Добавил:

d3YWMzbM Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2021

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

13. Свойства несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственные интегралы вида

∫ +1

f(x) dx:

Для остальных несобственных интегралов все рассмотренные свой-

ства сохраняются.		+1 f(x) dx äëÿ âñåõ
1. Åñëè	+1 f(x) dx сходится, то сходится	+1 f(x) dx äëÿ âñåõ
a1 > a.	∫a	∫a1

Доказательство. По обобщенной формуле Ньютона Лейбница

∫ +1

f(x) dx = F (+1) F (a):

Сходимость этого интеграла означает существование F (+1) = limx!+1 F (x). Следовательно,

			+
		∫a1 1 f(x) dx = F (+1) F (a1):
2. Åñëè	∫a	f(x)	+1		+1
2. Åñëè	∫a	f(x)	+1		+1	2 R
	+1	∫	dx сходится, то для всех C
		∫		∫

	Cf(x) dx = C		f(x) dx:
a			a	∫a
существование F (+1). Тогда				∫a
Доказательство. Из	сходимости интеграла			+1 f(x) dx
∫		+			∫
a+1 Cf(x) dx = CF (x) a 1= C(F (+1) F (a)) = C					a+1

следует

f(x) dx:

3. Åñëè +1		∫a	+1	∫a
						+1
	сходятся интегралы	+1 f(x) dx è			+1 g(x) dx, òî
∫a	(f(x) + g(x)) dx =	∫a		f(x) dx +	∫a	g(x) dx:

Доказательство. Пусть F (x) è G(x) первообразные f(x) è g(x).

∫

Из сходимости интегралов

+1 f(x) dx è

+1 g(x) dx следует су-

ществование

F (+ ) è

G(+

). Тогда

по обобщенной

формуле

Ньютона Лейбница

a+1(f(x) + g(x)) dx = (F (x) + G(x)) a 1

∫

f(x) dx +

g(x) dx:

= F (x) a

+G(x) a

14. Критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций

Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a; +1) è f(x) 0 ïðè x 2 [a; +1).

Теорема 6 (критерий сходимости несобственных интегралов от

неотрицательных∫ функций). Для сходимости несобственного ин- теграла a+1 f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы существо-

вала постоянная M такая, что

∫ b

f(x) dx M

äëÿ âñåõ b > a.

Доказательство. Необходимость. Пусть сходится интеграл

∫ +1

f(x) dx:

Тогда для первообразной F (x) функции f(x) существует

lim F (x) = F (+1):

x!+1

Отсюда следует, что функция F (x) ограничена, т.е. существует постоянная C такая, что F (x) C. Таким образом,

∫ b

f(x) dx = F (b) F (a) C F (a) = M:

Достаточность. Пусть для всех b > a

∫ b

f(x) dx M:

Тогда F (b) F (a) M. Отсюда вытекает, что функция F (x) ограничена сверху. Кроме того, F ′(x) = f(x) 0. Следовательно, F (x) монотонно возрастающая функция. По теореме Вейерштрасса монотонно возрастающая функция, ограниченная свер-

ху, имеет предел		F (+1)	. Отсюда вытекает сходимость интеграла
+	1 f(x) dx.
∫a

15. Признак сравнения сходимости несобственных интегралов

Теорема 7 (признак сравнения). Пусть f(x) è g(x) непрерывны

íà

[a; +1)

0 f(x) g(x)

. Тогда

∫

1 g(x) dx

åñëè

∫a

1 f(x) dx расходится, то

∫

1 g(x) dx сходится, то сходится и

1 f(x) dx;

åñëè

расходится и

y 6

g(x)

f(x)

Ðèñ. 38

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать только утверждение 1), так как, предположив в 2) противное, сразу приходим

к противоречию с утверждением 1).

