- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Петербургский государственный университет путей сообщения
Императора Александра I»
(ФГБОУ ВО ПГУПС)
Кафедра «Высшая математика»
В. В. Гарбарук
Конспект лекций
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
для всех направлений и специальностей
Часть II
Санкт – Петербург
Содержание
8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 6
8.1 Функции двух независимых переменных 6
8.2 Частные производные 6
9.3 Полный дифференциал 9
8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности 11
8.5 Экстремумы функций двух переменных 12
8.6 Условный экстремум 14
8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции 15
8.8 Метод наименьших квадратов 16
8.9 Производная по направлению. Градиент 17
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 20
9 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 22
9.1 Двойной интеграл 22
9.2 Перемена порядка интегрирования 23
9.3 Вычисление площадей и объемов 25
9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги 26
9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги 27
9.5 Криволинейный интеграл по координатам 29
9.6 Формула Грина-Остроградского 31
9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой 31
9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода 32
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 34
10 РЯДЫ. Гармонический анализ 35
10.1 Числовые ряды 35
10.2 Степенные ряды 37
10.3 Ряды Тейлора и Маклорена 37
10.4 Тригонометрические ряды Фурье 39
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 42
11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 44
11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка 44
11.2 Основные типы уравнений первого порядка 45
11.3 Понижение порядка уравнения 48
11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 49
12 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 53
12.1 Оригиналы и изображения 53
12.2 Теоремы операционного исчисления 55
12.3 Таблица изображений 57
12.4 Свёртка функций 59
12.5 Нахождение оригинала по изображению 60
12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики 62
12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 66
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 67
13 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 68
13.1 Классическое определение вероятности 68
13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей 70
13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса 72
13.4 Схема Бернулли 73
13.5 Функция и плотность распределения вероятностей 74
13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей 75
13.7 Числовые характеристики случайных величин 76
13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии 78
13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин 79
13.10 Связь между случайными величинами 83
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 83
14 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 86
14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма 86
14.2 Точечные и интервальные оценки параметров 88
14.3 Статистические гипотезы 89
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 90
Приложение А. Таблица значений функции Лапласа Ф0(х) 92
Приложение Б. Основные математические обозначения 93