конъюнкции, отрицания;
3)алгебра событий в теории вероятностей;
4)алгебра булевых функций;
5)алгебра контактных схем, где каждая переменная находится в двух положе-
ниях: замкнуто – разомкнуто (замкнуто – 1, разомкнуто – 0). В этом случае x1 x2 – это последовательное соединение контактов x1 и x2 , а x1 x2 – это параллельное соединение;
6)если n и n свободно от квадратов, т.е. n представляет собой произведе-
ние различных простых чисел, то все делители числа n образуют булеву алгебру с опера-
циями НОД (наибольший общий делитель), НОК (наименьшее общее кратное).
Задачи
Решите системы логических уравнений.
(x y)z 1,
1.(x y)z 1,x y z 1.
(x y)z 1,
2.(x z ) y 0,x y z 1.
107
(x y) z 1,
3.(x z) y 1,x y z 1.
(x y) z 1,
5.(x y) z 1,x y z 1.
(x y) z 1,
4. (x y)z 0, |
|
|
|
x y z 1. |
|
(x y) z 1, |
(x y) z 0, |
6. (x y) z 1, 7. |
(x y) z 1, |
|
|
(x y)z 0. |
(x y) z 1. |
8. У Натальи есть 5 подруг: Ксения (x) , Ирина ( y) , Зоя (z) , Ульяна (u) и Виктория
(v) . Перед Новым годом Наталья решила организовать девичник и пригласить подруг, од-
нако выяснилось следующее:
1)если Ксения идѐт в гости, то она всегда берѐт с собой Ирину;
2)Ульяна и Виктория обещали, что, по крайней мере, одна из них придѐт;
3)Ирина и Зоя сказали, что из них двоих придѐт только одна;
4)если Зоя и Ульяна идут в гости, то только вместе;
5)если Виктория идѐт в гости, то она обязательно берѐт с собой Ксению и Ульяну.
Кто пришѐл в гости к Наталье? |
|
|
|
9. Имеются два симптома x и y двух болезней a и b . Известно, что: |
|
||
а) |
при болезни b есть симптом x ; |
|
|
б) |
при болезни a и отсутствии болезни b есть симптом y ; |
|
|
в) |
при болезни b и отсутствии болезни a симптома y нет; |
|
|
г) |
при наличии хотя бы одного из двух симптомов x или y |
есть хотя бы одна |
|
из болезней a или b . |
|
|
|
Определите, что можно утверждать при наличии симптома x |
и отсутствии сим- |
||
птома y ? При наличии симптома y и отсутствии x ? При наличии обоих симптомов x |
и |
||
y ? |
|
|
|
10. Семья состоит из пяти человек: Алексей (a) , Вера (b) , Семѐн (c) , Даша (d ) |
и |
||
Евгений (e) . Известно, что: |
|
|
|
а) если телевизор смотрит a , то смотрит и b ; |
|
|
|
б) смотрят либо d , либо e , либо оба вместе; |
|
|
|
в) смотрят либо b , либо c , но не вместе; |
|
|
|
г) c |
и d либо смотрят вместе, либо вовсе не смотрят; |
|
|
д) если смотрит e , то смотрят a и d .
Кто смотрит телевизор?
108
11. Надо составить расписание на первые четыре урока для одного из классов шко-
лы с соблюдением следующих условий. Должны быть проведены уроки: математика, фи-
зика, химия, русский язык. Если первый урок математика, то третий урок не физика, а хи-
мия – либо второй, либо четвѐртый урок. Если физика не первый урок, то первым уроком должна быть математика, а вторым – химия. На втором уроке физик занят в другом клас-
се. Химик не согласен проводить второй урок, если первым будет физика, кроме того, он отказывается от четвѐртого урока. В каком порядке следует расположить предметы?
109
Литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Ба-
зовых Знаний, 2001. – 376 с.
2. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, мат-
роиды, алгоритмы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 292 с.
3. Белов В.В., Воробьѐв Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. – М.: Высшая школа,
1976. – 392 с.
4. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы о математике. – Книга 1. Дискретные объек-
ты. – М.: «ФИМА» МЦНМО, 2002. – 368 с.
5. Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики. – М.: Книжный дом «Либ-
роком», 2011. – 224 с.
6. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по тео-
рии графов. – М.: Наука, 1990. – 392 с.
7. Клюшин А.В. Введение в математический анализ: метод. указания по курсу
«Основы математического анализа». – М.: МИЭТ, 2002. – 49 с.
8. Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Соколова Т.В. Курс дискретной математики:
учеб. пособие. – М.: МИЭТ, 2000. – 206 с.
9.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.
–М.: Энергоатомиздат, 1988. – 411 с.
10.Ландо С.К. Введение в дискретную математику. – М.: МЦНМО, 2012. – 265 с.
11.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учебник. – СПб.:
Питер, 2000. – 301 с.
12.Палий И.А. Дискретная математика. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2008. – 352 с.
13.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: учеб-
ник. – М.: Инфра-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 280 с.
14. Эвнин А.Ю. Задачник по дискретной математике. – М.: Книжный дом «Либро-
ком», 2014. – 264 с.
15. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа,
2002. – 386 с.
110