Пусть ∫ +1 g(x) dx сходится. Тогда по критерию сходимости

несобственных интегралов от неотрицательных функций получа- ем, что существует постоянная M, для которой

∫ b

g(x) dx M

äëÿ âñåõ b > a. Следовательно,

∫ab f(x) dx ∫ab g(x) dx M:

Отсюда в силу того же критерия следует, что

∫a

1 f(x) dx

сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость интеграл

∫1

x + 7

x3 + 17

Будем применять признак сравнения. Имеем

x11=10

x + 7

x3 + 17

Поскольку 11=10 > 1, то интеграл

∫1

x11=10

сходится. Следовательно, исходный интеграл тоже сходится.

16. Абсолютная сходимость несобственных интегралов

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +1).

абсолютно, если сходится интеграл ∫a+1 jf(∫x)j dx.
Определение 8. Говорят, что интеграл	+1 f(x) dx сходится
	a

34	a+1 f(x) dx.		∫a	j		j
и интеграл	a+1 f(x) dx.		∫a	j		j
Теорема 8.	Если сходится интеграл		+1		f(x)		dx, то сходится
∫		В силу легко проверяемых соотношений
Доказательство.

0 c + jcj 2jcj

имеем

0 f(x) + jf(x)j 2jf(x)j:

По признаку сравнения

∫ +1

(f(x) + jf(x)j) dx

сходится. Значит, сходится и разность двух сходящихся интегралов
∫a+1(f(x) + jf(x)j) dx	∫a+1 jf(x)j dx = ∫a+1 f(x) dx:

Из доказанной теоремы вытекает, что возможны лишь следующие три∫ случая: ∫

1.+1 f(x) dx сходится и +1 jf(x)j dx сходится.

2.∫a+1 f(x) dx сходится, а ∫a+1 jf(x)j dx расходится.

3.∫a+1 f(x) dx расходится иa∫ +1 jf(x)j dx расходится.

a a

В первом случае, как было сказано, говорят, что интеграл сходится абсолютно. Во-втором случае говорят, что интеграл сходится условно. В третьем случае говорят, что интеграл расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость интеграл

∫1	+1 sin x	dx:
	x2

Рассмотрим интеграл

∫ +1 j sin xj dx:

1x2

Имеем	j sin xj	1		:
	j sin xj	1		:

	x2		x2

В силу того, что показатель степени у x больше 1,

+1 1
∫1 x2	dx

сходится. По признаку сравнения сходится и

∫ +1 j sin xj dx:

1x2

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно.

17.Числовые ряды

Âэтом разделе мы будем изучать суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Из школьной программы известна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + q + q2 + : : : + qn + : : : = 1 1 q ; jqj < 1:

Сначала нам надо дать четкие определения, связанные с тем, что мы будем понимать под суммами такого рода. Иначе может возникнуть некоторое непонимание, которое, например, возникает, когда мы хотим найти такую сумму

1 1 + 1 1 + 1 1 + : : : :

(4)

Кто-то может сказать, что здесь совершенно ясно, что в сумме будет 0. Ведь первое и второе слагаемые дают 0, а дальше третье и

четвертое в сумме снова 0 и так далее. Но другой может возразить

èсказать, что к единице прибавляют второе и третье слагаемые, что снова дает 1, а к ней прибавляют четвертое и пятое слагаемые

èснова получается единица. Так 0 или 1?

Начнем с определений.

Определение 9. Числовым рядом называется символ

	∑
	1
a1 + a2 + : : : + an + : : : èëè	an:
	n=1

Таким образом, числовой ряд это просто символ (не число!). А как же сумма? Потерпите чуть-чуть.

Определение 10. Частичной суммой числового ряда

∑1

n=1

называется

Sn = a1 + a2 + : : : + an:

Определение 11. Суммой числового ряда

∑1

n=1

называется число

S = lim Sn;

n!1

если этот предел существует, и в этом случае ряд называется сходящимся. В противном случае говорят, что ряд расходится.

