Результат
Необходимый признак сходимости рядов Un и Vn с общими членами:
(n + 1)^(1/3)/n
((n + 3)/(n + 1))^(2*n - 1)
lim(Un) при n=> inf = 0
lim(Vn) при n=> inf = 55 - ряд расходится
Интегральный признак сходимости
Интеграл от Un от 1 до inf = 1.70608e+11 - ряд Un расходится
Текст программы
clear;clc;close all
% Практикум 3. Числовые ряды
% Упражнение 3 (Upr_3_3.m)
disp('Необходимый признак сходимости')
% Иллюстрация двух расходящихся рядов
% с общими членами стремящимися к нулю при n=>inf
syms n
Un=(n^2+1)/n^3
Lim_U=limit(Un,n,inf,'left');% Предел общего члена ряда
fprintf('lim(Un) при n=> inf = %2.0f \n',double(Lim_U))
Vn=n/(1+n^2)
fprintf('lim(Un) при n=> inf = %2.0f \n',double(Lim_U))
disp(' ')
n=30;
ss=' Un=(n^2+1)/n^3';
a=@(n) (n.^2+1)./n.^3;
figure
S=Ranks(a,n,ss);
pause(0.8)
fprintf('Сумма %2i членов ряда Un=(n^2+1)/n^3 равна %5.3f\n',[n S(end)])
%-------------------------------
ss=' Vn=n/(1+n^2)';
a=@(n) n./(1+n.^2);
figure
S=Ranks(a,n,ss);
pause(0.8)
fprintf('Сумма %2i членов ряда Vn=n/(1+n^2) равна %5.3f\n',[n S(end)])
function S=Ranks(a,n,ss)
% Функция, вычисляющая сумму ряда
% а - общий член ряда
% n - число слагаемых ряда
% ss - символьная величина, имеющая вид общего члена ряда
% S - вектор частичных сумм
S(1)=a(1);
for i=2:n
S(i)=S(i-1)+a(i);
end
i=1:n;
plot(i,a(i),'o-',i,S,'*-','LineWidth',1.5);grid
xlabel('i'); ylabel('an, Sn')
title(['Изменение членов ряда', ss , ' и частичных сумм ряда'])
legend('Последовательность an','Последовательность Sn','Location','northoutside','Orientation','horizontal')
Результат
Необходимый признак сходимости
Un =
(n^2 + 1)/n^3
lim(Un) при n=> inf = 0
Сумма 30 членов ряда Un=(n^2+1)/n^3 равна 5.197
Vn =
n/(n^2 + 1)
lim(Un) при n=> inf = 0
Сумма 30 членов ряда Vn=n/(1+n^2) равна 3.324
Доказать расходимость этих рядов можно с помощью признака сравнения их общих членов с гармоническим рядом
Текст программы
clear;clc;close all
% Практикум 3. Числовые ряды
% Упражнение 4 (Upr_3_4.m)
n=20;
disp('========== Сходящиеся ряды ============== ')
% 1-й ряд
ss=' Un=1/((n+1).*(n+2))';
U1=@(n) 1./((n+1).*(n+2));
S1=Ranks(U1,n,ss);
dS1=S1(n)-S1(n-1);
figure
%2-й ряд
ss=' Un=log(n+1)/n^2';
U2=@(n) log(n+1)./n.^2;
S2=Ranks(U2,n,ss);
dS2=S2(n)-S2(n-1);
% Суммы сходящихся рядов
figure
ss=' Un=1/(n+1).*(n+2)+log(n+1)/n^2';
U=@(n) U1(n)+U2(n);
S=Ranks(U,n,ss);
dS=S(n)-S(n-1);
disp('Значения остаточных членов 1-го и 2-го сходящихся рядов и их суммы')
fprintf('dS1=S1(n)-S1(n-1) = %7.5f\n',dS1)
fprintf('dS2=S2(n)-S1(n-1) = %7.5f\n',dS2)
fprintf(' dS=S(n)-S(n-1) = %7.5f\n',dS)
disp(' ')
%% ==============================================
disp('============ Расходящиеся ряды =========')
% 1-й ряд
ss=' Un=(n+1)/((n+2)*n)';
U1=@(n) (n+1)./((n+2).*n);
figure
S1=Ranks(U1,n,ss);
dS1=S1(n)-S1(n-1);
figure
%2-й ряд
ss=' Un=1/ln(n+1)';
U2=@(n) 1./log(n+1);
S2=Ranks(U2,n,ss);
dS2=S2(n)-S2(n-1);
% Суммы расходящихся рядов
figure
ss=' Un=(n+1)/((n+2)*n)+1/ln(n+1)';
U=@(n) U1(n)+U2(n);
S=Ranks(U,n,ss);
dS=S(n)-S(n-1);
disp('Значения остаточных членов 1-го и 2-го расходящихся рядов и их суммы')
fprintf('dS1=S1(n)-S1(n-1) = %7.5f\n',dS1)
fprintf('dS2=S2(n)-S1(n-1) = %7.5f\n',dS2)
fprintf(' dS=S(n)-S(n-1) = %7.5f\n',dS)
function S=Ranks(a,n,ss)
% Функция, вычисляющая сумму ряда
% а - общий член ряда
% n - число слагаемых ряда
% ss - символьная величина, имеющая вид общего члена ряда
% S - вектор частичных сумм
S(1)=a(1);
for i=2:n
S(i)=S(i-1)+a(i);
end
i=1:n;
plot(i,a(i),'o-',i,S,'*-','LineWidth',1.5);grid
xlabel('i'); ylabel('an, Sn')
title(['Изменение членов ряда', ss , ' и частичных сумм ряда'])
legend('Последовательность an','Последовательность Sn','Location','northoutside','Orientation','horizontal')