Результат
========== Сходящиеся ряды ==============
Значения остаточных членов 1-го и 2-го сходящихся рядов и их суммы
dS1=S1(n)-S1(n-1) = 0.00216
dS2=S2(n)-S1(n-1) = 0.00761
dS=S(n)-S(n-1) = 0.00978
============ Расходящиеся ряды =========
Значения остаточных членов 1-го и 2-го расходящихся рядов и их суммы
dS1=S1(n)-S1(n-1) = 0.04773
dS2=S2(n)-S1(n-1) = 0.32846
dS=S(n)-S(n-1) = 0.37619
Решение
- ряд
расходится, как обобщенный гармонический
ряд
- ряд
расходится, его члены меньше заведомо
сходящегося ряда.
- ряд
расходится, его члены меньше заведомо
сходящегося ряда обобщенного гармонического
ряда с p>1
Ряд расходится – это доказывает признак сходимости Даламбера
Ряд сходится, поскольку сходится соответствующий интеграл – интегральный признак сходимости Коши.
Ряд расходится, поскольку расходится соответствующий интеграл.
Текст программы
clear;clc;close all
% Практикум 3. Числовые ряды
% Упражнение 6 (Upr_3_6.m)
disp('=========== Знакоположительный ряд a=n/2^n ===========')
a=@(n) n./2.^n;
[n1, S1, n2, S2] =Ryd(a,1,0.001);
fprintf(' При n1=%2i a(n+1)/a(n)<=1 и S=%5.3f\n',[n1 S1])
fprintf(' Для остаточного члена Rn<=0.001 n=%2i , а S=%5.3f\n',[n2 S2])
disp(' ')
disp('=========== Знакоположительный ряд a=1/n! =============')
a=@(n) 1./factorial(n);
[n1, S1, n2, S2] =Ryd(a,0.5,0.001);
fprintf(' При n1=%2i a(n+1)/a(n)<=0.5 и S=%5.3f\n',[n1 S1])
fprintf(' Для остаточного члена Rn<=0.001 n=%2i , а S=%5.3f\n',[n2 S2])
function [k1, S1, k2, S2] =Ryd(a,eps1,eps2)
% Функция вычисляющая количество членов ряда k1 и сумму ряда S1,
% при которых отношение a(k1+1)/a(k1)>=eps1
% А так же количество членов ряда k2 и сумму ряда S2 при которых
% остаточный член ряда % R<eps2
% a - общий член ряда
% eps1, eps2 - заданные точности
k1=1;
S1=a(1);
while a(k1+1)/a(k1)>=eps1
k1=k1+1;
S1=S1+a(k1);
end
k2=1;S2=a(1);
R=a(k2+1)/(1-a(k2+1)/a(k2));
while R>=eps2
k2=k2+1;
S2=S2+a(k2);
R=a(k2+1)/(1-a(k2+1)/a(k2));
end
Результат
=========== Знакоположительный ряд a=n/2^n ===========
При n1= 2 a(n+1)/a(n)<=1 и S=1.000
Для остаточного члена Rn<=0.001 n=14 , а S=1.999
=========== Знакоположительный ряд a=1/n! =============
При n1= 2 a(n+1)/a(n)<=0.5 и S=1.500
Для остаточного члена Rn<=0.001 n= 6 , а S=1.718
Текст программы
clear;clc;close all
% Практикум 3. Числовые ряды
% Упражнение 7 (Upr_3_7.m)
disp('========== Знакочередующийся ряд a=(-1)^(n-1)/n ===============')
syms n
Lim_a=limit(1/n,n,inf,'left');% Предел общего члена ряда
fprintf('lim(an) при n=> inf = %2.0f - ряд сходится\n',double(Lim_a))
a=@(n) (-1).^(n-1)./n;
% Вычисление суммы ряда
[S,n]=Inf_Ryd(a,0.001);
fprintf('Сумма ряда с точностью 0.001 содержит n=%3i слагаемых и равна S=%5.3f\n',[n S])
disp(' ')
disp('=========== Знакочередующийся ряд a=(-1)^(n-1)/n^2 ================')
syms n
Lim_a=limit(1/n^2,n,inf,'left');% Предел общего члена ряда
fprintf('lim(an) при n=> inf = %2.0f - ряд сходится\n',double(Lim_a))
a=@(n) (-1).^(n-1)./n.^2;
% Вычисление суммы ряда
[S,n]=Inf_Ryd(a,0.001);
fprintf('Сумма ряда с точностью 0.001 содержит n=%3i слагаемых и равна S=%5.3f\n',[n S])
function [S, n]=Inf_Ryd(a,eps)
% Функция вычисления суммы бесконечного ряда с заданной точностью eps
% a - общий член ряда
% eps - заданная точность
% S - сумма ряда
% n - количество членов ряда необходимое для достижения заданной точности
S=0; n=1;
while abs(a(n))>eps
S=S+a(n);
n=n+1;
end