ИФПМ (ПРИТ) / Учебник

4.

3.7. Фундаментальные циклы и разрезы

Техника теории графов используется при анализе электрических цепей. Законы Кирхгофа для токов и напряжений приводят к задачам, эффективно решаемым на языке теории графов. Напомним, что остовом связного графа G называется подграф G , содер-

жащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Определение 1. Пусть T – остов связного графа G . Тогда рѐбра, принадлежа-

щие остову, называются ветвями, а не принадлежащие – хордами.

Пусть G – связный граф, а T – некоторый его фиксированный остов. Обозначим ветви графа b1,b2 ,...,bn 1, а хорды c1,c2 ,...,cm n 1 , где m – число рѐбер, а n – число вершин графа G . Если к остову прибавить одну из хорд ci , то получится ровно один цикл, кото-

рый обозначим Ci .

Определение 2. Цикл связного графа G с фиксированным остовом T , содер-

жащим ровно одну хорду, называется фундаментальным.

Число фундаментальных циклов равно числу хорд, т.е. m n 1 .

Пример 1. Рассмотрим следующий граф G и остов T :

они:

71

множество, не содержащее собственных разрезающих подмножеств, называется разре-

зом. Если выбран некоторый остов T графа G , то разрез, содержащий ровно одну ветвь, называется фундаментальным.

Количество фундаментальных разрезов равно количеству ветвей, т.е. n 1. После удаления одной из ветвей bi из остова T последний распадается на две компоненты связ-

ности T1 и T2 . Тогда i -й фундаментальный разрез будет состоять из ветви bi и всех хорд графа G , соединяющих вершину из T1 с вершиной из T2 .

Пример 1 (продолжение). Число фундаментальных разрезов графа G равно n 1 4 . Вот они:

рѐберно непересекающихся циклов.

Доказательство. Индукция по числу рѐбер. Основанием индукции служит граф с пустым множеством рѐбер.

72

Пусть для графов с числом рѐбер меньше m утверждение теоремы верно. Рассмот-

Продолжим этот процесс до того момента, когда дойдѐм до вершины vk , которая уже встречалась ранее. Этот момент наступит в силу конечности множества V . Тогда рѐбра

(vk ,vk 1), (vk 1,vk 2 ),..., (vk l ,vk ) образуют простой цикл. Удалим рѐбра этого цикла из графа

G . Поскольку каждая вершина, входящая в этот цикл, инцидентна двум рѐбрам цикла, в

полученном графе степени всех вершин по-прежнему останутся чѐтными, и утверждение

73

объединения рѐберно непересекающихся разделителей, у которых первое множество вершин вершинно порождает связный подграф. Покажем теперь, что каждый из разделителей Si является разрезом или может быть представлен в виде объединения рѐберно непересе-

ты связности подграфа Ai . Так же как и ранее, в G не может существовать рѐбер,

соединяющих Bi и B j при i j . Поэтому любое ребро разделителя Sij Bj , Bj соединяет

вершины из B j с вершинами из Ai , а значит, принадлежит Si . Таким образом, Sij Si . За-

Теорема 4. Любые цикл и разрез связного графа имеют чѐтное число общих рѐ-

бер.

Доказательство. В силу теоремы 2 данного параграфа любой разрез S является разделителем V1,V1 . Пусть одна из вершин цикла принадлежит V1 . Если в процессе про-

хождения данного цикла попадаем в V1 (по одному из рѐбер множества S ), то необходимо вернуться в V1 (так же по ребру из S ). Поэтому число общих рѐбер цикла и разреза долж-

но быть чѐтным.

Теорема доказана.

3.8. Линейные пространства, связанные с графами

противном случае. Множество всех таких последовательностей обозначим WG .

75

Множество WG с операцией покомпонентного сложения по модулю 2 является ли-

нейным пространством над полем 2 . Операция умножения на элементы поля 2 опреде-

ляется очевидным образом: при умножении на 0 вектор обнуляется, при умножении на 1

вектор не меняется. Сумме элементов из WG соответствует сумма подграфов.

В дальнейшем будем отождествлять множество таких последовательностей и множество подграфов графа G . (Точнее, эти пространства изоморфны.)

Определение 4. Пусть G(V , E) – граф. Множество всех векторов ( 1,..., m )

пространства WG , соответствующих всем циклам (включая пустой) графа G и объеди-

нениям рѐберно непересекающихся циклов, обозначим WC . Множество всех векторов

( 1,..., m ) пространства WG , соответствующих всем разрезам (включая пустой)

графа G и объединениям рѐберно непересекающихся разрезов, обозначим WS .

Теорема 1. Кольцевая сумма двух циклов является циклом или объединением рѐ-

берно непересекающихся циклов.

