![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •Математическая статистика Учебное пособие
- •Введение
- •1. Описательная статистика
- •1.1. Выборка
- •1.2. Статистическое распределение выборки
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •1.4. Числовые характеристики выборки
- •2. Статистические оценки параметров теоретического распределения
- •2.1. Точечные и интервальные оценки
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •2.3. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.4. Примеры статистических расчетов
- •3. Проверка статистических гипотез
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •3.3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
- •3.4. Критерии согласия
- •3.5. Критерий согласия Пирсона
- •3.6. Критерий согласия Колмогорова
- •3.7. Примеры проверки гипотез
- •Приложения
- •Для двусторонней критической области
- •Значения коэффициента q(, k)
- •Критические точки распределения χ2
- •Функция распределения k(t)
- •Содержание
- •Математическая статистика
- •190031, СПб., Московский пр., 9.
3.5. Критерий согласия Пирсона
Одна из возможных реализаций критерия согласия для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины была предложена Пирсоном. Применение критерия Пирсона возможно, если выборка представлена в виде сгруппированного вариационного ряда (см. таблицу 1.2.3).
Рассмотрим сначала
случай, когда проверяется гипотеза о
нормальном распределении генеральной
совокупности с параметрами
и
.
Для нормального закона распределения
(см. параграф 2.3), можно найти предполагаемые
вероятности попадания случайной величины
в любой промежуток
:
.
Отметим, что для
промежутков
;
;
,
вероятность
не изменится [3]. Чтобы выполнялось
равенство
,
крайние промежутки
и
делают полубесконечными:
и
.
В каждом интервале эмпирические частоты
не должны существенно отличаться от
теоретических вероятностей
,
вычисленных в предположении о нормальном
распределении генеральной совокупности.
Следовательно, если верна нулевая
гипотеза, то сумма величин nj/n – pj
не должна быть
слишком большой. Пирсон предложил для
проверки нулевой гипотезы использовать
случайную
величину
,
где r – количество интервалов сгруппированного вариационного ряда.
Значение U
зависит от общей степени расхождения
эмпирических частот
и теоретических вероятностей
во всех интервалах. Возведение в квадрат
исключает возможность взаимного
погашения отрицательных и положительных
разностей. Поправочный коэффициент
меняет вес слагаемых в зависимости от
вероятности попадания Х в данный
интервал. В интервалах с большей
вероятностью
,
и, следовательно, с увеличенными
значениями
,
допускаются большие отклонения
эмпирической частоты от теоретической
вероятности. Для выборок большего объема
n разности
должны быть меньше, чтобы критерий
Пирсона принял то же самое значение.
Следует отметить, что величина U
для конкретной выборки зависит не только
от значений вариант, но она изменится
при другом выборе границ промежутков
.
Пирсон доказал,
что в случае справедливости основной
гипотезы
,
случайная
величина U
при большом объеме выборки имеет
распределение, близкое к распределению
χ2
с k = r – 3
степенями свободы [3]. Поэтому критерий
Пирсона часто
называют
критерием «хи-квадрат».
Числом степеней свободы в данном случае
называется разность между числом
столбцов r
в таблице 1.2.3 (т.е. количеством интервалов,
на которые разбит весь диапазон изменения
вариант) и количеством формул, связывающих
между собой значения вариант. Элементы
выборки использовались при вычислении
точечных оценок
и s,
а, кроме того,
.
Критические значения
сведены в таблицу (см. приложение 3). Если
в конкретной выборке
и при этом
,
то гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности отвергается.
Критерий Пирсона для нормального распределения можно применять, когда количество результатов наблюдений больше 50. При этом рекомендуется в каждом интервале иметь не менее пяти наблюдений. Если частоты отдельных интервалов малы, то следует объединять соседние интервалы. Существуют методы [5] проверки нормальности распределения при числе наблюдений от 16 до 50, а при меньшем количестве наблюдений принадлежность их к нормальному распределению не проверяется.
Отметим, что
критерий Пирсона можно применять для
функций распределения
отличных от нормального закона. В этом
случае выводы справедливы, если значения
достаточно велики, что возможно при
выборках большого объема
.