Лабораторная
работа №5
Компьютерный
практикум по математическому анализу
никитина
дарья пин-21д
Текст программы
clear;clc;close all
% Практикум 6. Дифференцирование функции нескольких переменных.
% Упражнение 1. (Upr_6_1.m)
disp(' Вычисление частных производных')
syms x y
z=cos(x+y^2);
dzdx=diff(z,x) ; disp( 'z''x=')
disp( dzdx)
dzdy=diff(z,y);
disp( 'z''y='); disp( dzdy)
d2zdx=diff(z,x,2);
disp( 'z''''x='); disp( d2zdx)
d2zdy=diff(z,y,2);
disp( 'z''''y='); disp( d2zdy)
d2zdxdy=diff(dzdx,y);
disp( 'z''''xy='); disp( d2zdxdy)
% Поиск градиента функции а точке (1, 2, -3)
disp('Вычисление градиента функции')
syms x y z
v=2*x^3*y+x-z;
disp(v)
Grs=[diff(v,x) diff(v,y) diff(v,z)];
disp('Символьный вид градиента')
disp(Grs)
Gr=subs(Grs,[x, y,z],[1,2,-3]);
disp('Значение градиента в точке (1, 2, -3)')
disp(Gr)
Результат
Вычисление частных производных
z'x=
-sin(y^2 + x)
z'y=
-2*y*sin(y^2 + x)
z''x=
-cos(y^2 + x)
z''y=
- 2*sin(y^2 + x) - 4*y^2*cos(y^2 + x)
z''xy=
-2*y*cos(y^2 + x)
Вычисление градиента функции
2*y*x^3 + x - z
Символьный вид градиента
[ 6*y*x^2 + 1, 2*x^3, -1]
Значение градиента в точке (1, 2, -3)
[ 13, 2, -1]
Текст программы
clear;clc
% Практикум 6. Дифференцирование функции нескольких переменных.
% Упражнение 2. (Upr_6_2.m)
syms r t z
% а) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической
% формулы перехода от декартовой системы координат к цилиндрической
x=r*cos(t);
y=r*sin(t);
z=z;
disp('Якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической')
A=[diff([x;y;z],r) diff([x;y;z],t) diff([x;y;z],z) ]
disp('Определитель Якобиана')
I=det(A)
disp('Упрощенное выражение определителя')
I=simplify(I)
disp('Якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической')
% а) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к
% сферической
syms r t z u
% формулы перехода от декартовой системы координат к сферической
x=r*cos(t)*cos(u);
y=r*sin(t)*cos(u);
z=r*sin(u);
A=[diff([x;y;z],r) diff([x;y;z],t) diff([x;y;z],u) ]
disp('Определитель Якобиана')
I=det(A)
disp('Упрощенное выражение определителя')
I=simplify(I)
Результат
Якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической
A =
[ cos(t), -r*sin(t), 0]
[ sin(t), r*cos(t), 0]
[ 0, 0, 1]
Определитель Якобиана
I =
r*cos(t)^2 + r*sin(t)^2
Упрощенное выражение определителя
I =
r
Якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической
A =
[ cos(t)*cos(u), -r*cos(u)*sin(t), -r*cos(t)*sin(u)]
[ cos(u)*sin(t), r*cos(t)*cos(u), -r*sin(t)*sin(u)]
[ sin(u), 0, r*cos(u)]
Определитель Якобиана
I =
r^2*cos(t)^2*cos(u)^3 + r^2*cos(t)^2*cos(u)*sin(u)^2 + r^2*cos(u)^3*sin(t)^2 + r^2*cos(u)*sin(t)^2*sin(u)^2
Упрощенное выражение определителя
I =
r^2*cos(u)
Текст программы
clear;clc
% Практикум 6. Дифференцирование функции нескольких переменных.
% Упражнение 3a). (Upr_6_3а.m)
%а) Найдите первый дифференциал dz функции
syms x y z dx dy
z=x*y^2+2*y-x^2
dzx=diff(z,x)
dzy=diff(z,y)
d1x=0.1; d1y=0.2;
x0=2;y0=-1;
disp('Дифференциал 1-го порядка в символьном виде')
dzs=dzx*dx+ dzy*dy
disp('Численное значение дифференциала 1-го порядка ')
dz=subs(dzx,[x,y],[x0,y0])*d1x+subs(dzy,[x,y],[x0,y0])*d1y