Доказательство. Каждая вершина, входящая в цикл, имеет чѐтную степень (если цикл простой, то степень каждой вершины равна двум). При сложении двух циклов оди-

наковые рѐбра удаляются, при этом степень каждой концевой вершины уменьшается на 2,

т.е. остаѐтся чѐтной. Поэтому сумма двух циклов представляет собой цикл или объедине-

ние рѐберно непересекающихся циклов в силу теоремы 1 § 3.7.

Теорема доказана.

Следствие. Множество всех циклов (включая пустой) и объединений рѐберно не-

пересекающихся циклов образует линейное подпространство пространства WG .

Определение 5. Подпространство, указанное в следствии, будем называть под-

пространством циклов и обозначать WC .

Теорема 2. Кольцевая сумма двух разделителей также является разделителем.

Кольцевая сумма двух разрезов является разрезом или объединением рѐберно непересе-

поэтому сумма двух разрезов также будет разделителем, который будет разрезом или объ-

единением рѐберно непересекающихся разрезов в силу теоремы 3 § 3.7.

Теорема доказана.

76

Следствие. Множество всех разрезов (включая пустой) и объединений рѐберно не-

пересекающихся разрезов образует линейное подпространство пространства WG .

Определение 6. Подпространство, указанное в следствии, будем называть под-

C1,...,Cm n 1 – соответствующие фундаментальные циклы. Каждый фундаментальный цикл содержит ровно одну хорду графа G . Поэтому фундаментальные циклы линейно незави-

соответствующие фундаментальные разрезы. Каждый фундаментальный разрез содержит ровно одну ветвь графа G . Поэтому фундаментальные разрезы линейно независимы.

Пусть K – произвольный разрез, содержащий ветви ai1 ,..., fik . Рассмотрим объединение фундаментальных разрезов K Ki1 ... Kik . Если K K , то K K содержит непустой разрез, а значит, ветвь графа G, что является противоречием, так как ветви fi1 ,..., fik отсут-

ствуют в графе C C , а других ветвей этот граф содержать не может.

Теорема доказана.

Теорема 5. Пространства WC и WS ортогональны.

Доказательство. Действительно, каждый цикл и каждый разрез имеют чѐтное число общих рѐбер.

77

3.9.Матрицы, связанные с графами

Вэтом параграфе наряду с неориентированными графами будем рассматривать ориентированные графы, которые будем называть орграфами. Граф G всегда обозначает граф без петель на n вершинах и m рѐбрах.

Определение 1. Пусть G(V , E) – граф. Перенумеруем его вершины: V v1,...,vn .

Матрицу A (aij ) размера n n , в которой

1, если вершины ai и a j соединены ребром;

aij

0 в противном случае,

будем называть матрицей смежности графа G .

Предложение 1. Пусть G(V , E) – граф, в котором вершины перенумерованы и A –

его матрица смежности. Тогда элемент aij(k ) матрицы Ak равен числу маршрутов между вершинами vi и v j длины k .

Определение 2. Пусть G(V , E) – граф, на каждом ребре которого задано на-

правление. Такой граф будем называть орграфом. Рѐбра орграфа будем называть дугами.

Если направление на дуге e (vi ,v j ) задано от вершины vi к вершине v j , то будем гово-

Всякий столбец матрицы B орграфа содержит два ненулевых элемента –1 и 1. По-

этому любую строчку этой матрицы можно определить по остальным (n 1) строкам.

Определение 4. Матрицу B0 , полученную из матрицы B вычѐркиванием одной произвольной строки, будем называть усечѐнной матрицей инцидентности.

Очевидно, ранги матриц B и B0 совпадают и не превосходят n 1.

Теорема 1. Определитель любой усечѐнной матрицы инцидентности дерева ра-

вен 1.

Доказательство. Индукция по числу вершин n . Для n 2 утверждение верно.

78

Следующие три теоремы приведѐм без доказательства.

Теорема 2. Пусть G – связный граф, Е – его остов, B, K, – матрицы инци-

дентности, фундаментальных разрезов и фундаментальных циклов соответственно. То-

гда

B T 0, K T 0 .

Определение 7. Матрица X размера p q называется унимодулярной, если оп-

ределитель любой еѐ квадратной подматрицы равен 1, –1 или 0.

Теорема 3. Матрицы инцидентности, фундаментальных циклов и фундамен-

тальных разрезов связного графа G унимодулярны.

Теорема 4. Пусть G – связный граф, B0 – усечѐнная матрица инцидентности какой-либо из ориентаций графа G . Тогда число остовов графа G равно B0 B0T .

Задачи

Найдите матрицу смежности графа G . С еѐ помощью найдите число маршрутов из

вершины v2 в вершину v5 длины 3.

Задайте некоторую ориентацию графа G . Для данного остова T перенумеруйте сначала ветви, а потом хорды графа. Найдите матрицы инцидентности B , фундаменталь-

ных циклов и разрезов K графа G . Проверьте, что B T 0 и K T 0 .

80