Теперь мы можем исследовать ряд (4). Имеем

1;	n = 2k 1;
Sn = {0;	n = 2k:

Такая последовательность не имеет предела, поэтому ряд (4) является расходящимся рядом.

Займемся теперь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Легко проверить, раскрывая скобки, что

(1 q)(1 + q + q2 + : : : + qn				1) = 1	qn:
Отсюда				1	qn
Sn = 1 + q + q2 + : : : + qn 1				1	qn
				=		:
				=		:
				1	q
Â ñèëó òîãî, ÷òî
lim qn = 0
n!1
при любом q таком, что jqj < 1, получаем
lim Sn =	1		:
lim Sn =	1		:
n!1	1	q

Рассмотрим ряд

1 + 12 + 13 + 14 + 15 + : : : + n1 + : : : :

Этот ряд называется гармоническим рядом. Докажем, что он расходится. Рассмотрим его частичные суммы. Имеем

																S1 = 1;
																			1									3
												S2 = 1 +											=						;
												S2 = 1 +									2		=					2	;
													1				1		3									1				1
			S4 = S2 +												+				>						+					+					= 2;
			S4 = S2 +										3		+		4		>			2			+			4		+		4			= 2;
			1					1					1				1											1				1				1			1				5
S8 = S4 +						+					+				+				> 2 +											+				+			+				=			;
S8 = S4 +					5	+			6		+		7		+		8		> 2 +									8		+		8		+		8	+		8		=		2	;
S16 = S8 +	1	+	1			+		1				+			1		+		1				+				1			+		1			+		1

	9		10					11						12					13							14						15					16
	>		5	+			1			+			1		+			1		+				1				+			1		+			1		+		1		+		1	= 3:
	>		2	+						+		16			+					+			16					+					+					+	16			+		16	= 3:
			2			16						16					16						16							16						16			16					16

Продолжая эти оценки, получим, что

k S2k > 1 + 2 :

Отсюда следует, что

lim Sn = 1;

n!1

т.е. ряд расходится.

Лекция 9 марта 2021 г.

18. Свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд

∑1

an: (5)

n=1

Если отбросить первые его k членов, то получится ряд

ak+1 + ak+2 + : : : + ak+n + : : : ;

называемый остатком ряда (после k-го члена).

1. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток. Если сходится какой-то остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Доказательство. Пусть исходный ряд сходится. Это значит, что существует предел его частичных сумм

S = lim Sn:

n!1

Рассмотрим частичные суммы остатка

Sn′ = ak+1 + ak+2 + : : : + ak+n = Sk+n Sk:

Тогда

lim Sn′	= lim (Sk+n	Sk) = S Sk:		(6)
n!1	n!1
Следовательно остаток сходится.
Пусть сходится остаток. Тогда
	S′ = lim S′		:
Ïðè n > k имеем	n!1	n
Ïðè n > k имеем
	Sn = Sk + Sn′		k:
Отсюда
	lim Sn = Sk + S′:
	n!1
Следовательно ряд сходится.

Следствие 1. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда на сходимость не влияет.

Из (6) вытекает

Следствие 2. Сумма остатка после k-го члена стремится к 0 при k ! 1.

2. Если сходится ряд (5), то сходится и ряд

∑1

Can;

n=1

а его сумма равна произведению числа C на сумму исходного ряда.

Доказательство. Положим

∑n

Sn′ = Can:

k=1

Тогда		∑k
		∑k
		n
S′ = lim Sn′	= C lim	an	= C lim Sn = CS:
n!1	n!1	=1	n!1

3. Если сходятся ряды		∑
	∑	∑
	1	1
	an;		bn;		(7)
	n=1	n=1
то сходится и ряд	1
	1
	∑(an + bn);
	n=1
а его сумма равна сумме рядов (7).
Доказательство. Положим
An = a1 +: : :+an; Bn = b1 +: : :+bn;			A = lim An;		B = lim Bn:
Тогда			n!1		n!1
Тогда
n
C = lim (an + bn) = lim (An		+ Bn) = lim An + lim Bn = A + B:
n!1	n!1		n!1	n!1

