- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
Основные свойства вероятности
1. Р() = 1.
2. Р() = 0.
3. .
4. , если события А и В несовместны.
5. Р(А В) = , если события А и В несовместны.
6. .
7. , если событие В всегда происходит, когда происходит А.
Если испытание моделируется выбором наудачу точки области ( – «площадь» («длина», «объем») ), то вероятность попадания случайной точки в область А (А)
пропорциональна «площади» («длине», «объему») области А и не зависит от ее расположения в .
Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло. События А и В называются независимыми, если = Р(А) и = Р(В).
Пример. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что число на верхней грани будет больше 4.
Элементарные исходы (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6) единственно возможны, попарно несовместны и равновозможны, следовательно, n = 6. Событие А = {число больше 4} происходит при появлении 5 или 6. Имеется два благоприятствующих событию А исхода, следовательно, m = 2.
Р(А) = = = .
Пример. В урне 3 синих, 4 красных и 5 белых шаров. Из урны наугад достают один шар. Найти вероятности событий А = {извлечен красный шар}, В = {извлечен цветной шар}, С = {извлечен белый шар}.
Общее число исходов
Число исходов mA, благоприятствующих событию А, равно 4.
Число исходов mВ, благоприятствующих событию В, равно 3 + 4 = 7. .
Число исходов mС, благоприятствующих событию С, равно 5. .
Замечание. Событие С противоположно событию В, следовательно, .
Пример. В квадрат со стороной 6 брошена точка. Вычислить вероятность того, что она попадает в закрашенную область. Площадь квадрата: . |
|
Площадь треугольника: .
Вероятность .
13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
Теорема умножения вероятностей: Р(А В) = Р(А)Р(В/А);
для независимых событий: Р(А В) = Р(А)Р(В)).
Теорема сложения вероятностей: Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В);
для несовместных событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В);
для независимых событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)).
Пример. Два стрелка независимо друг от друга выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания первого и второго стрелков равны 0,4 и 0,7 соответственно. Найти вероятность попадания в мишень.
Обозначим
А = {попадание 1-м стрелком},
В = {попадание 2-м стрелком}.
Тогда А В = {попадание в мишень}.
Применяя теорему сложения для независимых событий, получаем
Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)) = 0,4 + 0,7 – 0,4 0,7 = 0,82.
Пример. Выполняется два выстрела по мишени с вероятностями попадания 0,4 при первом выстреле и 0,7 при втором выстреле. Вероятность поражения центра мишени при попадании равна 0,6. Найти
1) вероятность попадания в мишень;
2) вероятность поражения центра мишени при первом выстреле;
3) вероятность поражения центра мишени при двух выстрелах;
4) вероятность поражения центра мишени только вторым выстрелом. Обозначим
А = {попадание при 1-м выстреле},
В = {попадание при 2-м выстреле},
С = {поражение центра мишени}. Тогда
A B = {попадание в мишень},
A C = {поражение центра мишени при первом выстреле},
(В С) = {поражение центра мишени только вторым выстрелом}.
1) Р(А В) = 0,4 + 0,7 – 0,4 0,7 = 0,82 .
2) Р(А С) = 0,4 0,6 = 0,24 .
3) Р(С) = Р((А С) (В С)) = 0,24 + 0,42 – 0,24 0,42 = 0,56.
4) Р(( ) (В С) = (1 – 0,24) 0,42 = 0,32.
Пример. Определить надежность системы, составленной из шести независимо работающих элементов. Надежности элементов: Схема соединения элементов представлена на рисунке 13.2а.
Рис. 13.2а Рис. 13.2б
Рис. 13.2в
Элементы (2) и (3) соединены последовательно. Заменяем их элементом (2,3) с надежностью . Элементы (4) и (5) соединены параллельно. Заменяем их элементом (4,5) с надежностью . Вместо исходной системы рассматриваем эквивалентную ей систему элементов (1), (2,3), (4,5), (6), соединенных по схеме на рис. 13.2б. Элементы (1) и (2,3) соединены параллельно, их надежность определяется формулой .
Элементы (4,5), (6) соединены параллельно, их надежность равна Таким образом, вместо исходной системы мы можем рассматривать систему из двух последовательно соединенных элементов (1,2,3) и (4,5,6) с надежностями и соответственно (рис. 13.2в). Надежность этой системы
.
Подставляя надежности элементов, получим для надежности системы