ИФПМ (ПРИТ) / Учебник

9.1 a1, a6 , a7 , a9 , 2 a2 , a6 , a7 , 3 a3, a7 , a9 , 4 a4 , a5 , a6 , a7 , a9 .

10.1 a1, a4 , a5 , 2 a2 , a3, a3, a5 , a8 , 3 a3, a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , 4 a3, a8 , a9 .

Найдите число остовов графа G по формуле и нарисуйте эти остовы:

11.

12.

3.10.Планарные графы

Определение 1. Говорят, что граф G укладывается на поверхности S , если его можно нарисовать на этой поверхности таким образом, что его рѐбра не будут пересе-

каться во внутренних точках.

Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости. Планарный

граф, изображѐнный на плоскости, называется плоской укладкой этого графа.

Определение 2. Гранью плоской укладки графа G будем называть наибольшее по включению множество на плоскости, две любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, не пересекающейся с рѐбрами этой укладки. Границей грани будем считать множество вершин и рѐбер, принадлежащих этой грани. Точки границы грани будем считать принадлежащими данной грани. Грань будем называть конечной, если еѐ

площадь конечна, и бесконечной в противном случае.

Определение 3. Пусть f1, f2 ,..., fr – грани плоской укладки графа G , причѐм fr –

бесконечная грань. Обозначим через C1 (1 i r 1) цикл на границе грани fi .

Теорема 1. Циклы C1,C2 ,...,Cr 1 образуют базис пространства циклов.

Доказательство. Заметим, что сумма циклов

Ci1 ... Cim

содержит внутри себя грани fi1 ,..., fim . Внутренние точки других граней эта сумма циклов содержать не может. Поэтому никакой цикл Ci нельзя выразить через остальные.

Каждый элемент пространства циклов является циклом (возможно пустым), или объеди-

нением рѐберно непересекающихся циклов. Пусть цикл C содержит внутри себя конеч-

Теорема доказана.

Теорема 2 (Эйлер). Если связный планарный граф имеет m рѐбер, n вершин и r

граней, то n m r 2 .

Доказательство. Поскольку размерность пространства циклов равна

(§ 3.8, теорема 3), то m n 1 r 1 , откуда n m r 2 .

Ввиду важности этого утверждения приведѐм ещѐ одно доказательство.

Для дерева формула верна, поскольку m n 1, r 1. Если связный граф не является

деревом, то он содержит циклы. Будем удалять рѐбра, принадлежащие циклам, до тех пор,

пока граф не превратится в дерево. Тогда формула будет верна. Далее будем

возвращать по одному ребру. При этом m и r будут увеличиваться на 1, а n меняться не будет. Следовательно, после возвращения всех рѐбер формула останется верной.

Теорема доказана.

Определение 4. Ребро e графа G называется мостом, если удаление этого ребра из графа увеличивает число компонент связности графа.

Определение 5. Степенью d ( f ) грани f некоторой укладки планарного графа

G называется число рѐбер на границе этой области, причѐм мосты считаются дважды.

Теорема 3. Если связный планарный граф G имеет m рѐбер и n 3 вершин, то

m 3n 6 .

Доказательство. Если n 3 , то степень любой грани не может быть меньше 3. По-

скольку каждое ребро графа даѐт вклад в сумму степеней его граней равный 2, то

вершин V можно разбить на такие два непересекающихся подмножества V1 и V2 , что один конец любого ребра из E принадлежит V1 , а другой – V2 .

Если множество вершин графа разбито на два непересекающихся подмножества

V1 и V2 и каждая вершина из V1 соединена ребром с каждой вершиной из V2 , то такой

83

Теорема 4. Если связный двудольный планарный граф G имеет m рѐбер и n 3

.

Доказательство. Поскольку граница любой грани планарного графа при n 3 яв-

доказанному неравенству.

Следствие доказано.

Определение 7. Два ребра, инцидентные вершине степени 2, называются после-

довательными рѐбрами.

Пусть e1 (u,v) и e2 (v, w) – последовательные рѐбра, инцидентные вершине v .

Удаление вершины v и замена рѐбер e1 и e2 ребром (u, w) называется слиянием последо-

вательности.

Добавление новой вершины v на ребро (u, w) посредством введения рѐбер (u,v) и (v, w) называется включением последовательности.

Определение 8. Будем говорить, что два графа гомеоморфны, если они изо-

морфны или могут стать изоморфными в результате операций включения или слияния последовательностей.

Далее приведѐм без доказательства три критерия планарности графа.

