3. Проверка статистических гипотез

3.1. Статистические гипотезы

Изучение числовых характеристик и закона распределения генеральной совокупности можно отнести к основным задачам статистики. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид, то данная гипотеза должна быть проверена. Возможны другие гипотезы, требующие проверки, например, предположение о равенстве параметров двух распределений.

Статистической называют гипотезу о параметрах генеральной совокупности или о виде ее распределения. Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

2) дисперсии двух генеральных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – параметрах двух распределений.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Альтернативной (конкурирующей) называется гипотеза , которая противоречит нулевой.

Выдвинутая гипотеза может быть ошибочной, поэтому возникает необходимость ее статистической проверки, т.е. непротиворечивости гипотезы и результатов опытов. После статистической проверки гипотеза может быть либо принята, либо отвергнута. Для проверки гипотезы используют специально подобранную случайную величину , распределение которой известно. Величина , обеспечивающая проверку гипотезы , называется статистическим критерием. Критической областью называется множество значений критерия , при которых нулевая гипотеза отвергается. Эта область должна быть выбрана так, чтобы попадание в нее случайной величины было событием маловероятным, если гипотеза верна. Значение критерия, вычисленное по выборке, называется наблюдаемым значением . Если эта величина оказалась в критической области, то считается, что выдвинутое предположение не согласуется с конкретной выборкой. В этом случае гипотеза признается ошибочной. Областью принятия гипотезы (допустимой областью) называется множество значений критерия, при которых основная гипотеза принимается, как не противоречиищая результатам опытов.

Принятое статистическое решение не всегда бывает верным. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергнута правильная гипотеза (предположение отвергнуто, хотя оно верно). Ошибка второго рода состоит в том, что принята неправильная гипотеза (предположение признано верным, хотя оно ошибочно). Вероятность совершения ошибки первого рода называется уровнем значимости критерия, а вероятность ошибки второго рода будем обозначать .

Уменьшая уровень значимости, мы уменьшаем вероятность ошибки первого рода. При гипотеза будет всегда приниматься независимо от результатов выборки. Однако, произвольное уменьшение вероятности ошибки первого рода, связанное с расширением допустимой области, увеличивает опасность ошибки второго рода. Иными словами, уменьшение влечет за собой увеличение , и в этом смысле ошибки первого и второго рода являются конкурирующими. Невозможность обеспечения малости обеих вероятностей и вынуждает применять умеренные величины уровня значимости: . Если отклонение истинной гипотезы следует предпочесть принятию ложной, то выбирается . Наоборот, в случаях, когда ошибка первого рода существенно менее желательна, чем ошибка второго, следует выбрать .

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область в случае, когда справедлива конкурирующая гипотеза . Фактически мощность критерия равна , т.е. вероятности недопущения ошибки второго рода. Если уровень значимости выбран, то статистический критерий надо выбирать так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования обеспечивает минимальную ошибку второго рода.

Будем далее предполагать, что статистический критерий может принимать любые вещественные значения, а плотность вероятности этой случайной величины определена при условии, что гипотеза верна. Если область принятия решения совпадает с отрезком , то вероятность попадания критерия в допустимую область равна и может быть вычислена по формуле [3]:

.

Площадь заштрихованной области, показанной на рисунке 3.1.1, совпадает с вероятностью .

Рис. 3.1.1

Если (при ) область принятия гипотезы имеет вид , то соответствующая критическая область является объединением бесконечных промежутков , и называется двусторонней. Значение , отделяющее критическую область от области принятия гипотезы, называется критическим и обозначается . Если , то нулевая гипотеза считается верной. Если критическая область представляет собой промежуток , то соответствующий критерий называется односторонним (или правосторонним). В этом случае нулевая гипотеза отвергается при .

Итак, проверка статистических гипотез состоит из нескольких этапов.

1. Формулируются нулевая и альтернативная гипотезы.

2. В зависимости от проверяемой гипотезы и ее альтернативы выбирается односторонняя или двусторонняя критическая область и подбирается статистический критерий .

3. Выбирается уровень значимости  (обычно ).

4. Для задания критической области определяется по таблицам значение .

5. Для полученной выборки вычисляется наблюдаемое значение критерия . Если это значение попадает в критическую область, то гипотеза отвергается, а если попадает в допустимую область, то гипотеза принимается.