∑

k=1

19. Необходимый признак сходимости

Теорема 9 (необходимый признак сходимости). Åñëè ðÿä

∑1

n=1

сходится, то

lim an = 0:

n!1

Доказательство. Положим

	Sn = a1 + : : : + an;		S = lim Sn:
Тогда			n!1
Тогда
		an = Sn	Sn 1:
Отсюда
lim an = lim an = lim (Sn			Sn 1) = S S = 0:
n!1	n!1	n!1

Теорема 10

в котором an

Необходимый признак сходимости применяется следующим образом: исследуют предел общего члена ряда, и если оказывается, что он не равен нулю, то ряд расходится. Но если он равен нулю, то ничего сказать о сходимости нельзя, надо применять другие признаки. Один из примеров, когда предел общего члена ряда равен нулю, а ряд расходится гармонический ряд, расходимость которого была доказана.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

∑
1		cos	1	:
n=1		cos	n	:
			n

Имеем	1
lim cos	1	= cos 0 = 1:
lim cos	n	= cos 0 = 1:
n!1	n

Ряд расходится по необходимому признаку.

20. Ряды с положительными членами. Критерий сходимости рядов с положительными членами

Ряд с положительными членами это ряд

∑1

an;

(8)

n=1

0 äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :.

(критерий сходимости рядов с положительными членами). Для сходимости ряда (8) с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная M

такая, что частичные суммы этого ряда удовлетворяют условию Sn M äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд (8) сходится. Тогда по определению существует предел последовательности частичных ñóìì Sn. Если предел последовательности существует, то она ограничена.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм Sn

ограничена сверху. В силу того, что рассматриваемый ряд с положительными членами, последовательность частичных сумм мо- нотонно возрастает Sn+1 Sn. По теореме Вейрштрасса монотон-

но возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет
предел. Следовательно, ряд сходится.
21. Признак сравнения
Теорема 11 (признак сравнения). Пусть
1	1
∑	∑
an;	bn
n=1	n=1

ряды с положительными членами и

			an bn;	n = 1; 2; : : : :
Тогда		∑n=1 an расходится, то и			∑		n=1 bn расходится.
2)
1)	åñëè ðÿä	∑	n1=1 bn сходится, то и ряд			n1=1 an сходится;
	åñëè ðÿä		1		ðÿä	∑	1

Доказательство. 1. Если ряд ∑1n=1 bn сходится, то по критерию сходимости найдется M, для которого

Bn = b1 + : : : + bn M

äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :. Тогда

	An = a1 + : : : + an b1 + : : : + bn = Bn M:					∑n=1
сходится.						∑n=1			n
Снова применяя критерий сходимости, получаем, что ряд							1	a
	∑		n=1	должен		∑
2. Пусть ряд n1=1 an расходится. Предположим, что ряд							n1=1 bn
ся. Полученное противоречие доказывает,		∑	1 an		n=1	n
сходится. Тогда по доказанному выше ряд			1 an	∑	1 b	сходит-
дится.		÷òî ðÿä		∑
		÷òî ðÿä					расхо-

Следствие 3. Утверждение теоремы 11 остается справедливым при выполнении неравенств

an Cbn;

(9)

ãäå C > 0, à n = N; N + 1; : : :.

Доказательство. Из свойств сходящихся рядов следует, что отбрасывание или добавление любого конечного числа слагаемых не влияет на сходимость. Поэтому можно считать, что неравенства (9) выполняются, начиная с первого члена. Из тех же свойств сходящихся

рядов следует, что умножение на любую постоянную, отличную от

нуля, тоже на сходимость не влияет.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

∑

n=1

n + 2p

Нетрудно убедиться, что

n + 2p

∑

Ðÿä

гармонический ряд, он расходится. По следствию 3

n=1

исследуемый ряд расходится.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>