Теорема 5 (Куратовский). Граф планарен тогда и только тогда, когда он не со-

держит подграфа, гомеоморфного графу K5 или K3,3 .

Определение 9. Будем говорить, что граф G1 стягивается к графу G2 , если граф G2 может быть получен из G1 с помощью нескольких операций отождествления вершин, соединѐнных рѐбрами.

Теорема 6 (Вагнер). Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содер-

жит подграфа, стягиваемого к графу K5 или K3,3 .

84

Определение 10. Граф G называется двойственным к графу G , если сущест-

вует такое взаимно однозначное соответствие их рѐбер, что множество рѐбер графа G

является циклом тогда и только тогда, когда соответствующее множество рѐбер гра-

фа G является разрезом.

Теорема 7 (Уитни). Граф имеет двойственный граф тогда и только тогда, ко-

гда он планарен.

3.11. Алгоритм плоской укладки графа

динением графа по точке сочленения v.

Определение 5. Пусть связный граф G разъединѐн по всем своим точкам сочле-

нения. Образовавшиеся компоненты связности будем называть блоками графа G .

Пример 1. Следующий граф G (рис.3.1) имеет точку сочленения 7.

Рис.3.1.

85

После разъединения графа G по этой точке сочленения граф распадѐтся на сле-

дующие блоки (рис.3.2).

Рис.3.2.

Пусть G – некоторый граф. Очевидно, если каждая компонента связности графа G

имеет плоскую укладку, то и весь граф G имеет плоскую укладку. Поэтому достаточно уметь находить плоскую укладку для связного графа G .

Если G – связный граф и G1,...,Gk – все его блоки и каждый блок имеет плоскую укладку, то и весь граф G имеет плоскую укладку. Поэтому можно предполагать, что G –

двусвязный граф.

этой компоненте, и концы этих рѐбер. Сегментом также будем называть любое ребро графа G , не принадлежащее G , оба конца которого принадлежат G .

Определение 7. Вершину v сегмента S , принадлежащую контактной.

Определение 8. Допустимой гранью для сегмента S относительно подграфа G

будем называть грань графа G , содержащую все контактные вершины сегмента S .

Множество всех допустимых граней для сегмента S будем обозначать (S) .

Определение 9. Простую цепь L сегмента S , соединяющую две различные кон-

тактные вершины и не содержащую других контактных вершин, будем называть -

цепью.

Теперь опишем алгоритм плоской укладки графа G , который будем предполагать двусвязным. Заметим, что дерево не является двусвязным графом, поэтому граф G дол-

жен содержать цикл.

0.Выберем некоторый простой цикл C графа G и уложим его на плоскости:

положим .

G C

86

1. Найдѐм грани плоской укладки графа G и сегменты относительно G . Если множество сегментов пусто, то укладка построена. Конец.

Иначе перейдѐм к пункту 2.

2.Для каждого сегмента S определим множество (S) . Если существует сег-

мент S , для которого (S) , то граф G непланарен. Конец.

Иначе перейдѐм к пункту 3.

3. Если существует сегмент S , для которого имеется единственная допустимая грань , то возьмѐм этот сегмент и эту грань. Иначе выберем любой сегмент S и произ-

вольную допустимую грань этого сегмента.

4.Выберем произвольную -цепь L S сегмента S и поместим еѐ в грань ,

грани 1 и 2 , которые являются допустимыми для каждого из сегментов S1,..., S6 . Поэто-

му возьмѐм первый сегмент и выберем в нѐм -цепь 1–9–2, которую уложим в грань 2 :

87

Это будет граф G2 . Цикл 1–9–2 ограничивает новую грань 3 . Перечислим сегмен-

ты относительно G2 :

Для каждого сегмента найдѐм множество допустимых граней:

Для каждого сегмента найдѐм множество допустимых граней:

Для сегмента S6 существует только одна допустимая грань 2 . Возьмѐм -цепь 4– 10 сегмента S6 и уложим еѐ в грань 2 :

88

Задачи

1. Нарисуйте плоские укладки графов пяти платоновых тел: тетраэдра, куба, окта-

эдра, додекаэдра, икосаэдра.

2. Докажите, что граф четырѐхмерного куба непланарен двумя способами:

а) найдя в нѐм подграф, гомеоморфный K5 ;

б) найдя подграф, гомеоморфный K3,3 .

Используя алгоритм плоской укладки графа, определите, являются ли следующие

графы планарными. Если нет, то найдите в них подграф, гомеоморфный K5 или K3, 3 .

90