ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

71

50. Градиент функции, его свойства

Определение 31. Градиентом функции u(x; y; z) называется

вектор-функция

grad u = (u′x; u′y; u′z):

Свойства (легко доказываются, исходя из определения).

1.grad C = 0.

2.grad Cu = C grad u.

3.grad(u1 + u2) = grad u1 + grad u2.

4.grad(u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1.

Отметим, что нормаль к поверхности уровня u(x; y; z) = c (см. (24)) совпадает с градиентом функции u(x; y; z)

n= grad u:

51.Производная по направлению ее связь с градиентом

y è z. Но можно рассмотреть скорость изменения функции и по

любому направлению.

Пусть задан вектор l и точка M0. Проведем из точки M0 ëó÷ ïî направлению, задаваемому вектором l.

Ðèñ. 45

Определение 32. Частной производной функции u(M) ïî íà- правлению l в точке M0 называется величина

где точка M лежит на луче, задаваемом вектором l.

Пусть функция u дифференцируема в точке M0 = (x0; y0; z0) è

M= (x0 + ∆x; y0 + ∆y; z0 + ∆z). Тогда

u(M) u(M0) = u′x∆x + u′y∆y + u′z∆z + "1∆x + "2∆y + "3∆z;

В правой части стоит скалярное произведение градиента функции u на орт вектора l. Таким образом,

Пусть имеется функция u = u(x; y; z). В каком направлении у нее наибольший рост? Из формулы (25) получаем

@u

@l = j grad ujjelj cos φ j grad uj;

ãäå φ угол между grad u и вектором l. Отсюда видно, что на-

правление максимального роста функции совпадает с ее градиентом. Иными словами, нормальный вектор к поверхности уровня функции указывает направление ее максимального роста.

73

Лекция 13 апреля 2021 г.

52. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных

Пусть задана функция z = z(x; y). Ее частные производные zx′ è zy′ являются снова функциями двух переменных, и можно рас-

сматривать их частные производные. Так возникают частные производные второго порядка

zxx′′ = (zx′ )′x; zxy′′ = (zx′ )′y; zyx′′ = (zy′ )′x; zyy′′ = (zy′ )′y:

Аналогичным образом определяются частные производные более высоких порядков. Например, zxxy′′′ = (zxx′′ )′y.

Частные производные высших порядков, в которых участвуют разные переменные, называют смешанными. Используют также и такие обозначения

Пример 30. Найти частные производные второго порядка функции z = x2exy + y sin x.

Имеем

zx′ = 2xexy + x2yexy + y cos x = (2x + x2y)exy + y cos x; zy′ = x3exy + sin x:

Далее,

В предыдущем примере оказалось, что zxy′′ = zyx′′ . Это не случай- ное совпадение. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 33. Если у функции z(x; y) смешанные производные вто-

рого порядка непрерывны в некоторой точке, то они совпадают в

этой точке

zxy′′ = zyx′′ :

Пример 31. Пусть у функции u(x; y; z) все смешанные производные до третьего порядка непрерывны. Доказать, что

u′′′xyz = u′′′zxy:

Имеем

u′′′xyz = (u′x)′′yz = (u′x)′′zy = (u′′xz)′y = (u′′zx)′y = u′′′zxy:

74

Напомним, что дифференциал функции z(x; y) имеет вид dz = zx′ ∆x + zy′ ∆y;

ãäå ∆x, ∆y приращения аргументов (можно писать и dx, dy).

Если считать приращения фиксированными числами, то сам дифференциал есть функция двух переменных, и можно снова рассмотреть ее дифференциал. Так мы приходим к понятию второго дифференциала

d2z = d(dz) = d(zx′ ∆x + zy′ ∆y)

= (zx′ ∆x + zy′ ∆y)′x∆x + (zx′ ∆x + zy′ ∆y)′y∆y

= zxx′′ ∆x2 + 2zxy′′ ∆x∆y + zyy′′ ∆y2 (26)

(здесь используется тот факт, что если функция дважды дифференцируема, то смешанные производные второго порядка равны).

