3.6. Критерий согласия Колмогорова

При любом критерии согласия сравниваются две функции распределения: эмпирическая и предполагаемая теоретическая . Если расхождения между ними велики, то гипотеза о том, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид , отвергается. В критерии Колмогорова степень расхождения оценивается максимальной (при всех возможных значениях х) величиной разности опытной и теоретической функций. Рассмотрим случайную величина , где . При справедливости гипотезы и больших объемах выборки n случайная величина Т имеет функцию распределения близкую к , некоторые значения которой приведены в приложении 5. Задав уровень значимости , можно по таблице найти значение при котором . Если в конкретной выборке Т примет значение и при этом , то гипотеза о том, что функция распределения генеральной совокупности равна , отвергается. Если , то статистические данные не противоречат гипотезе .

3.7. Примеры проверки гипотез

I. Пусть по двум независимым выборкам (объемом и соответственно), полученным из нормальных генеральных совокупностей, вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Чтобы убедится в том, что различие между и несущественно (незначимо), проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Согласно критерию Фишера, прежде всего, надо вычислить отношение большей дисперсии к меньшей:

.

При конкурирующей гипотезе критическая область является односторонней. При уровне значимости и степенях свободы и в таблице приложения 4 находим . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о равенстве генеральных дисперсий и различие между и незначимо.

II. Пусть имеются две независимые выборки из генеральных совокупностей X и Y объемом и соответственно. Для них вычислены выборочные средние ; и исправленные выборочные дисперсии ; . Проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних, чтобы убедиться в том, что различие между величинами и можно считать незначимым.

Значение t, удовлетворяющее уравнению , находим по таблице приложения 1. При уровне значимости величина является приближенным решением этого уравнения, так как . При найденном значении t вычисляем

;

.

Так как 0 попадает в интервал (–0,15; 0,39) то гипотеза принимается.

III. Результаты 200 измерений некоторой физической величины представлены в таблице 3.7.1 сгруппированным вариационным рядом.

Таблица 3.7.1

Интервал	[3; 4]	(4; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 9]	(9; 10]	(10; 11]
	3	7	26	56	64	30	12	2

Требуется с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Проверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона состоит из нескольких этапов.

1. По выборке вычисляются точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения .

2. В каждом промежутке определяются эмпирические частоты и теоретические вероятности.

3. Для данной выборки вычисляется наблюдаемое значение критерия Пирсона.

4. Задается уровень значимости и подсчитывается количество степеней свободы.

5. По таблице приложения 3 определяется значение .

6. Если , то гипотеза отвергается как маловероятная.

1) Определив объем выборки , вычисляем выборочное среднее и несмещенную оценку среднеквадратического отклонения :

;

;

;

;

;

.

Таблица 3.7.2

Интервал		(– ; 5]		(5; 6]		(6; 7]		(7; 8]		(8; 9]		(9; )
Граница			5		6		7		8		9
		10		26		56		64		30		14
			– 1,66		– 0,87		– 0,075		0,72		1,51
	– 0,5		– 0,45		– 0,31		– 0,03		0,26		0,43		0,5
		0,05		0,14		0,28		0,29		0,17		0,07
		10		28		56		58		34		14
		0		2		0		6		4		0
		0		0,14		0		0,62		0,47		0

2) Теперь, используя таблицу приложения 1, надо найти теоретические вероятности попадания варианты в каждый промежуток

,

и определить

Вычисления удобно проводить в таблице 3.7.2. Предварительно следует изменить таблицу 3.7.1, объединив первый столбец со вторым и седьмой столбец с восьмым, так как в крайних столбцах количество вариант меньше пяти.

Сначала в граничных точках вычисляем аргументы функции Лапласа. Например, для промежутка (7; 8] имеем

,

.

По таблице приложения 1 вычисляем теоретическую вероятность попадания варианты в промежуток (7; 8]

.

Функции является нечетной, следовательно,

.

В последней строке таблицы 3.7.2 помещены значения . Для промежутка [7; 8) эта величина принимает значение .

3) Суммируя все числа последней строки, получаем . Полученное число необходимо сравнить с величиной .

4) Выбираем уровень значимости . Количество интервалов вариационного ряда, приведенного в таблице 3.7.2, равно шести, следовательно, число степеней свободы .

5) В таблице приложения 3 параметрам и соответствует значение .

6) при выбранной надежности 0,95, следовательно, отвергать гипотезу оснований нет. Предположение о том, что исследуемая физическая величина распределена по нормальному закону с параметрами , , не противоречит результатам измерений.

Следовательно, можно считать, что функция плотности вероятности изучаемой физической величины имеет вид (см. параграф 2.3)

.

Значения функции приведены в таблице приложения 1, а график изображен на рисунке 3.7.1 сплошной линией. Отдельные точки на том же рисунке соответствуют относительной частоте выборки . Очевидно, что теоретическое распределение вполне согласуется с результатами выборки.

Рис. 3.7.1

IV. Проверить гипотезу , выдвинутую в предыдущей задаче, с помощью критерия Колмогорова.

Проверка нулевой гипотезы по критерию Колмогорова также состоит из нескольких этапов.

1. Вычисляются значения эмпирической и теоретической функций распределения.

2. Определяется наибольшее расхождение между этими функциями, т.е.

3. Вычисляется .

4. Задается уровень значимости .

5. По таблице приложения 5 выбирается , при котором .

6. Если , то гипотеза отвергается как маловероятная.

1) Во всех точках (см. таблицу 1.3.2) найдем разность двух функций распределения: эмпирической и предполагаемой теоретической при и . Результаты вычислений представим в виде таблицы 3.5.3.

Таблица 3.7.3

Интервал	[3; 4]	(4; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 9]	(9; 10]	(10; 11]
	3	7	26	56	64	30	12	2
	3	10	36	92	156	186	198	200
	0,015	0,05	0,18	0,46	0,78	0,93	0,99	1
	–2,46	–1,66	– 0,87	– 0,075	0,72	1,51	2,31	3,01
	– 0,493	– 0,45	– 0,31	– 0,03	0,26	0,43	0,4896	0,499
	0,007	0,05	0,19	0,47	0,76	0,93	0,99	1
	0,008	0	0,01	0,01	0,02	0	0	0

Например, для первого интервала, в котором ,

.

По таблице приложения 1 вычисляем значения теоретической функции распределения в граничных точках

.

Например, для первого интервала,

.

Модуль разности значений двух вычисленных функций записываем в последнюю строку таблицы.

2) Наибольшее число последней строки расположено в пятом столбце, поэтому принимаем .

3) С учетом объема выборки находим значение, которое приняла случайная величина Т для данной выборки:

.

4) При уровне значимости значение функции распределения Колмогорова должно равняться 0,95.

5) В таблице значений (см. приложение 5) в одиннадцатой строке и шестом столбце расположено число 0,9505, следовательно, .

6) При нет оснований отвергать гипотезу .

Можно считать, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид

.

График этой функции изображен на рисунке 3.7.2 сплошной линией. Отдельные точки на том же рисунке соответствуют значениям эмпирической функции распределения . Очевидно, что теоретическое распределение вполне согласуется с результатами выборки.

Рис. 3.7.2

В заключение приведем критические значения и распределения Колмогорова для других уровней значимости ( и соответственно).