![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •Математическая статистика Учебное пособие
- •Введение
- •1. Описательная статистика
- •1.1. Выборка
- •1.2. Статистическое распределение выборки
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •1.4. Числовые характеристики выборки
- •2. Статистические оценки параметров теоретического распределения
- •2.1. Точечные и интервальные оценки
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •2.3. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.4. Примеры статистических расчетов
- •3. Проверка статистических гипотез
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •3.3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
- •3.4. Критерии согласия
- •3.5. Критерий согласия Пирсона
- •3.6. Критерий согласия Колмогорова
- •3.7. Примеры проверки гипотез
- •Приложения
- •Для двусторонней критической области
- •Значения коэффициента q(, k)
- •Критические точки распределения χ2
- •Функция распределения k(t)
- •Содержание
- •Математическая статистика
- •190031, СПб., Московский пр., 9.
2. Статистические оценки параметров теоретического распределения
2.1. Точечные и интервальные оценки
Статистическое
распределение репрезентативной выборки
не должно значительно отличаться от
закона распределения изучаемой
генеральной совокупности (случайной
величины
).
Значит, и числовые характеристики
случайных величин
и Х
должны быть примерно одинаковы.
Одной из задач
математической статистики является
оценивание неизвестных параметров
теоретического распределения генеральной
совокупности (случайной величины
)
на основании выборки объема
.
До проведения опыта значения выборочных
элементов
неизвестны, следовательно, являются
случайными величинами, которые обозначим
.
Распределения
и
одинаковы, следовательно, их числовые
характеристики тоже совпадают.
Приближенное
значение параметра
теоретического распределения, вычисленное
по выборочным значениям
,
называется статистической
оценкой
(или кратко статистикой).
Для различных
выборок из одной генеральной совокупности
статистика
будет принимать разные значения, поэтому
следует считать тоже случайной величиной
.
Статистическая
оценка
,
задаваемая одним числом, называется
точечной.
Погрешность такой оценки, вычисленной
по одной выборке, не известна, поэтому
у соответствующей статистики проверяется
наличие ряда свойств [3].
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно , т.е.
. В противном случае оценка называется смещенной. Оценка
называется асимптотически несмещенной, если
.
называется состоятельной оценкой, если
.
Последнее означает, что стремится по вероятности к оцениваемому параметру при увеличении объема выборки.
Оценка называется эффективной, если при данном объеме выборки из всех возможных оценок она имеет наименьшую дисперсию. Эффективная оценка меньше других меняется от выборки к выборке. Это свойство оценки может быть асимптотическим, если при увеличении объема выборки оценка приближается к эффективной.
Кроме точечных
оценок, которые не дают возможности
определить точность и надежность
полученного значения
,
в статистике также применяются
интервальные оценки. Интервальной
называется статистическая оценка
неизвестного параметра
,
задаваемая двумя числами
и
– концами доверительного
интервала
.
При определении интервальной статистической
оценки необходимо задать доверительную
вероятность (надежность,
коэффициент доверия)
этой оценки. Концы доверительного
интервала
и
определяются из условия
.
Тогда вероятность
того, что интервал
со случайными концами, меняющимися от
выборки к выборке, покроет оцениваемый
параметр
,
равна
.
Числа
и
называются доверительными границами.
Между ними с надежностью
содержится параметр
.
Половина длины доверительного интервала
– это
точность интервального оценивания.
Более надежный интервал является менее
точным [3]. В этом смысле точность и
надежностью являются конкурирующими
характеристиками
интервальной оценки. При
интервал становится бесконечным и не
дает информации о точности оценки.
Обычно доверительную вероятность
задают равной 0,95; 0,99 или 0,999.
Если известна
точечная оценка
параметра распределения
и доказано равенство
,
то число
является точностью, а число
– надежностью
оценки
.
Действительно, неравенства
и
эквивалентны, следовательно, левая
граница доверительного интервала
,
а правая граница
.
Примеры расчета точечных оценок приведены в параграфе 2.4.