Добавил:

d3YWMzbM Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2021

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

y 6		v 6
+
D			T

qO	-x	qO	-u

Ðèñ. 54

точностью до бесконечно малых более высокого порядка будет рав- íà jJ(uj; vj)j∆uj∆vj. Тем самым геометрический смысл якобиана в

том, что его значение является коэффициентом растяжения (или сжатия) площади при соответствующем преобразовании. Исполь-

зуя этот факт, доказывается следующая формула

∫∫ ∫∫

f(x; y) dxdy = f(x(u; v); y(u; v))jJ(u; v)j dudv;

D T

которая называется заменой переменных в двойном интеграле.

63. Переход к полярным координатам в двойном интеграле

Выясним как будет происходить замена переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам

x = cos φ;

y = sin φ:

Имеем		x′

J( ; φ) =
	xφ′

y′		cos φ	sin φ

yφ′		sin φ
yφ′	=	sin φ	cos φ = :

Таким образом, имеет место равенство

∫∫ ∫∫

f(x; y) dxdy = f( cos φ; sin φ) d dφ:

D T

Пример 39. Перейти к полярным координатам и вычислить

двойной интеграл			x2	y2 dxdy; D = f (x; y) : x2 + y2 R2 g:
∫∫D	√	R2

При переходе к полярным координатам угол φ будет изменяться от 0 до 2 , а при каждом φ радиус будет изменяться от 0 до R. Тем самым области D будет соответствовать область

T = f ( ; φ) : 0 R; 0 φ 2 g:

это верхняя

y 6		φ 6
'D R$		2 q	T q
+	x	qO Rq
qO	x	qO Rq
	-			-
&%

Ðèñ. 55

Переходя в интеграле по области T к повторному, получаем

∫∫D

dxdy = ∫0

2 dφ ∫0 R

R2 x2

2 d

√

∫

√

3=2

)

= 2

R2 2 d

3=2

R3:

√

Заметим, что поверхность z = R2 x2 y2

часть сферы радиуса R с центром в нуле. Таким образом, нами вычислен объем половины шара радиуса R.

64. Замена переменных в тройном интеграле

Рассмотрим теперь замену переменных в тройном интеграле

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz:

Пусть задано преобразование пространства Ouvw в пространство

Oxyz

x = x(u; v; w);

Определение 48.

определитель

y = y(u; v; w);				(30)
z = z(u; v; w):
Якобианом	преобразования (30) называется
	xu′	yu′	zu′
	w	w	w
J(u; v; w) =		yv′	zv′	:
J(u; v; w) =	xv′	yv′	zv′	:

		y′	z′
	x′	y′	z′

Здесь имеет место формула, аналогичная формуле для двойного

интеграла,

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz

V∫∫∫

=f(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w)jJ(u; v; w)j dudvdw;

Ω

где Ω это объемная область в Ouvw, которая отображается на

65.Переход к цилиндрическим координатам в тройном

интеграле

Рассмотрим некоторые конкретные преобразования в пространстве. Начнем с цилиндрической системы координат

x = cos φ; y = sin φ; z = z:

Ðèñ. 56

Вычислим якобиан этого преобразования

x′

y′

z′

cos φ

sin φ

yφ′

zφ′

sin φ

cos φ

J( ; φ; z) = xφ′

0 = :

Следовательно, переход

к цилиндрической

системе осуществляется

y′

z′

x′

следующее образом

∫∫∫ ∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz = f( cos φ; sin φ; z) d dφdz:

V Ω

Пример 40. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения z = x2 + y2 и плоскостью z = 4 (z 4).

Объем тела есть тройной интеграл от единичной функции. Перейдем в таком интеграле к цилиндрической системе координат.

z6 q4

O 2 y x

Ðèñ. 57

Óãîë φ меняется очевидным образом от 0 до 2 , а радиус проекций точек тела на плоскость Oxy при любом φ меняются от 0 до 2 в силу того, что проекция всего тела на эту плоскость есть круг радиуса 2. Переменная z меняется от уравнения поверхности параболоида вращения до плоскости z = 4. Надо только учесть,

что уравнение параболоида вращения в цилиндрической системе координат записывается как z = 2. Èòàê,

∫∫∫V	dxdydz =	∫0	dφ ∫0	2	d	∫ 2	dz = 2 ∫0	2	(4	2) d
		2				4
										4		2


							= 2 (2 2			4	) 0		= 8 :

66. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле

Сферическая система координат (r; φ; ) связана с декартовыми следующим образом

x = r sin cos φ; y = r sin sin φ; z = r cos :

Здесь r расстояние до центра координат, угол φ такой же, как и в цилиндрической системе координат, а угол меду радиусвектором точки и осью Oz.

z 6

O -

φHHHHj y x

Ðèñ. 58

Вычислим якобиан при переходе к сферическим координатам

xr′

yr′

zr′

sin cos φ

sin sin φ

cos

yφ′

zφ′

r sin sin φ

r sin cos φ

J(r; φ; ) = xφ′

y′

z′

x′

r cos cos φ

r cos sin φ

r sin

sin

cos φ

sin sin φ

cos

sin φ

cos φ

= r sin

= r sin (cos

cos cos φ

cos sin φ

sin

cos φ)

cos φ

sin φ

sin

sin φ

cos φ

sin φ

= r sin :

Таким образом, переход к сферической системе координат осуществляется следующее образом

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz

V∫∫∫

=f(r sin cos φ; r sin sin φ; r cos )r2 sin drdφd :

Ω

Пример 41. Вычислить объем шара радиуса R.

Имеем		jV j = ∫∫∫V
		jV j = ∫∫∫V	1 dxdydz:
Перейдем к сферическим координатам. Тогда
jV j = ∫0	2 dφ ∫0	d ∫0 R r2 sin dr = 2 ∫0		sin d ∫0 R r2 dr
					r3		R		4

				= 2 2	3	0		=	3	R3:

67. Сведение криволинейного интеграла I-го рода к определенному интегралу

Пусть в пространстве задана кривая и функция f(x; y; z), определенная в точках этой кривой. Напомним определение кри-

волинейного интеграла I-го рода. Кривую

разобьем на части

1; : : : ; N . В каждом куске

j выберем точку Pj. Тогда

∫

∑

x; y; z

lim

f(P

)∆l

;

(

)

= d(T )!0 j=1

ãäå T соответствующее разбиение, а ∆lj длина

Пусть кривая

задана в параметрическом виде

x = x(t);

8y = y(t);

<z = z(t);

Разобьем отрезок

[

;

точками

= t0

< t1

< : : : < tN =

Тогда кривая разобьется на части

j, которые есть части исходной

кривой, когда параметр t меняется на отрезке [tj

1; tj]. Длина части

кривой

j записывается в виде

∫tjtj

√

dt:

∆lj =

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

По теореме о среднем найдется точка j, для которой

∫tjtj1 √

dt = √

x′2( j) + y′2( j) + z′2( j)∆tj;

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

ãäå

∆tj

= tj

tj 1.

Выберем

качестве

точек

точки

(x( j); y( j); z( j)). Тогда

∫

f(x; y; z) dl

j))√

∑

lim

; y

; z

x 2

y 2

= d(T )!0 j=1

(

′

(

j) +

′

(

j) +

′

(

j)∆ j

∫

√

=f(x(t); y(t); z(t)) x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt:

В случае плоской кривой получаем формулу

	√
∫	f(x; y) dl = ∫ f(x(t); y(t))	x′2(t) + y′2(t))	dt:

Если кривая задана функцией y = φ(x), x 2 [a; b], òî

∫	f(x; y) dl = ∫	√
		b f(x; φ(x)) 1 + φ′2(x) dx:


y	6		y = φ(x)
y	6

	qO aq	bq -		x

Ðèñ. 59

Лекция 4 мая 2021 г.

Пример 42. Вычислить				∫
					y2 dl;
ãäå	окружность радиуса R с центром в начале координат.
Окружность можно задать в параметрическом виде
			x = R cos t;
		{y = R sin t;				0 t 2 :
Следовательно,
∫	y2 dl = ∫0	2 R2 sin2 t
				( R sin t)2 + (R cos t)2 dt
			√2				R3		2
		= R3	∫0	sin2 t dt =				∫0	(1 cos 2t) dt = R3:
							2
	68.	Криволинейный интеграл II-го рода
Определение 49. Незамкнутая кривая									называется ориенти-

рованной, если на ней указаны начальная точка и конечная точка. Замкнутая кривая называется ориентированной, если на ней задано направление обхода.