В общем случае определение дифференциала n-го порядка тако-

âî

dnz = d(dn 1z):

Для дифференциала третьего порядка получаем следующее выражение

d3z = zxxx′′′ ∆x3 + 3zxxy′′′ ∆x2∆y + 3zxyy′′′ ∆x∆y2 + zyyy′′′ ∆y3:

Здесь легко усматривается аналогия с формулой для суммы в третьей степени. Эта аналогия остается справедливой для любого порядка.

53. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Напомним, что если у функции f(x) в окрестности точки x0 èìå- ются все производные до порядка n + 1 è f(n+1)(x) непрерывна в

этой окрестности, то имеет место равенство (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

f(x0 + ∆x) = f(x0) + f′(x0)∆x + f′′(x0)∆x2 + f′′′(x0)∆x3 1! 2! 3!

+ : : : + f(n)(x0)∆xn + Rn(x); n!

ãäå

Если перенести в этой формуле f(x0) влево и полученное полное приращение функции обозначить через ∆f, то получим формулу Тейлора в дифференциальной форме

75

Пусть теперь f функция двух переменных, и в точке (x0; y0) имеются приращения ∆x è ∆y. Рассмотрим функцию

F (t) = f(x0 + t∆x; y0 + t∆y):

Выпишем для нее формулу Тейлора

Найдем F ′(0). Имеем

F ′(0) = fx′ ∆x + fy′ ∆y = df:

Далее,

F ′′(0) = fxx′′ ∆x2 + 2fxy′′ ∆x∆y + fyy′′ ∆y2 = d2f:

Можно показать, что и в общем случае F (k)(0) = dkf. Таким образом, учитывая, что

Аналогичное выражение полного приращения через дифференциалы имеет место для функций любого числа переменных.

54. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Критические точки

Мы снова остановимся на случае, когда задана функция двух переменных.

Определение 33. Точка (x0; y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x; y), если существует такая окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство

f(x; y) f(x0; y0) (f(x; y) f(x0; y0)):

Определение 34. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума функции.

Теорема 34 (необходимое условие экстремума) . Если функция f(x; y) имеем экстремум в точке (x0; y0) и в этой точке существуют частные производные, то

fx′ (x0; y0) = 0; fy′ (x0; y0) = 0:

77

Подставляя эти выражения в формулу для дифференциала второго порядка (см. (26)), имеем

Запишем точку (∆x; ∆y) в полярной системе координат

∆x = cos φ;

∆y = sin φ

√

( = ∆x2 + ∆y2). Тогда полное приращение функции f можно записать в виде

∆f = 2 (A cos2 φ + 2B cos φ sin φ + C sin2 φ 2

+ cos2 φ + 2 cos φ sin φ + sin2 φ):

1. Рассмотрим случай, когда ∆ > 0 (очевидно, что в этом случае A ≠ 0). Тогда

Ïðè âñåõ φ значение Ω положительно. Кроме того, как непрерывная функция, Ω достигает своего минимума m > 0. Поэтому Ω m ïðè âñåõ φ. С другой стороны,

j!j jAj(j j + 2j j + j j):

Тем самым ! бесконечно малая при ∆x; ∆y ! 0. Следовательно, в достаточно малой окрестности точки (x0; y0) Ω + ! > 0, ò.å. ∆f сохраняет знак, который совпадает со знаком A. Это означает, что при ∆ > 0 в точке (x0; y0) у функции f(x; y) имеется экстремум, причем при A > 0 минимум, а при A < 0 максимум.

2. Пусть теперь ∆ < 0. Рассмотрим сначала случай, когда A ≠ 0. Положим φ = 0. Тогда Ω = A2 > 0. Если выбрать φ так, чтобы

A cos φ + B sin φ = 0;

òî Ω < 0. Â ñèëó òîãî, ÷òî ! бесконечно малая, отсюда следует, что в любой окрестности точки (x0; y0) существуют точки, в которых ∆f имеет разные знаки. Это означает, что в точке (x0; y0) нет экстремума.