Aq	:

Ðèñ. 60

98
Пусть задана ориентированная кривая	в пространстве и

функция f(x; y; z), определенная в точках этой кривой. Разобьем всю кривую на части точками M0; M1; : : : ; MN . На каждом куске Mj 1Mj выберем точку Pj, j = 1; : : : ; N. Для полученного разбиения T напишем интегральную сумму

∑N

f(Pj)∆xj;

j=1

ãäå

∆xj = ïðOxMj 1Mj:

Определение 50. Криволинейным интегралом II-рода называется

					∑
					N
f		x; y; z		dx	lim	f(P	)∆x	:
∫	(		)		= d(T )!0 j=1	j	j

Тем самым интеграл II-го рода отличается от I-го тем, что в интегральных суммах значение функции умножается не на длину куска, а на его проекцию на ось Ox. Поэтому имеет значение направление,

выбранное на кривой. Аналогично можно определить интегралы
∫ f(x; y; z) dy;	∫ f(x; y; z) dz

с проекциями на оси Oy è Oz.

Определение 51. Составным криволинейным интегралом II-го

рода называется интеграл

∫ ∫ ∫ ∫

P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz:

69. Свойства криволинейного интеграла II-го рода и его физический смысл

Для краткости выпишем свойства криволинейного интеграла IIго рода только для одного вида из трех, например, для проекции на ось Ox.


1.		∫	Cf(P ) dx =		C ∫	f(P ) dx:
2.	∫ (f(P ) + g(P )) dx = ∫				f(P ) dx + ∫			g(P ) dx:
3.	∫	f(P ) dx = ∫		f(P ) dx + ∫			f(P ) dx

Определение 52.

qB C q 2

q*1

Ðèñ. 61

4. ∫

1 dx = ïðOxAB

Ðèñ. 62

∫

f(P ) dx =

∫

f(P ) dx;

ãäå

кривая

, на которой направление изменено на про-

тивоположное.

Пусть в каждой точке некоторой пространственной области задан вектор. Тогда говорят, что в этой области задано векторное поле

F (M) = (P (M); Q(M); R(M)):

Предположим, что в некоторой области задано силовое поле F (M) = (P (M); Q(M); R(M)) и некоторая ориентированная кри-

вая . Найдем работу, которая совершается по перемещению по этой кривой в силовом поле F (M). Кривую разобьем на части

1; : : : ; N . В каждом куске j выберем точку Mj. Тогда достаточно малый кусок j мало отличается от прямолинейного куска соеди-

няющего начало и конец кривой j. Обозначим этот вектор через ∆lj = (∆xj; ∆yj; ∆zj). Вектор силы на малом куске j мало отли- чается от F (Mj). Поэтому работа по перемещения на этом куске

100

приближенно равна скалярному произведению векторов F (Mj) è ∆lj

(F (Mj); ∆lj) = P (Mj)∆xj + Q(Mj)∆yj + R(Mj)∆zj:

Суммируя все эти величины и переходя к пределу при измельче- нии разбиений, мы приходим к тому, что работа выражается через

составной криволинейный интеграл II-го рода

∫

A = P dx + Q dy + R dz:

Åñëè F = (P; Q; R), то для составного криволинейного интеграла II-рода часто используется запись

∫∫


	F dl =	P dx + Q dy + R dz:
Определение 53. Циркуляцией векторного поля F = (P; Q; R)
вдоль замкнутой кривой		называется величина
I	P dx + Q dy + R dz = ∫		P dx + Q dy + R dz:

Используется также запись

Fdl:

70.Вычисление криволинейного интеграла II-ãî ðîäà

Пусть кривая задана в параметрическом виде

	>	x = x(t);
	8y = y(t);		t	:
Будем считать, что	>
Будем считать, что	:
	<z = z(t);

начальной точке кривой соответствует параметр t = , а если кривая замкнута, то при изменении параметра

t от до направление обхода совпадает с заданным. Разобьем отрезок [ ; ] точками = t0 < t1 < : : : < tN = . Тогда кривая

разобьется на части j, которые есть части исходной кривой, когда параметр t меняется на отрезке [tj 1; tj]. Проекция части кривой j записывается в виде

∆xj = x(tj) x(tj 1):

По теореме Лагранжа найдется точка j, для которой x(tj) x(tj 1) = x′( j)∆tj;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>