Пусть теперь ∆ < 0 è A = 0. Тогда

2

∆f = 2 (Ω1 + !1);

78

ãäå

Ω1 = 2B cos φ sin φ + C sin2 φ; !1 = 2 cos φ sin φ + sin2 φ:

Òàê êàê B ≠ 0, можно выбрать угол φ0 ≠ 0 такой, что

jCjj sin φ0j < 2jBjj cos φ0j:

Тогда выражение

Ω1 = sin φ(2B cos φ + C sin φ)

будет принимать разные знаки при φ = φ0. Èç òîãî, ÷òî !1 бесконечно малая, вытекает, что в любой окрестности точки (x0; y0)

существуют точки, в которых ∆f имеет разные знаки. Тем самым и в этом случае экстремума нет.

Пример 33. Исследовать на экстремумы функцию z = x2 + y2.

Имеем

zx′ = 2x; zy′ = 2y:

Точка (0; 0) является критической. Далее,

zxx′′ = 2; zxy′′ = 0; zyy′′ = 2:

Тем самым ∆ = 4 > 0. В точке (0; 0) экстремум. Так как zxx′′ > 0, то в этой точке минимум.

Пример 34. Исследовать на экстремумы функцию z = xy. Имеем

Тем самым ∆ = 1 < 0. В точке (0; 0) экстремума нет.

79

Лекция 20 апреля 2021 г.

56. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Пусть имеются функции fj(x1; : : : ; xn), j = 0; 1; : : : ; m: Рассматривается задача о нахождении экстремума функции f0(x1; : : : ; xn) при условии, что выполнены равенства

f1(x1; : : : ; xn) = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (27) fm(x1; : : : ; xn) = 0:

Равенства (27) называются уравнениями связи.

Определение 36. Точка (x01; : : : ; x0n) называется точкой условного локального максимума (минимума), если она удовлетворяет уравнениям связи (27) и существует такая окрестность этой точки, в которой для всех точек, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство

f0(x1; : : : ; xn) f0(x01; : : : ; x0n) (f0(x1; : : : ; xn) f0(x01; : : : ; x0n)):

Определение 37. Точки условного локального максимума и минимума называются точками условного локального экстремума.

Для решения этой задачи применяют метод Лагранжа. Он состоит в том, что выписывается функция Лагранжа

∑m

L(x1; : : : ; xn; 0; 1; : : : ; m) = jfj(x1; : : : ; xn):

j=0

Коэффициенты 0; 1; : : : ; m называются множители Лагранжа.

Затем ищутся критические точки этой функции, удовлетворяющие уравнениям связи.

Теорема 36. Пусть точка (x01; : : : ; x0n) является точкой условного локального экстремума и функции fj(x1; : : : ; xn), j = 0; 1; : : : ; m,

имеют частные производные непрерывные в окрестности точки (x01; : : : ; x0n). Тогда существуют, не все равные нулю, множители Лагранжа такие, что точка (x01; : : : ; x0n) является критической

для соответствующей функции Лагранжа.

80

Таким образом, точка условного локального экстремума должна удовлетворять системе уравнений

∑m

j(fj)′x1 (x1; : : : ; xn) = 0;

j=0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∑m

j(fj)′xn (x1; : : : ; xn) = 0:

j=0

А, кроме того, уравнениям связи (27).

Найти параллелепипед максимального объема с фиксированной площадью боковой поверхности S.

z

y

x

Ðèñ. 46

Объем равен V = xyz, а боковая поверхность S = 2(xy+xz +yz). Таким образом, функция Лагранжа имеет вид

L(x; y; z; 0; 1) = 0xyz + 12(xy + xz + yz):

Имеем систему

0yz + 12(y + z) = 0;0xz + 12(x + z) = 0;0xy + 12(x + y) = 0:

Если предположить, что 0 = 0, то из теоремы вытекает, что1 ≠ 0, но тогда решение системы x = y = z = 0. Эта точка не удовлетворяет уравнению связи. Тем самым 0 ≠ 0. Без ограниче- ния общности, можно считать 0 = 1 (разделим все равенства íà 0). Тогда будем иметь систему

yz + 12(y + z) = 0; xz + 12(x + z) = 0; xy + 12(x + y) = 0:

Умножим первое равенство на x, второе на y и третье на z. Сложив все три равенства, получим

3V = 2 1S: